QML1 (1129441), страница 13
Текст из файла (страница 13)
(2.40)).Таким образом, решение квантовомеханической задачи в центральном поле базируется на той же идее, что и в соответствующей классической задаче: вместо трехмерного исследуется более простое одномерное движение в эффективном потенциале. Наиболее существенноефизическое различие состоит в том, что значения квантовых интегралов состояния образуют дискретный набор чисел.Мы уже знакомы с волновой функцией свободного движения с определенным импульсом.
Это волна де Бройля (1.4). Вместе с тем, существуюттакже состояния свободного движения с определенными энергией, L 2 и Lz .Волновые функции таких состояний имеют следующий вид:ΨElml (r) = Ajl (kr)Ylml (θ, ϕ),√где k = p/}, p = 2mE, jl (x) — сферическая функция Бесселя (см. приложение Г). Состояния с определенным импульсом и состояния с определеннымиE, L2 и Lz связаны друг с другом соотношением:eipr/} = 4πX∗il jl (kr) Ylm(θp , ϕp ) Ylml (θ, ϕ),ll mlгде углы θp ,ϕp задают направление вектора p. Данное соотношение наглядноиллюстрирует совместную неизмеримость импульса и квадрата орбитальногомомента.2Обратим внимание, что нормируется функция REl (r)/r с весом r 2 .702.6.Задача двух телРассмотрим две материальные точки с массами M1 и M2 в силовомполе с потенциальной энергией V (r 1 , r 2 ) (включающей и взаимодействие частиц друг с другом). В общем случае в стационарном уравнении Шредингера для такой системы}2}22−∇1 Ψ(r 1 , r 2 ) −∇22 Ψ(r 1 , r 2 ) + V (r 1 , r 2 )Ψ(r 1 , r 2 ) = EΨ(r 1 , r 2 ),2M12M2где ∇1 ≡ ∇r1 , ∇2 ≡ ∇r2 , переменные r 1 и r 2 разделить невозможно.Если же частицы взаимодействуют только друг с другом, т.
е. внешниесилы отсутствуют, то V (r 1 , r 2 ) зависит только от расстояния междучастицами,V (r 1 , r 2 ) = V (r 1 − r 2 ),(2.53)и ситуация существенно упрощается. Исследуем именно этот случай.Рассмотрим двухчастичное уравнение Шредингера с потенциалом(2.53):−}2}2∇21 Ψ(r 1 , r 2 ) −∇22 Ψ(r 1 , r 2 ) + V (r 1 − r 2 )Ψ(r 1 , r 2 ) =2M12M2= EΨ(r 1 , r 2 ). (2.54)В нем удобно перейти к новым переменным r, R, связанным с r 1 , r 2соотношениями:M1 r 1 + M 2 r 2r = r1 − r2 ,R=.(2.55)M1 + M 2В классической механике r является относительной координатой материальных точек, R — координатой их центра масс; преобразование(2.55) называется переходом в систему центра масс.Запишем уравнение (2.54) в системе центра масс. Для этого выразимоператоры ∇1 и ∇2 через ∇r и ∇R :∂∂r ∂∂R ∂ (2.55) ∂M1∂=+=+,∂r 1∂r 1 ∂r ∂r 1 ∂R∂rM1 + M2 ∂R∂∂r ∂∂R ∂ (2.55) ∂M2∂=+= −+,∂r 2∂r 2 ∂r ∂r 2 ∂R∂rM1 + M2 ∂Rоткуда, в силу независимости частных производных от порядка дифференцирования, имеем:2 2222∂∂2M∂M∂11∇21 ==++,2∂r 1∂r 2M1 + M2 ∂r ∂RM1 + M2 ∂R2(2.56)2 2222∂∂2M∂M∂22∇22 ==−+.22∂r 2∂rM1 + M2 ∂r ∂RM1 + M2 ∂R271Будем искать решение уравнения (2.54) в видеΨ(r 1 , r 2 ) = ψ(r)Φ(R).(2.57)После подстановки (2.56) и (2.57) в (2.54) и деления обеих частейуравнения на (2.57) получаем уравнение с разделенными переменными r и R:}2 ∇2R Φ(R)}2 ∇2r ψ(r)+ V (r) =− E,(2.58)−2m ψ(r)2M Φ(R)гдеM1 M2M = M 1 + M2 ;m=(2.59)M1 + M 2— соответственно полная и приведенная массы частиц.
