QML1 (1129441), страница 7
Текст из файла (страница 7)
е. |cF |2 есть плотность вероятности распределенияопределенных значений F в состоянии Ψ.Таким образом, для формального перехода от дискретного спектрак непрерывному во всех соответствующих выражениях необходимо сделать следующие замены:ZXFn → F,(. . .) → (. . .) dF,δn0 n → δ(F 0 − F ).n351.10.Совместная измеримость физических величинКак известно, определенное значение величины F можно указатьтолько для конкретного специально выбранного состояния (описываемого собственной функцией оператора F̂ ). В квантовой теории совместная измеримость двух физических величин F и G подразумеваетсуществование таких состояний квантовой системы, в которых каквеличина F , так и величина G имеют определенные значения. Даннаяпроблема специфична только для микромира и принципиально отсутствует в макромире.Математическое условие совместной измеримости двух величин состоит, естественно, в наличии у их операторов общих собственныхфункций, т.
е. общего базиса:F̂ Ψn (ξ) = Fn Ψn (ξ);ĜΨn (ξ) = Gn Ψn (ξ).(1.68)Поэтому проблему совместной измеримости можно сформулироватькак поиск универсального критерия, позволяющего установить наличиеу операторов общих собственных функций без явного решения уравнений (1.68).Критерий формулируется следующим образом: для того, чтобы линейные операторы F̂ и Ĝ имели общие собственные функции, необходимо и достаточно, чтобы эти операторы коммутировали.Для простоты будем предполагать спектр обоих операторов дискретным и невырожденным.Докажем необходимость, т. е.
установим коммутативность операторов с общим базисом. Возьмем произвольную 7 функцию Ψ(ξ) иподействуем на нее коммутатором [F̂ , Ĝ], предварительно разложив еепо базису операторов F̂ и Ĝ в соответствии с (1.55):(1.45)[F̂ , Ĝ]Ψ(ξ) ==XnXn(1.68)cn (F̂ Ĝ − ĜF̂ )Ψn (ξ) =(1.45)cn (F̂ Gn − ĜFn )Ψn (ξ) ==XnXn(1.68)cn (Gn F̂ − Fn Ĝ)Ψn (ξ) =cn (Gn Fn − Fn Gn ) Ψn (ξ) ≡ 0{z}|0(собственные значения — это обычные числа, и поэтому их произведение коммутирует). Мы пришли к определению нулевого оператора, т. е.доказали необходимость критерия:[F̂ , Ĝ] = 0.7Из пересечения L2 -пространств операторов F̂ и Ĝ.36Докажем достаточность, т.
е. установим наличие общих собственных функций у коммутирующих операторов F̂ и Ĝ. Переформулируемвопрос несколько иначе. Пусть Ψn (ξ) — собственная функция оператора F̂ . Докажем, что она является собственной функцией и для коммутирующего с ним оператора Ĝ:?F̂ Ψn (ξ) = Fn Ψn (ξ) =⇒ ĜΨn (ξ) = Gn Ψn (ξ).Подействуем на функцию Ψn (ξ) оператором ĜF̂ . С одной стороны, поопределению произведения операторов,(1.45)ĜF̂ Ψn (ξ) = Ĝ[F̂ Ψn (ξ)] = ĜFn Ψn (ξ) = Fn ĜΨn (ξ) = Fn Φn (ξ). (1.69)| {z }Φn (ξ)С другой в силу коммутативности F̂ и Ĝ,ĜF̂ Ψn (ξ) = F̂ ĜΨn (ξ) = F̂ Φn (ξ).| {z }(1.70)Φn (ξ)Сопоставляя (1.69) и (1.70), приходим к равенству:F̂ Φn (ξ) = Fn Φn (ξ).Это означает, что у оператора F̂ при невырожденном собственном значении Fn есть две собственные функции: Ψn (ξ) и Φn (ξ) = ĜΨn (ξ).
Нов таком случае эти функции в силу линейности операторов должныотличаться только постоянным множителем:ĜΨn (ξ) = Gn Ψn (ξ),т. е. функция Ψn (ξ) является общей собственной функцией для обоихоператоров. Достаточность доказана.Данный критерий обобщается и на случай вырожденного спектра(см. [1] основной литературы).Заметим, что доказанный критерий требует только линейности исправедлив даже для неэрмитовых операторов.
Случай неэрмитова оператора возникает, в частности, при доказательстве теоремы Блоха вкурсе «Физика твердого тела».Как следствие, для совместной измеримости двух физических величин необходимо и достаточно, чтобы их операторы коммутировали.Приведем примеры пар совместно измеримых величин: (x, py ),(z, Lz ), (px , Lx ), (Lz , L2 ).Примеры пар совместно неизмеримых величин: (x, px ), (x, Ly ),(px , Ly ), (Lx , Ly ). Обратим особое внимание на одноименные декартовыкомпоненты координаты и импульса: они совместно неизмеримы, т. е.в микромире отсутствует понятие классической траектории!371.11.Соотношение неопределенностейРассмотрим две совместно неизмеримые величины F и G. Для нихотсутствуют состояния, в которых они обе имели бы определенные значения. Это проявляется в том, что их измерение в любом одном и томже состоянии даст хотя бы для одной из этих величин ненулевой разброс определенных значений. Как известно, такой разброс характеризуется среднеквадратичным отклонением.
