QML1 (1129441), страница 10
Текст из файла (страница 10)
В сферически-симметричных(центральных) силовых полях квадрат орбитального момента сохраняется. В классической механике в этом случае вместо Lz и L2 интегралом движения является вектор орбитального момента L (и, естественно, все его декартовы компоненты). В квантовой механике егодекартовы компоненты неизмеримы совместно, зато совместно изме-51римыми будут квадрат орбитального момента вместе с любой декартовой компонентой.Рассмотренные законы сохранения имеют классические аналоги.Как и в классической механике, их существование для замкнутой (неподверженной внешним воздействиям) квантовой системы есть следствие однородности времени (энергия), а также однородности и изотропии пространства (импульс и орбитальный момент).Оператор инверсии.
Четность состоянийОпределение: Операция пространственной инверсии (отражения)состоит в замене r → −r. Соответствующий оператор обозначаетсяIˆ и определяется следующим образом:defˆIΨ(r)= Ψ(−r).(1.110)В трехмерном пространстве операция инверсии приводит к замене правой системы декартовых координат на левую. В двумерном случае после отражения (x, y) → (−x, −y) новая система координат с помощьюповорота на 180◦ превращается в исходную, так что такое преобразование нельзя считать инверсией.
В трехмерном же случае после отражения трех осей изменяется ориентация системы координат: праваясистема превращается в левую и наоборот. При этом исходная и новаясистемы координат не сводятся друг к другу с помощью поворотов.Именно такое преобразование является инверсией.Приведем явный вид преобразования инверсии в трехмерном пространстве в наиболее важных системах координат:декартовы координаты: x → −x, y → −y, z → −z;сферические координаты: r → r, θ → π − θ, ϕ → π + ϕ.Найдем собственные значения и собственные функции оператораинверсии.
В соответствии с (1.110) и из определения единичного оператора следует, что Iˆ2 = 1. Поэтому оператор Iˆ2 имеет лишь единственноеˆ очевидно,собственное значение, равное единице. Спектр оператора I,будет состоять из двух собственных значений, равных ±1:ˆ ± (r) = ±Ψ± (r).IΨ(1.111)Таким образом, собственными функциями оператора инверсии являются любые четные и нечетные функции, удовлетворяющие стандартным условиям.Физическая характеристика системы, соответствующая операторуинверсии, называется четностью и обозначается буквой P .
Она неимеет классического аналога и свойственна лишь квантовому описанию52явлений в микромире. В отличие от известных прежде характеристикквантовой системы, четность не аддитивна, а мультипликативна,т. е. в состояниях с определенной четностью четность составной системы равняется произведению четностей составляющих ее частей. Состояния с четностью +1 называются четными, а с четностью −1 —нечетными.Общий случай сохранения четности рассмотрен в [3] основной литературы (ч. 1, гл. 5).
В частности, четность сохраняется при движениичастицы в центральном поле.Полные наборы интегралов состоянияПознакомившись с основными положениями квантовой механики,можно более детально рассмотреть вопрос об иерархии возможных состояний квантовой системы. Мы будем рассматривать наиболее важный случай, когда гамильтониан не зависит от времени и следовательно существуют стационарные состояния системы, в которых энергиясохраняется, а вся временная зависимость волновой функции описывается простым экспоненциальным множителем (см.
выражение (1.101)).Это один из возможных типов квантовых состояний системы. Конечно,можно приготовить систему в момент времени t0 = 0 и в произвольной суперпозиции стационарных состояний с различными энергиями,но теперь уже при t > 0 система будет находиться в нестационарномсостоянии, ее волновая функция будет сложным образом зависеть отвремени, и каждое измерение энергии будет давать лишь одно из собственных значений гамильтониана. Ясно, что в нестационарных состояниях система описывается менее полным образом, чем в стационарных(теряется информация об одной из возможных характеристик системы — энергии), хотя формально такие состояния наравне со стационарными входят в полную совокупность возможных квантовых состоянийсистемы (образующих гильбертово пространство функций). Эта ситуация кардинально отлична от классической механики, в которой любоемеханическое состояние системы в любой момент времени описывается с одинаковой степенью полноты заданием обобщенных координати импульсов.
Поэтому возникает вопрос, какие состояния квантовойсистемы можно считать описанными наиболее полным образом (или,по-другому, в каких состояниях должна находиться система, чтобы путем измерений можно было получить наиболее детальную информациюо физических характеристиках системы, допускаемую квантовой механикой)? Ответ на этот вопрос дают теоремы о существовании интегралов состояния и об условиях совместной измеримости нескольких физических величин: максимально полно описанное квантовое состояние53характеризуется максимальным числом независимых совместно измеримых интегралов состояния рассматриваемой квантовой системы (этасовокупность интегралов состояния называется полным набором).
Поскольку не все интегралы состояния данной квантовой системы одновременно измеримы (т. е. соответствующие операторы коммутируют),полные наборы могут быть выбраны по-разному. В качестве примераукажем, что для свободной частицы полный набор сохраняющихся величин может включать как импульс p, так и E, Lz и L2 . Как видно,в обоих случаях максимально полно описанные квантовые состоянияхарактеризуются тремя независимыми сохраняющимися физическимихарактеристиками, число которых равно числу степеней свободы частицы.Поскольку общая система собственных функций эрмитовых операторов, соответствующих полному набору интегралов состояния, образует базис гильбертова пространства, можно сказать, что волноваяфункция любого квантового состояния является либо одним из элементов этого базиса (тогда это состояние описывается наиболее полнымобразом), либо может быть представлена в виде линейной суперпозиции волновых функций указанного базисного набора полным образомописанных состояний (тогда это состояние описано менее информативно,чем это в принципе допускается квантовой механикой).