Независимостькоординат r и R приводит к тому, что обе части уравнения (2.58) обращаются в некоторую константу ε. В результате приходим к двумнезависимым уравнениям для функций ψ(r) и Φ(R):}2 2∇ ψ(r) + V (r)ψ(r) = εψ(r);2m r}2 2−∇R Φ(R) = ε0 Φ(R);2ME = ε + ε0 .−(2.60)(2.61)Мы получаем существенное упрощение задачи по сравнению с (2.54).Дадим интерпретацию уравнений (2.60), (2.61). Уравнение (2.60)является одночастичным стационарным уравнением Шредингера дляфиктивной частицы с массой µ (уравнение движения частицы с приведенной массой). Уравнение (2.61) — это тоже одночастичное стационарное уравнение Шредингера, но для свободного движения фиктивнойчастицы с массой M (уравнение движения центра масс, или переносного движения).
Таким образом, в квантовой механике задача двух телрешается в полной аналогии с задачей двух тел в классической механике, т. е. переходом из лабораторной системы отсчета в систему центрамасс, только вместо уравнения Ньютона используется уравнение Шредингера.Отметим в заключение, что если массы частиц различаются существенно (например, M1 M2 ), то влияние легкой частицы на движениетяжелой будет пренебрежимо малым: m ≈ M1 и M ≈ M2 .2.7.Движение в кулоновском поле притяжения.Атом водородаРассмотрим движение двух точечных частиц: электрона с массойme и зарядом −e (e > 0) и ядра с массой M и зарядом +Ze.
Они72взаимодействуют по закону Кулона:Ze2V (r) = −,(2.62)rгде r — относительное расстояние. Для исследования такого движенияможно использовать результаты, полученные в предыдущих разделах.После подстановки (2.46) в (2.45) и преобразований с учетом (2.31) приходим к радиальному уравнению Шредингера (см. (2.47)): 2} l(l + 1) Ze2}2 d 2REl (r) +−REl (r) = EREl (r),−(2.63)2m dr22m r2rгде l = 0, 1, .
. .Уравнение (2.63) описывает одномерное движение в эффективномпотенциале}2 l(l + 1)Ze2Veff (r) = −+.(2.64)r2mr2График Veff (r) дается на рис. 2.7.Рис. 2.7.При E < 0 движение будет финитным, т. к. электрон находитсяв «потенциальной яме», образованной возрастающим кулоновским потенциалом и квадратично убывающим центробежным отталкиванием;при E > 0 — инфинитным. Мы будем рассматривать случай финитногодвижения, т. е. связанных состояний с дискретным спектром энергии.Таким образом, электрон и атомное ядро с зарядом Z образуют связанную атомную систему с одним электроном: случай Z = 1 соответствуетатому водорода, Z = 2 — иону He+ , Z = 3 — иону Li2+ и т.д. В дальнейшем мы будем использовать также понятие «водородоподобный ион».Будем искать энергии стационарных состояний и волновые функцииотносительного движения в водородоподобном ионе.
Для связанных состояний граничные условия к уравнению (2.63) даются выражениями(2.49) и (2.50). Неизвестными являются E и REl (r).73Для решения уравнения (2.63) используем тот же самый метод, чтои в случае осциллятора. Прежде всего перейдем в (2.63) к безразмерной координате ρ = rZ/a0 (константа a0 с размерностью длины будетопределена позднее; это «естественная» единица длины для атома, позволяющая существенно упростить все математические выкладки):l(l + 1)ma0 e2 2ma20d2 Rεl−R(ρ)+R(ρ)+2E Rεl (ρ) = 0,εlεl22Z 2dρ2ρ2}ρ}| {z }| {z }ε1где Rεl (ρ) = REl (r).
Константу a0 определим, потребовав обращенияв единицу множителя перед 2/ρ. Если в качестве ядра рассматриватьпротон, то приведенная масса m будет слабо отличаться от массы электрона (mp /me ≈ 1836). Для электрона a0 = 0,529 Å — так называемыйборовский радиус, или атомная единица длины. Соответственно величина }2 /ma20 = e2 /a0 = 27,24 эВ называется атомной единицей энергии. Постоянный коэффициент перед Rεl (ρ) тоже будет безразмерным.Обозначим его ε.
