QML1 (1129441), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Функцияот оператора уже встречалась ранее (см. (1.27)). Здесь мы разъяснилисмысл этой конструкции.Эрмитово сопряжение операторовВведем операцию эрмитова сопряжения для операторов.Оператор F̂ † называется эрмитово сопряженным по отношению кF̂ , если оба оператора заданы на одном и том же классе функций идля произвольных функций Φ(ξ) и Ψ(ξ) из этого класса выполняетсяравенство следующих скалярных произведений:hF̂ Φ|Ψi = hΦ|F̂ † Ψi ,(1.35)то есть скалярное произведение функции F̂ Φ на Ψ равно скалярномупроизведению функции Φ (на которую уже не действует оператор F̂ ) нафункцию F̂ † Ψ, получаемую из Ψ действием некоторого оператора F̂ † ,который и называется эрмитово сопряженным к F̂ .
Учитывая свойство(1.12) скалярного произведения (с функцией Φ, замененной на F̂ Φ) ивводя обозначение hΨ| F̂ Φi ≡ hΨ| F̂ |Φi, определение (1.35) можно переписать в следующем виде:defhΦ| F̂ † |Ψi = hΨ| F̂ |Φi∗ .(1.36)Конструкция hΦ| Ĝ |Ψi называется матричным элементом оператораĜ между состояниями |Ψi и |Φi, которые иногда называются «обкладками». «Обкладки» являются аналогом матричных индексов.
Определение (1.36) соответствует определению эрмитово сопряженной матрицы ({a∗mn }) к матрице {anm }. В интегральной форме определение (1.36)имеет следующий вид:ZZdef∗†Φ (ξ)F̂ Ψ(ξ) dξ =Ψ(ξ)F̂ ∗ Φ∗ (ξ) dξ.(1.37)Подчеркнем, что все три записи определения оператора F̂ † , эрмитовосопряженного к F̂ , являются эквивалентными.24Легко показать, что эрмитово сопряжение произведения операторовизменяет порядок следования сомножителей на обратный:(F̂ Ĝ)† = Ĝ† F̂ † .(1.38)hF̂ ĜΦ|Ψi = hĜΦ|F̂ † Ψi = hΦ|Ĝ† F̂ † Ψi .(1.39)Действительно:Оператор называется самосопряженным, или эрмитовым, если онсовпадает со своим эрмитовым сопряжением:defF̂ † = F̂ .(1.40)Дадим определение эрмитова оператора в интегральной форме наоснове (1.37), (1.40):Zdef∗Φ (ξ)F̂ Ψ(ξ) dξ =ZΨ(ξ)F̂ ∗ Φ∗ (ξ) dξ,(1.41)а также в дираковских обозначениях (1.36):defhΦ| F̂ |Ψi = hΨ| F̂ |Φi∗ .(1.42)Определение (1.42) подчеркивает полную аналогию с эрмитовыми матрицами.На основании (1.38) можно заключить, что для эрмитовых операторов F̂ и Ĝ(F̂ Ĝ)† = ĜF̂ ,т.
е. произведение эрмитовых операторов будет самосопряженнымтолько в случае их коммутации. Коммутатор и антикоммутатор эрмитовых операторов будут соответственно антиэрмитовым и эрмитовым:[F̂ , Ĝ]† = −[F̂ , Ĝ];{F̂ , Ĝ}† = {F̂ , Ĝ}.(1.43)Оператор Û называется унитарным, если его эрмитово сопряжениесовпадает с обратным оператором:defÛ −1 = Û † .25(1.44)Операторы физических величинВ предыдущем разделе мы получили явные выражения для операторов координаты (r̂ = r) и импульса (p̂ = −i}∇).
Здесь мы построимоператоры других физических величин. Сформулируем вначале общиетребования, предъявляемые к таким операторам.Прежде всего, для выполнения принципа суперпозиции операторфизической величины обязан быть линейным, т. е. для любых функцийΦ, Ψ и комплексной константы α должны выполняться равенства:F̂ (αΨ) = αF̂ Ψ;(1.45)F̂ (Ψ + Φ) = F̂ Ψ + F̂ Φ.Поскольку измерительные приборы дают вещественные значениявеличины F , ее среднее значение hF i обязано быть вещественным влюбых состояниях. Этого можно достичь, потребовав от оператора F̂самосопряженности. Действительно, на основании (1.31) имеем:hF i∗ = hΨ| F̂ |Ψi∗ (1.42)(1.31)= hΨ| F̂ |Ψi = hF i.Таким образом, операторы физических величин обязаны быть линейными и эрмитовыми.Таблица 1.1Операторы основных физических величин№ВеличинаОператорПримечание1координата rr̂ = r2импульс pp̂ = −i}∇r̂Ψ(r) = rΨ(r)X∂∂= −i}p̂ = −i}ek∂xk∂r3орб. момент L4кин. энергия T5потенц.
энергия VL̂ = [r × p̂]p̂2T̂ =2mV̂ = V (r)6полная энергия EĤ = T̂ + V̂k}2 2∇ Ψ(r)2mV̂ Ψ(r) = V (r)Ψ(r)T̂ Ψ(r) = −Ĥ — гамильтонианВ таблице 1.1 собраны операторы важнейших физических величин,которые используются как в классической, так и в квантовой механике.Существуют и чисто квантовые характеристики состояний микрообъектов, не имеющие классических аналогов, например, четность P .