В более общей формулировке квантовой механики состояния, описываемые (любой) волновой функцией, называются «чистыми». Оказывается, квантовая система может находиться и в состояниях (называемых «смешанными»), которым нельзя приписать определенную волновую функцию,а можно указать лишь вероятности нахождения системы в различныхчистых состояниях. С этими вопросами читатель познакомится в курсеквантовой статистической физики.54Глава 2.Простейшие задачи квантовой механикиВ данной главе рассматриваются простейшие стационарные задачиквантовой механики, допускающие точное аналитическое решение.2.1.Одномерное движениеСтационарное уравнение Шредингера для одномерного движениячастицы с массой m в поле V (x) выглядит следующим образом:−}2 d 2ΨE (x) + V (x)ΨE (x) = EΨE (x).2m dx2(2.1)Граничные условия к нему определяются характером движения, постановкой задачи и стандартными условиями.В случае инфинитного движения энергетический спектр непрерывен, так что граничные условия, т.
е. ΨE (±∞), выбираются конечными, однозначными, непрерывными и учитывающими постановку задачи(например, о прохождении микрочастиц через потенциальный барьер).В случае финитного движения граничные условия берутся нулевымиΨE (±∞) = 0,(2.2)чтобы обеспечить конечное значение нормировочного интеграла. В данном разделе мы будем рассматривать только финитное движение.Сформулируем общие свойства одномерного финитного движения.1. Энергетические уровни не вырождены.
Для доказательства предположим противное, и пусть Ψ1 и Ψ2 — две различные (линейно независимые) собственные функции, соответствующие одному и тому жезначению энергии. Поскольку обе они удовлетворяют одному и томуже уравнению (2.1), то имеем:Ψ0012mΨ00= 2 [V (x) − E] = 2 ,Ψ1}Ψ2или Ψ001 Ψ2 − Ψ1 Ψ002 = 0 (штрих означает дифференцирование по x).Интегрируя это соотношение, находим:Ψ01 Ψ2 − Ψ1 Ψ02 = const.55(2.3)Поскольку в соответствии с (2.2) Ψ1 (±∞) = Ψ2 (±∞) = 0, то константав (2.3) должна тоже быть равной нулю, так что Ψ01 /Ψ1 = Ψ02 /Ψ2 . Интегрируя еще раз, получим Ψ1 = const · Ψ2 , т. е. линейную зависимостьфункций Ψ1 и Ψ2 .
А это противоречит исходному предположению, т. е.Ψ1 и Ψ2 задают одно и то же состояние.2. Волновые функции стационарных состояний вещественны. Длякоординатных частей волновых функций всегда можно выбрать постоянный фазовый множитель так, чтобы их мнимые части обратились внуль. Доказательство данного утверждения также проводится от противного. Предположим, что функция ΨE (x) остается комплексной прилюбом выборе нормировочной константы. Тогда, вследствие вещественности V (x) и E, ее вещественная и мнимая части тоже будут линейнонезависимыми собственными функциями, соответствующими одномуи тому же значению энергии E. Но это означает вырождение энергетического уровня E, что противоречит ранее доказанному утверждению.
На основании (1.93) можно заключить, что при одномерномдвижении в связанных стационарных состояниях токи отсутствуют.3. Выполняется осцилляционная теорема. Если основное состояниенумеровать нулем, первое возбужденное — единицей и т.д., то внутриобласти движения частицы (за исключением границ) ее координатнаяволновая функция, соответствующая n-му возбужденному состоянию,обратится в нуль ровно n раз. Данное нетривиальное свойство доказывается в курсе функционального анализа.4. При симметричной (относительно x = 0) потенциальной энергии, V (x) = V (−x), все волновые функции стационарных состояний являются либо четными (ΨE (−x) = ΨE (x)), либо нечетными(ΨE (−x) = −ΨE (x)). Действительно, в силу симметрии гамильтониана,если ΨE (x) есть решение, то таковым является и ΨE (−x), а вследствиеневырожденности спектра они могут отличаться лишь на численныйфактор: ΨE (−x) = cΨE (x).
Меняя в этом соотношении еще раз знак xу ΨE (x) (ΨE (x) = cΨE (−x)), получаем c2 = 1, откуда c = ±1, что идоказывает сделанное утверждение.К таким же одномерным уравнениям (2.1) приводится, очевидно, задача о трехмерном движении в поле с потенциальной энергиейV (x, y, z) = V1 (x) + V2 (y) + V3 (z), разбивающейся на сумму функций,каждая из которых зависит только от одной из координат.Задачи о частице в прямоугольной потенциальной яме (пример финитного движения) и о прохождении частиц через потенциальный барьер (пример инфинитного движения), имеющие точное аналитическоерешение, разобраны в практическом курсе [3], ч.
2.562.2.Линейный гармонический осцилляторРассмотрим одномерную потенциальную ямуV (x) =1mω 2 x22(2.4)с параметром 1 ω (рис. 2.1). Такой потенциал называется осцилляторным.Примерами классических осцилляторов являются пружинный, математический и физический маятники, совершающие малые колебания. Движение частиц в таком потенциале всегдаРис. 2.1.финитное. В классической механикечастица с массой m в поле (2.4) совершает гармонические колебания:x(t) = A cos(ωt + α),где ω — циклическая частота, A — амплитуда, α — начальная фаза. Вквантовой механике линейными гармоническими осцилляторами моделируются колебания ионов в узлах кристаллической решетки, а такжеколебательные степени свободы в многоатомных молекулах при достаточно малых амплитудах колебаний (т. е. когда межатомный потенциалможно считать квадратичным).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
