QML1 (1129441), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Это означает,что после введения обозначенияn = nr + l + 1спектр (2.78) примет вид:Z 2 e2En = − 2 ,2n a0n = 1, 2 . . .(2.79)Мы получили формулу Бора. Так как радиальное квантовое число nrпринимает значения 0,1,. . . , то квантовое число l при фиксированномn будет принимать значения l = n − nr − 1 = 0, 1, .
. . , n − 1, т. е. всего nзначений. Таким образом, энергетические уровни (2.79) вырождены повеличине L2 с кратностью l + 1. Это так называемое «случайное» вырождение обусловлено спецификой кулоновского потенциала, а именно наличием дополнительного интеграла движения — вектора Рунге –Ленца, которому соответствует оператор =r [p̂ × L̂] − [L̂ × p̂]−.rµZe2Учитывая вырождение каждого значения L2 по величине Lz , получаемкратность вырождения уровней (2.79):gn =n−1X(2l + 1) = n2 ,l=076(2.80)которая, как и энергия, определяется одним лишь главным квантовым числом.
Спектр (2.79) называется водородным, или ридберговским.Число его уровней бесконечно. Ограничивающее его сверху нулевоезначение энергии является точкой сгущения уровней:lim En = −0.n→+∞Радиальные волновые функции стационарных состояний Rnl (r)можно выразить через вырожденную гипергеометрическую функцию1 F1 (см. приложение Б):Rnl (r) = Nnl r2Zrna0гдеNnl =lZrexp −1 F1 (−n + l + 1; 2l + 2; 2Zr/na0 ),na0(2.81)2Zna0 3/21(2l + 1)!s(n + l)!2n(n − l − 1)!— нормировочный множитель.
При заданном l и различных n волновые функции (2.81) взаимно ортогональны и нормированы на единицуусловием (2.51).Как и в любом центральном поле, функции (2.81) параметрическизависят от орбитального квантового числа l. Поэтому для классификации состояний радиального движения в водородоподобном ионе существует система специальных обозначений — спектроскопических символов. Они состоят из двух частей: на первом месте ставится главноеквантовое число, на втором — буква, соответствующая орбитальномуквантовому числу (см. табл. 2.1).Таким образом, волновые функции стационарных состояний водородоподобного иона имеют вид:Ψnlml (r) =1Rnl (r) Ylml (θ, ϕ),r(2.82)где Rnl (r) дается соотношением (2.81).
Они определяются тремя квантовыми числами: главным n = 1, 2 . . ., орбитальным l = 0, 1, . . . , n − 1 имагнитным ml = 0, ±1, . . . , ±l.Основным состоянием атома водорода является 1s-состояние. Еговолновая функция в сферических координатах имеет вид:Ψ1s (r) = Ψ100 (r, θ, ϕ) =77sZ3Zrexp −,πa30a0(2.83)а энергияE1sZ 2 e2.=−2 a0(2.84)Для атома водорода (Z = 1) E1s = 13,6 эВ.В классической постановке задачи движущийся по орбите электрон,непрерывно теряя энергию на излучение электромагнитных волн, должен был бы упасть на ядро, т. е.
тогда бы E → −∞. По законам жемикромира, энергия электрона в атоме ограничена снизу, что согласуется с принципом неопределенности. Плотность вероятности распределения электрона в соответствии с общими свойствами стационарныхсостояний не зависит от времени. Поэтому атом в основном состоянииможет существовать сколь угодно долго. Таким образом, последовательная квантовая теория позволяет предсказать стабильность атомаи дискретность его уровней энергии без использования таких гипотезad hoc, как постулаты Бора.2.8.Распределение заряда электрона в атомеИсследуем распределение заряда электрона в связанных стационарных состояниях водородоподобного иона (2.82).
Вероятность обнаружения электрона в окрестности точки с координатой r дается выражением:(2.82)dwnlml (r) = wnlml (r) d3 r = wnlml (r, θ) r2 dr dΩ =2= Rnl(r) |Ylml (θ, ϕ)|2 dr dΩ. (2.85)Структура сферических функций (2.38) исключает зависимость вероятности (2.85) от полярного угла.Радиальное и угловое распределения будем исследовать по отдельности.Радиальное распределениеВычислим вероятность обнаружения электрона в сферическом слоерадиуса r и толщины dr. Для этого проинтегрируем выражение (2.85)по полному телесному углу:ZZ(2.85)2dwnl (r) =dwnlml (r) = Rnl (r) dr |Ylml (θ, ϕ)|2 dΩ,| {z }(Ω)|{z}wnl (r)178откуда плотность радиального распределения электрона2wnl (r) = Rnl(r).(2.86)Она нормирована на единицу.В качестве примера рассмотрим основное состояние.
Радиальноераспределение электронной плотности дается выражением:2Zr4Z 2.w1s (r) = 3 r exp −a0a0Рис. 2.8.Оно достигает максимума на расстоянии a = a0 /Z (рис. 2.8). Это наиболее вероятное расстояние между электроном и ядром. В случае атомаводорода это расстояние равняется в точности a0 — параметр, введенный Бором в его теории атома водорода. Именно поэтому a0 называютрадиусом первой боровской орбиты (или просто боровским радиусом),хотя в классическом смысле говорить об орбите в атомных масштабахнельзя — отсутствует понятие траектории.Можно показать, что в произвольном стационарном состоянии(2.82) радиальное распределение имеет nr = n − l − 1 максимумов.Угловое распределениеВычислим угловое распределение электрона в состоянии (2.82).
