QML1 (1129441), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Другими словами, даже если состояние Ψ не является собственной функцией F̂ при измерениивеличины F в этом состоянии, мы всякий раз будем получать одно из29собственных значений оператора F̂ . Мы вернемся позднее к вопросу овероятности получения того или иного определенного значения F впроизвольном состоянии Ψ.1.8.Свойства собственных функций и собственныхзначений линейного эрмитова оператораВ данном разделе будут сформулированы общие свойства собственных функций и собственных значений линейного эрмитова оператораF̂ .
Для упрощения его спектр будет предполагаться дискретным:F̂ Ψn (ξ) = Fn Ψn (ξ).1. Собственные значения вещественны. Очевидно, что в состоянииΨn среднее значение величины F совпадает с определенным Fn . Какуже было доказано, в случае эрмитова оператора F̂ среднее значениевеличины F всегда вещественно.
Отсюда следует и вещественность всехсобственных значений.2. Собственные функции линейного эрмитова оператора взаимноортогональны. Рассмотрим два различных собственных значения: Fnи Fn0 (n 6= n0 ). Для них справедливы уравнения:F̂ ∗ Ψ∗n0 (ξ) = Fn0 Ψ∗n0 (ξ)F̂ Ψn (ξ) = Fn Ψn (ξ);(1.52)(над Fn0 отсутствует знак комплексного сопряжения вследствие вещественности собственных значений). Умножим первое уравнение в (1.52)слева на Ψ∗n0 (ξ), второе — на Ψn (ξ), проинтегрируем по ξ и вычтем одноиз другого:hΨn0 | F̂ |Ψn i − hΨn | F̂ |Ψn0 i∗ = (Fn − Fn0 ) hΨn0 |Ψn i .| {z }(1.53)6=0Матричные элементы в (1.53) равны друг другу вследствие эрмитовости F̂ (см.
(1.42)). ПоэтомуhΨn0 |Ψn i = 0,n0 6= n,т. е. функции Ψn (ξ) и Ψn0 (ξ) ортогональны в L2 . Поскольку при финитном движении волновые функции нормируемы на единицу (см. (1.8)),для собственных функций оператора с дискретным спектром можносформулировать условие ортонормировки, включающее в себя и случай n0 = n:ZhΨn0 |Ψn i =Ψ∗n0 (ξ)Ψn (ξ) dξ = δn0 n .30(1.54)Поскольку число собственных значений оператора обычно превышаетединицу, к собственным значениям и собственным функциям в уравнении (1.49) добавляются нумерующие их индексы (в основном, в случаедискретного спектра) — квантовые числа.
Они однозначно соответствуют собственным значениям. Во многих случаях, например, в соотношении (1.54), вместо значений Fn фигурируют лишь квантовые числа n,n 0 : δ Fn 0 Fn ≡ δ n 0 n .Приведенное выше доказательство ортогональности неприменимок собственным функциям Ψnα (ξ) (α = 1, 2, . . . , f ), соответствующимf -кратно вырожденному собственному значению Fn .
Поэтому, вообщеговоря, эти функции не обязаны быть ортогональными друг другу. Темне менее и их можно ортогонализовать — построить f различных взаимно ортогональных и нормированных линейных комбинаций (процедура Шмидта, известная из курса линейной алгебры).Таким образом, мы будем считать, что всякий линейный эрмитов оператор имеет ортонормированную систему собственных функцийΨnα (ξ): hΨnα |Ψn0 α0 i = δnn0 δαα0 .3. Собственные функции эрмитова оператора образуют полнуюсистему в пространстве L2 . Полнота означает разложимость любойфункции Ψ(ξ) из L2 в обобщенный ряд Фурье по собственным функциям оператора F̂ :Ψ(ξ) =Xcn Ψn (ξ).(1.55)nЕсли справедливо разложение (1.55), то формула для cn получается изусловия ортонормировки (1.54) (проверить самостоятельно!):cn = hΨn |Ψi =ZΨ∗n (ξ)Ψ(ξ) dξ.(1.56)Из курса линейной алгебры известно, что полная ортонормированная система элементов данного пространства называется его базисом.Поэтому система собственных функций линейного эрмитова оператораF̂ иногда называется базисом пространства L2 , порождаемым оператором F̂ .Строгое доказательство полноты системы собственных функций эрмитова оператора (т.
