QML1 (1129441), страница 16
Текст из файла (страница 16)
е. через интегральноепреобразование с ядром r pp0 :b(p) =Z03 0r pp0 a(p ) d p = −i}Z∇p0 δ(p0 − p) a(p0 ) d3 p0 == i}∇p0 a(p0 )|p0 =p = i}∇p a(p) = r̂a(p).Таким образом, r̂ = i}∇p , что по структуре аналогично оператору импульса в координатном представлении, за исключением знака.Ниже приведена таблица 3.1 для некоторых операторов в координатном и импульсном представлениях.Таблица 3.1Некоторые операторы в r- и p-представленияхОператорr-представлениеp-представлениеri}∇p−i}∇rpКоордината r̂Импульс pМомент импульса L̂Кинетическая энергия T̂Потенциальная энергия V̂3.4.−i}[r × ∇r ]}2 2−∇2m rV (r)i}[∇p × p]p22mV (i}∇p )Теория представлений и наблюдаемые величины. Матричная механикаРассмотрим уравнение для собственных функций и собственныхзначений оператора F̂ в координатном представлении:F̂ ΨF (ξ) = F ΨF (ξ).(3.21)Переформулируем эту задачу для G-представления, т.
е. спроецируем уравнение (3.21) на базисные функции |ni ≡ Ψn (ξ) оператора Ĝ.90Для этого разложим неизвестную функцию ΨF (ξ) по базисному набору {Φn (ξ)}:XΨF (ξ) =cn0 Φn0 (ξ),(3.22)n0где коэффициенты {cn } подлежат определению. Теперь подставим(3.22) в (3.21), умножим слева на Φ∗n (ξ) и проинтегрируем по ξ. Врезультате получается система линейных однородных алгебраическихуравнений для F и набора коэффициентов {cn }:XFnn0 cn0 = F cn .(3.23)m0Ее можно получить из (3.21) и с помощью формализма Дирака на основе соотношения полноты (3.11) и переобозначений Fnn0 ≡ hn| F̂ |n0 i,cn ≡ hn |F i.Дифференциальное уравнение (3.21) и матричное уравнение (3.23)эквивалентны. В результате их решения получается один и тот жеспектр F .
Оператору F̂ теперь сопоставляется его матрица Fnn0 в Gпредставлении, а функции ΨF (ξ) — упорядоченный набор коэффициентов {cn }, т. е. G-представление абстрактного вектора ΨF гильбертовапространства.Условием нетривиальной разрешимости системы (3.23) относительно {cn } является обращение в нуль ее детерминанта, т. е. уравнение длясобственных значений F становится алгебраическим:kFnn0 − F δnn0 k = 0.(3.24)С каждым значением F , найденным из (3.23), вычисляются наборы{cn }, которые затем нормируются условиемX|cn |2 = 1.nВ импульсном представлении, которое является непрерывным, матричное уравнение (3.23) превращается в интегральное уравнение Фредгольма, ядром которого является матрица Fpp0 ≡ hp| F̂ |p0 i:ZFpp0 cF (p0 ) d3 p0 = F cF (p).(3.25)Матричная формулировка квантовой механики впервые была предложена в 1925 г.
В. Гейзенбергом, который построил такую формальную схему квантовой механики, в которой вместо координат и скоростей микрочастиц фигурировали некоторые абстрактные алгебраические величины — матрицы. Связь между различными наблюдаемыми91величинами давалась весьма простыми правилами. Идея Гейзенбергабыла развита М.
Борном и П. Йорданом. Так возникла «матричнаямеханика». Вскоре после открытия уравнения Шредингера была показана математическая эквивалентность «матричной» и «волновой» формулировок, которые просто соответствуют различным представлениямвекторов состояний и операторов (в этом легко убедиться, если сопоставить уравнения (3.21) и (3.23)).Переход от одного представления к другому затрагивает вид какволновых функций, так и операторов. Неизменными, однако, остаютсяследующие фундаментальные величины и соотношения:– нормировка волновых функций;– ортогональность волновых функций;– коммутационные соотношения между операторами (а, значит, соотношения неопределенностей и интегралы движения);– собственные значения операторов.Таким образом, вид представления не влияет на значения наблюдаемыххарактеристик исследуемой системы.