Таким образом, в безразмерных переменныхRεl (ρ) = REl (r);ρ=r;Za0a0 =}2;me2ε=E;Z 2 E0E0 =e2a0(2.65)краевая задача (2.63), (2.49), (2.50) принимает вид:d2 Rεll(l + 1)2−Rεl (ρ) + Rεl (ρ) + 2εRεl (ρ) = 0;22dρρρRεl (0) = 0;Rεl (∞) = 0.(2.66)(2.67)(2.68)Неизвестными в ней являются ε и Rεl (ρ), связанные с E и REl (r) соотношениями (2.65). Решение задачи всегда будет удовлетворять стандартному условию непрерывности вследствие непрерывности коэффициентов уравнения (2.66).Исследуем решение уравнения (2.66) в особых точках ρ = 0, ∞.При ρ 1 в (2.66) достаточно ограничиться центробежным слагаемым:d2 Rεll(l + 1)−Rεl (ρ) = 0(2.69)2dρρ2и искать решение (2.69) в виде Rεl (ρ) = ρλ с неизвестным λ. Послесоответствующей подстановки в (2.69) находим:λ = l + 1, −l.74Второе решение не удовлетворяет граничному условию (2.67) и должнобыть исключено.
Таким образом, в окрестности нуля решение уравнение (2.66) имеет вид:Rεl (ρ) ∼ ρl+1 .(2.70)При ρ 1 в (2.66) можно пренебречь и кулоновским, и центробежным слагаемыми:d2 Rεl+ 2εRεl (ρ) = 0(2.71)dρ2и искать решение (2.71) в виде Rεl (ρ) = e−αρ с неизвестным α. Послесоответствующей подстановки в (2.71) находим√α = −2ε.(2.72)√Решение с α = − −2ε необходимо исключить, так как оно противоречит граничному условию (2.68) (напомним, что ε < 0).Таким образом, решение уравнения (2.66) следует искать в виде:Rεl (ρ) = v(ρ) e−αρ ,(2.73)где неизвестная функция v(ρ), с одной стороны, при ρ 1 должнаиметь вид (2.70), а с другой, вследствие (2.68), должна удовлетворятьусловию:v(ρ) e−αρ ρ→∞ → 0.(2.74)Функцию v(ρ) удобно представить в виде рядаv(ρ) =∞Xβν ρν+l+1(2.75)ν=0с неизвестными коэффициентами βν .Подстановка (2.73) и (2.75) в (2.66) приводит к следующему рекуррентному соотношению для коэффициентов βν :βν+1 =2[α(ν + l + 1) − 1]βν ,(ν + l + 2)(ν + l + 1) − l(l + 1)(2.76)позволяющему выразить все слагаемые ряда (2.75) через произвольноеβ0 , которое может быть определено из условия нормировки.При ν 1βν2α'.βν−1νЭто означает, что при произвольном α ряд (2.75) ведет себя как e2αρ(проверить самостоятельно!), что противоречит граничному условию75(2.68).
Параметр α в рекуррентном соотношении (2.76) является неизвестным, поскольку он связан с подлежащей определению энергией Eсоотношениями (2.72) и (2.65). Поэтому, если выбрать этот параметр ввидеα = αnr l = (nr + l + 1)−1 ,nr = 0, 1, . . . ,(2.77)ряд (2.75) оборвется, превратившись в полином.
Соответственно из(2.77), (2.72), (2.65) находим энергии стационарных состояний электрона в водородоподобном ионе:E nr l = −e2Z2,2(nr + l + 1)2 a0l, nr = 0, 1, . . .(2.78)Параметр nr называется радиальным квантовым числом. Оно нумерует состояния одномерного движения в эффективном потенциале (2.64)при заданном значении орбитального квантового числа l и число нулей(узлов) соответствующей радиальной волновой функции.Как видно из (2.78), энергии Enr l зависят только от суммы квантовых чисел nr и l, но не от них самих по отдельности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