Дляэтого проинтегрируем (2.85) по радиальной координате:ZZ ∞(2.85)22dwlml (θ) =dwnlml (r) = |Ylml (θ, ϕ)| dΩRnl(r) dr ,{z}|0(r)|{z}wlm (θ)l791zzzyxyxl = ml = 0yxl = 1, ml = 0l = 1, ml = ±1Рис. 2.9.откуда плотность углового распределения электронаwlml (θ) = |Ylml (θ, ϕ)|2 .(2.87)Она аксиально симметрична (поскольку квадрат модуля сферическойфункции не зависит от ϕ), нормирована на единицу и не зависит отвида потенциала, а определяется лишь значениями L2 и Lz , т. е. выражение (2.87) справедливо для любого центрального потенциала.
Очевидно, чтоwlml (θ) = wl|ml | (θ).Приведем явный вид распределения (2.87) для частных значенийорбитального и магнитного квантовых чисел:133; w10 (θ) =cos2 θ; w1 ±1 (θ) =sin2 θ.4π4π8πВидно, что в s-состояниях распределение электронной плотности будетсферически симметричным. Соответствующие графики угловых распределений представлены на рис. 2.9. Расстояние до начала координатпропорционально величине электронной плотности.w00 (θ) =2.9.Токи в атомах. МагнетонКак уже говорилось в разделе 2.1, в связанных состояниях одномерного движения токи отсутствуют. Однако в трехмерных системах дажев связанных состояниях токи могут существовать. Продемонстрируемэто на примере атома водорода.Вычислим плотность потока вероятности в состояниях (2.82) поформуле (1.93).
Вспомним вид градиента в сферических координатах:1∂∂ 1 ∂∇=,,.(2.88)∂r r ∂θ r sin θ ∂ϕ80Функции (2.82) факторизуются в произведение трех сомножителей,каждый из которых является соответственно функцией либо r, либоθ, либо ϕ. Первые две вещественны, поэтому в соответствии с (2.82),(2.88), радиальная и «меридиональная» составляющие тока обращаются в нуль: jr = jθ = 0 (см. рис.
2.10). Функция (2.82) зависит от ϕтолько через множитель eimϕ , поэтому «параллельная» составляющаятока jϕ будет ненулевой:j(r) = jϕ eϕ =}ml 1|Ψnlml (r)|2 eϕ .m r sin θ(2.89)Это свидетельствует о существовании замкнутых токов в атоме.Как известно из курса электродинамики, замкнутые токи создаютмагнитный момент:ZZ1e3M=[r × j e ] d r = −[r × j(r)] d3 r.(2.90)2c2cВычислим магнитный момент водородоподобного иона в состоянии(2.82), подставив выражение для тока (2.89) в (2.90):Z1e}ml|Ψnlml (r)|2 [r × eϕ ] d3 r.M=−2mcr sin θ| {z }reθНайдем декартовы компоненты вектора M.
Принимая во внимание,что [r × eϕ ] = reθ , (eθ )z = sin θ, (eθ )x = − cos θ cos ϕ, (eθ )y =R 2πR 2π= − cos θ sin ϕ, а также учитывая, что 0 sin ϕ = 0 cos ϕ = 0, получаем:Ze}mlM=−ez |Ψnlml (r)|2 d3 r = −µB ml ez ,(2.91)2mc|{z}1где µB = e}/(2mc) — магнетон Бора. Для электрона µB = 9,27 ·10−24 Дж/Тл. Таким образом, проекция магнитного момента в атоме квантуется. Она может принимать только те значения, которыекратны магнетону Бора:Mz = −µB ml ,(2.92)где m — магнитное квантовое число. Другими словами, магнетон Бора — это квант магнитного момента микроскопической системы.
Именно это квантование магнитного (и соответственно — орбитального) момента атома и наблюдалось в опытах Штерна – Герлаха. Обратим внимание, что выражение (2.92) не зависит от вида радиальной функции81Рис. 2.10.и определяется только магнитным квантовым числом, поэтому оносправедливо для любой заряженной частицы, приведенной в состояниес определенным значением Lz , в частности, для связанного состоянияэлектрона в любом центральном потенциале V (r).ВеличинаMze=−(2.93)Lz2mcне зависит от магнитного квантового числа и называется гиромагнитным отношением.
Оно определяется только массой и зарядом частицыи такое же, как отношение магнитного момента к моменту импульса заряженной частицы в классической электродинамике.Строго говоря, формула (2.92) справедлива только для бесспиновых частиц, к которым электрон не относится. Тем не менее, эта формула даетверное значение разности между соседними квантованными значениями M zкак для частиц со спином, так и без спина.82Глава 3.Теория представленийВ предыдущих разделах мы использовали для математическогоописания квантовых состояний волновые функции, аргументом которых является набор обобщенных координат, а физическим величинамсопоставлялись операторы, действующие на эти же обобщенные координаты.
Данный способ математического изображения квантовых состояний и операторов физических величин, называемый иначе представлением, не является единственно возможным. В данной главе мыпознакомимся с другими представлениями, наиболее часто используемыми в квантовой теории, а также с дираковским формализмом и такназываемыми унитарными преобразованиями.3.1.Различные представления волновой функцииЗадание волновой функции Ψa (r) в конфигурационном пространстве (координата r в аргументе Ψa (r)) не является единственным математическим способом «изображения» данного квантового состояния«a» микросистемы. Фактически для данного состояния существеннымявляется лишь набор квантовых чисел «a» («индекс состояния»), характеризующих данное состояние. Вместо использования зависящей откоординат волновой функции Ψa (r) абсолютно ту же самую информацию о квантовом состоянии системы («a») можно получить, зная наборкоэффициентов ca (Gn ) разложения Ψa (r)XΨa (r) =ca (Gn )ΦGn (r)(3.1)nпо полной системе собственных функций ΦGn (r) любого эрмитова оператора Ĝ (ĜΦGn = Gn ΦGn ), действующего в том же пространстве, вкотором определены функции Ψa (r).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