е. возможности однозначного представления любой функции Ψ(ξ) из L2 в виде ряда (1.55)) дается в курсе функционального анализа. Математически условие полноты системы {Ψn (ξ)}можно записать в двух видах. Во-первых, если справедливо разложение (1.55)), то легко получить следующее условие (аналогичное условию замкнутости в теории рядов Фурье) для всякой функции Ψ(ξ):31hΨ |Ψi =Xn0 nc∗n0 cn hΨn0 |Ψn i =| {z }δn 0 nXn|cn |2 .(1.57)Во-вторых, из соотношения (1.57) можно получить условие полноты системы функций Ψn (ξ) и в следующем виде, не содержащем произвольной функции Ψ(ξ):XnΨn (ξ)Ψ∗n (ξ 0 ) = δ(ξ − ξ 0 ).(1.58)Для доказательства перепишем (1.57) с учетом формулы (1.56) для cn :ZXXXZ2∗∗|cn | =cn cn =Ψn (ξ)Ψ (ξ) dξ Ψ∗n (ξ 0 )Ψ(ξ 0 ) dξ 0Z (Zn∗Ψ (ξ)"nXnnΨn (ξ)Ψ∗n (ξ 0 )#dξ)00Ψ(ξ ) dξ =ZΨ∗ (ξ 0 )Ψ(ξ 0 ) dξ 0 .
(1.59)Из последнего равенства в этом соотношении следует"#ZXΨ∗ (ξ 0 ) = Ψ∗ (ξ)Ψn (ξ)Ψ∗n (ξ 0 ) dξ ,nчто, в соответствии с основным свойством δ-функции, и дает условиеполноты в форме (1.58). Можно также проверить и обратное утверждение (самостоятельно!): из условия (1.58) следует справедливостьсоотношения (1.57) для любой функции Ψ(ξ) из L2 .Возвращаясь к квантовой теории, покажем, что коэффициентамразложения в (1.55) можно придать важный физический смысл.Если функция Ψ(ξ) в левой части (1.55) нормирована на единицу,то из условия полноты (1.57) следует «условие нормировки» коэффициентов:Xn|cn |2 = 1.(1.60)Оно полностью идентично соответствующему соотношению для коэффициентов разложения (1.22) по волнам де Бройля.
Напомним, чтов разделе «Средние значения координаты и импульса» величине |ck |2придавался смысл вероятности получения значения импульса p = }k всостоянии Ψ(r). Обобщим теперь данное утверждение на произвольнуювеличину F : |cn |2 есть вероятность получения значения F = Fn при32измерении F в состоянии Ψ(ξ). Смысл этого утверждения становитсясовершенно понятным, если (учитывая полноту системы собственныхфункций оператора F̂ ) представить среднее значение величины F всостоянии Ψ(r) в виде:hF i = hΨ| F̂ |Ψi =Xn|cn |2 Fn .(1.61)Условие (1.60) соответствует условию нормировки в теории вероятностей, а (1.61) — определению математического ожидания дискретнойслучайной величины F . Так решается вопрос о вероятности получениятого или иного определенного значения величины F при ее измерениив состоянии Ψ(ξ).1.9.Оператор с непрерывным спектром собственных значенийПереформулируем утверждения предыдущего раздела для оператора с дискретным спектром, на случай оператора с непрерывным спектром:F̂ ΨF (ξ) = F ΨF (ξ).Заметим, что роль квантовых чисел здесь играет величина F , принимающая непрерывный ряд значений.
Иногда используется и другое обозначение собственных функций: ΨF (ξ) ≡ Ψ(F, ξ).Утверждение о вещественности собственных значений по-прежнемуостается в силе. Соотношения же ортонормировки и полноты требуютуточнения. Действительно, как можно видеть на примере оператора p̂x(см. (1.51)), в случае p0x = px нормировочный интеграл в (1.54) расходится:ZZ+∞−∞+∞Ψ∗px (x)Ψpx (x) dx= |C|2−∞dx → ∞.Физически причина данной расходимости заключается в том, что ситуация с бесконечными пределами интегрирования является в некоторойстепени искусственной, поскольку реальное движение всегда происходит в конечной области пространства. С такой проблемой мы уже сталкивались при нормировке волн де Бройля. Для ее решения мы ограничили область движения частицы. Здесь же мы изложим другой способ,позволяющий обойти трудности с расходимостями при анализе волновых функций непрерывного спектра.Поскольку собственные функции эрмитова оператора с непрерывным спектром ненормируемы стандартным образом (хотя и конечны33во всем пространстве), они уже не принадлежат гильбертову пространству L2 .