Получим общее соотношение между среднеквадратичными отклонениями h(∆F )2 i и h(∆G)2 i впроизвольном состоянии Ψ.Рассмотрим вначале несколько пар совместно неизмеримых величин. Коммутаторы их операторов будут ненулевыми:[x, p̂x ] = i};[x, L̂y ] = i}z;[p̂x , L̂y ] = i}p̂z ;[L̂x , L̂y ] = i}L̂z .Структура всех этих коммутаторов одинакова:[F̂ , Ĝ] = iB̂,(1.71)где B̂ — самосопряженный оператор (напомним, что коммутатор двухэрмитовых операторов всегда антиэрмитов — отсюда и мнимая единицав правой части (1.71)).Выберем некоторое состояние Ψ и введем средние значения величинF и G в этом состоянии и вспомогательные эрмитовы операторыd = F̂ − hF i;∆Fd = Ĝ − hGi.∆GЛегко проверить, что они удовлетворяют тому же самому коммутационному соотношению (1.71), что и исходные операторы (среднее значение — обычное число и коммутирует с любым оператором):d , ∆G]d = iB̂,[∆F(1.72)Используя ту же самую волновую функцию, построим функционалZ 2 ddf (α) = (α∆F − i ∆G)Ψ(ξ) dξ.При вещественном α он является положительно определенной квадратичной формой относительно α с вещественными коэффициентами.Запишем ее в явном виде (в дираковских обозначениях), используя саd и ∆G:dмосопряженность операторов ∆FE ddddf (α) = (α∆F − i ∆G)Ψ (α∆F − i ∆G)Ψ =D38EDE d d2dd= (∆F )Ψ (∆F )Ψ α + (∆G)Ψ (∆G)Ψ −DE∗DE∗ d ddd− i α (∆G)Ψ (∆F )Ψ + i α (∆F )Ψ (∆G)Ψ =Dd )2 |Ψi∗ α2 − i hΨ| [∆Fd , ∆G]d |Ψi α + hΨ| (∆G)d 2 |Ψi∗ (1.72)= hΨ| (∆F== h(∆F )2 i α2 + hBi α + h(∆G)2 i > 0.Поскольку квадратичная форма знакопостоянна при отрицательномдискриминанте D, из условия положительной определенности f (α) следует, чтоD = hBi2 − 4h(∆F )2 ih(∆G)2 i 6 0,илиh(∆F )2 ih(∆G)2 i >1hBi2 .4(1.73)Неравенство (1.73) выполняется в произвольном состоянии и поэтомурешает поставленную задачу.
Оно называется соотношением неопределенностей. Напомним, что оператор величины B определяется в соответствии с (1.71).Раскроем смысл соотношения (1.73).В случае совместно неизмеримых величин B̂ 6= 0, и правая часть(1.73) может обратиться в нуль лишь в некоторых состояниях приопределенных свойствах симметрии (при этом, естественно, оба сомножителя в левой части не обязаны обращаться в нуль одновременно).А это означает принципиальную невозможность выбора состояния снулевым разбросом определенных значений как для F , так и для G:при h(∆F )2 i → 0 h(∆G)2 i → ∞ и наоборот.В качестве примера рассмотрим соотношение (1.73) применительнок координате и импульсу (соотношение Гейзенберга, полученное им в1927 г.):}2h(∆x)2 ih(∆px )2 i >.(1.74)4Если подбирать состояние таким образом, чтобы свести к нулю неопределенность координаты, то, в соответствии с (1.74), неопределенностьимпульса неограниченно возрастет.Состояния, в которых соотношение неопределенностей превращается в строгое равенство, называются когерентными.Вернемся теперь к вопросу о траектории движения, понятие которой отсутствует в микромире.
Рассмотрим, например, движение теламассой 1 кг со скоростью 1 м/с. Пусть приемлемой погрешностью в39определении скорости будет 0,001 м/с. Оценим с помощью соотношения неопределенностей (1.74) неточность в значении величины координаты. Она оказывается порядка 5·10−32 м, что на много порядковменьше размеров атомного ядра и совершенно несравнимо с величинами погрешностей при измерении координат в реальном эксперименте.Таким образом, в макромире соотношение неопределенностей практически не сказывается (точнее — неопределенности пренебрежимо малы). Причиной является наличие малого параметра } в правой частисоотношения неопределенностей.В случае совместно измеримых величин B̂ = 0 и правая часть(1.73) оказывается строго нулевой.
А это означает возможность выбора состояния с нулевым разбросом определенных значений и для F , идля G.1.12.Временное уравнение ШредингераДо сих пор мы не затрагивали вопросов о зависимости волновойфункции от времени и о возможности определения квантовых состояний конкретной квантовой системы. Относительно общего вида уравнения для Ψ(ξ, t) можно лишь утверждать, что оно должно быть линейным и однородным (на основании принципа суперпозиции) и выражатьпервую производную ∂Ψ/∂t волновой функции по времени через значение самой волновой функции в тот же момент времени t. Последнееобстоятельство обусловлено тем, что волновая функция Ψ(ξ, t) полностью определяет состояние системы в момент времени t, а, следовательно, и производную ∂Ψ/∂t в этот момент времени (аналогично тому, какв классической механике задание обобщенных координат и скоростей(qi (t) и q̇i (t)) однозначно определяет и обобщенные ускорения q̈i (t)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