Ейсоответствует оператор инверсии:defˆIΨ(r)= Ψ(−r).26(1.46)Предлагаем самостоятельно убедиться в линейности и самосопряженности всех перечисленных операторов.1.7.Определенные значения физических величинИнформацию о состоянии микрообъекта можно получить только врезультате измерения. Однако измерение физических величин в квантовой и классической механике существенно различается. Прежде всегоквантовую систему нужно привести в то состояние, в котором величину F необходимо измерить. Пусть Ψ(ξ) есть волновая функция 5 этогосостояния. В результате того или иного измерения состояние микрообъекта разрушается (например, для фиксации летящего электрона наего пути ставят фотопластинку; после взаимодействия с ней этот электрон поглощается и уже не может быть зафиксирован повторно темже способом).
Для повторного измерения квантовую систему необходимо вновь привести в то же самое состояние и т.д. Среднее значениевеличины F получается усреднением результатов таких многократныхизмерений. Если известна волновая функция квантовой системы, тосреднее значение F вычисляется по формуле (1.29) (или (1.31)).Описанный выше способ измерения физической величины F даетс математической точки зрения последовательность случайных чисел.Характеристикой их разброса относительно среднего значения служитсреднеквадратичное отклонение:defh(∆F )2 i = h(F − hF i)2 i.(1.47)Очевидно, что ненулевые значения h(∆F )2 i могут получаться дажев случае идеального прибора с нулевой погрешностью.
Такая неопределенность в значении величины F есть объективное свойство движения в микромире. Поэтому возникает проблема поиска состояний сопределенными значениями F . Определенность значения величины Fв некотором состоянии квантовой системы означает, что при каждомакте ее измерения в данном состоянии будет получаться одно и то жезначение этой величины.Зададимся целью поиска таких состояний Ψ, в которых h(∆F )2 i = 0.d = F̂ − hF i иДля этого введем вспомогательный эрмитов оператор ∆Fвыполним следующие преобразования:D Ed ) i = hΨ| (∆Fd ) |Ψi = Ψ ∆Fd (∆Fd )Ψ (1.42)h(∆F=2(1.31)25Зависимость волновой функции от времени не учитываем, так как в данномразделе она не существенна.27Рис.
1.4.2E (1.10) Z ddd= (∆F )Ψ (∆F )Ψ=(∆F )Ψ(ξ) dξ > 0.DДанная положительно определенная квадратичная форма обращаетсяd )Ψ(ξ) = 0, или,в нуль только в таких состояниях, для которых (∆Fd,в соответствии с определением ∆FF̂ Ψ(ξ) = hF iΨ(ξ).(1.48)Уравнение (1.48) является математическим выражением условия измеримости величины F в данном состоянии Ψ: величина F будет измеримой только в таких состояниях, волновая функция которых удовлетворяет уравнению (1.48).Проанализируем математические аспекты уравнения (1.48).
Из теории операторов известно, что такие функции называются собственными функциями оператора. Действие оператора на них заключается вумножении функций на константы — собственные значения оператора:F̂ ΨF (ξ) = F ΨF (ξ).(1.49)С математической точки зрения уравнение (1.49) представляет собойуравнение для собственных функций и собственных значений оператора F̂ .
Задача состоит в отыскании нетривиальных (ΨF (ξ) 6≡ 0) решений уравнения (1.49) с заданными граничными условиями. Выборпоследних диктуется стандартными условиями, которым подчиняетсяволновая функция (конечность, однозначность, непрерывность). В общем случае F̂ представляет собой линейный дифференциальный оператор, так что уравнение (1.49) является линейным однородным дифференциальным уравнением 6 .
Однородность приводит к неоднозначностиего решений: они определены с точностью до произвольного постоянного множителя, т. е. должны быть нормированы.Множество всех собственных значений оператора называется спектром оператора. Если этот набор дискретный, то спектр называется дискретным, а если заполняет некоторый интервал,— непрерывным(рис. 1.4). Дискретный спектр реализуется при финитном движении,6Как правило, не выше второго порядка.28непрерывный — при инфинитном. Существуют и операторы, имеющиеодновременно и дискретный, и непрерывный спектр собственных значений.Пример оператора с дискретным спектром — оператор проекцииорбитального момента на ось z, имеющий следующий вид в полярных∂:координатах L̂z = −i}∂ϕL̂z Ψml (ϕ) = }ml Ψml (ϕ),eiml ϕΨml (ϕ) = √ ,2π0 6 ϕ < 2π;ml = 0, ±1, .
. .(1.50)Такое квантование наблюдаемых значений физической величины прифинитном движении специфично для микромира и не имеет места вклассической механике.Пример оператора с непрерывным спектром — оператор проекции∂импульса p̂x = −i}:∂xp̂x Ψpx (x) = px Ψpx (x),eipx x/}Ψpx (x) = √,2π}−∞ < x < +∞;−∞ < px < +∞.(1.51)Рассмотрим для определенности собственное значение Fn из дискретного спектра оператора F̂ . Если Fn соответствует одна собственная функция Ψn (ξ), то такое собственное значение называется невырожденным. Если же для собственного значения Fn имеется f линейнонезависимых собственных функций Ψn1 (ξ), .
. . , Ψnf (ξ),F̂ Ψnk (ξ) = Fn Ψnk (ξ),k = 1, . . . f,то такое собственное значение называется вырожденным с кратностьювырождения f .Вернемся теперь к концепции измеримости величины F .Условие (1.48) дает необходимое и достаточное условие измеримости величины F в заданном состоянии Ψ, которое должно быть одной из собственных функций оператора F̂ . Пока остается открытымвопрос о том, какое же случайное значение величины F дает ее однократное измерение в произвольном состоянии Ψ? В квантовой теориипостулируется тождественность определенных значений величиныF собственным значениям ее оператора.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