Тем не менее, как показывается в функциональном анализе,они по-прежнему образуют базис этого пространства, то есть всякаянормируемая функция Ψ(ξ) может быть представлена в виде «обобщенного интеграла Фурье», соответствующего замене суммирования вразложении (1.55) на интегрирование по всем возможным значениям F :Ψ(ξ) =ZcF ΨF (ξ) dF.(1.62)Соответственно математическая запись условия полноты системыфункций ΨF (ξ) получается из (1.57) заменой cn на cF и интегрированием по F :ZZ∗hΨ |Ψi ≡ Ψ (ξ)Ψ(ξ) dξ = |cF |2 dF .(1.63)Если функция Ψ(ξ) нормированная, то из (1.63) следует «условие нормировки» для коэффициентов cF :Z2|cF | dF =Zc∗F cF dF = 1.(1.64)Обобщение нормировочного условия (1.54) на случай состоянийнепрерывного спектра можно получить, если переписать соотношение(1.63) (с учетом (1.64)) в виде (после изменения порядка интегрирования):ZZ Z Z(1.62)∗∗Ψ (ξ)Ψ(ξ) dξ =ΨF 0 (ξ)ΨF (ξ) dξ c∗F 0 cF dF 0 dF = 1.|{z}1Отсюда видно, что для согласования с (1.64) необходимо, чтобы квадратная скобка в этом выражении являлась дельта-функцией δ(F 0 − F ):hΨF 0 |ΨF i =ZΨ∗F 0 (ξ)ΨF (ξ) dξ = δ(F 0 − F ).(1.65)Полученное соотношение обобщает (1.54) на случай состояний непрерывного спектра и называется нормировкой на дельта-функцию: хотяинтеграл от |ΨF (ξ)|2 по F по-прежнему расходится, условие (1.65) позволяет подобрать независящий от ξ коэффициент в ΨF (ξ) так, чтобыкоэффициент при дельта-функции в (1.65) равнялся единице.34Существует и другое обоснование условия нормировки (1.65).
Для непрерывно меняющейся величины физически бессмысленно говорить о ее абсолютно точном значении F — следует говорить о ее значении в интервале(F, F + ∆F ), где ∆F F . Тогда вместо ΨF (ξ) следует рассматривать волновые пакеты:ZF +∆F∆ΨF (ξ) =ΨF (ξ) dF.F −∆FОни локализованы в пространстве и могут нормироваться как и в случаефинитного движения.
П.А.М. Дирак показал, что в этом случае можно сохранить всю математику состояний дискретного спектра, если нормироватьΨF (ξ) на δ-функцию. Для этого δ-функция и была введена.С учетом (1.65) легко получить явный вид коэффициента cF в разложении (1.62), умножая его на ΨF 0 (ξ) и интегрируя по ξ:ZcF = hΨF |Ψi = Ψ∗F (ξ)Ψ(ξ) dξ.(1.66)Здесь видна полная аналогия с формулой (1.56) для дискретного спектра.Полностью аналогично выводу соотношения (1.58) для случая дискретного спектра (с заменой суммирования по n на интегрирование поF ), для состояний непрерывного спектра условие полноты (1.63) такжеможно переписать в эквивалентном виде на языке функций ΨF (ξ):ZΨF (ξ)Ψ∗F (ξ 0 )dF = δ(ξ − ξ 0 ).(1.67)В качестве иллюстрации покажем, как из (1.67) следует (1.63):ZZ|cF |2 dF = c∗F cF dF =ZZZZ∗0∗00=Ψ (ξ)Ψ(ξ )ΨF (ξ)ΨF (ξ )dF dξ dξ = Ψ(ξ)Ψ∗ (ξ) dξ .Подобно |cn |2 , величине |cF |2 dF следует придать смысл вероятностиобнаружения величины F в интервале [F, F + dF ] при ее измерении всостоянии Ψ, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