Тем не менее, удачно выбранноепредставление часто позволяет значительно упростить решение конкретных задач.3.5.Энергетическое и импульсное представленияуравнения ШредингераРассмотрим временно́е уравнение Шредингера с некоторым гамильтонианом Ĥ в координатном представлении:i}∂Ψ(ξ, t) = ĤΨ(ξ, t).∂t(3.26)Если известны базис и спектр стационарного гамильтониана Ĥ0 (другого, чем Ĥ, который может зависеть от времени):Ĥ0 ϕn (ξ) = En ϕn (ξ),(3.27)то решение уравнения (3.26) можно искать в виде разложения по этомубазису с зависящими от времени коэффициентами cn0 (t):XΨ(ξ, t) =cn0 (t)ϕn0 (ξ).(3.28)n092Подставляя (3.28) в (3.26) и проецируя на ϕn , получаем энергетическое представление уравнения Шредингера (3.26) в базисе гамильтониана Ĥ0 :dcn (t) X=Hnn0 cn0 (t),(3.29)i}dt0nгде Hnn0 ≡ hϕn | Ĥ |ϕn0 i — матричный элемент гамильтониана уравнения (3.26) по базису собственных функций гамильтониана уравнения(3.27).
Система обыкновенных дифференциальных уравнений первогопорядка (3.29) эквивалентна уравнению Шредингера (3.26) — дифференциальному уравнению второго порядка в частных производных.В импульсном представлении временно́е уравнение Шредингера становится интегро-дифференциальным:Zdcp (t)i}= Hpp0 cp0 (t) d3 p0 ,(3.30)dtгде Hpp0 ≡ hp| Ĥ |p0 i.Энергетическое и импульсное представления стационарного уравнения ШредингераĤΨ(ξ) = EΨ(ξ)получаются соответственно из (3.23) и (3.25) при помощи замен F̂ → Ĥ,F → E.3.6.Матричная форма оператора производной повремени величины FРассмотрим квантовую систему с гамильтонианом Ĥ. Как известно,оператор производной по времени физической величины F , характеризующей эту систему, содержит частную производную оператора F̂ повремени и коммутатор F̂ с Ĥ (см.
(1.107)). В G-представлении (дляопределенности — дискретном) соотношение (1.107) принимает вид:dFdtnn0=∂1(3.16)Fnn0 + (F̂ Ĥ − Ĥ F̂ )nn0 =∂ti}1 X∂0=Fnn +(Fnn00 Hn00 n0 − Hnn00 Fn00 n0 ),∂ti} 00nгде для матричного элемента оператора Â введено обозначение Ann0 ≡≡ hGn | Â |Gn0 i.Если гамильтониан Ĥ квантовой системы является стационарным(∂ Ĥ/∂t = 0), то в энергетическом En -представлении (в котором Hnn0 =93= En δnn0 , где En — спектр оператора Ĥ) матричный элемент оператора производной по времени физической величины F выражается черезматричный элемент оператора самой этой величины и его частную производную по t:∂1dF=Fnn0 + (En0 − En )Fnn0 .(3.31)dt nn0∂ti}Здесь Ann0 ≡ hEn | Â |En0 i.В качестве примера использования полученных результатов, запишем соотношение (3.31) применительно к оператору координаты (т. е.положим F̂ = r и учтем обращение в нуль частной производной r повремени): dr1=(En0 − En )r nn0 .dt nn0i}ˆdrсвязан с оператором импульсаdtсоотношением (которое нетрудно получить из (1.107) с гамильтонианомĤ в виде (1.82))ˆdrp̂= ,dtmполучаем полезное во многих приложениях соотношение между матричными элементами координаты и импульса:Замечая, что оператор скорости v̂ ≡pnn0 =im(En − En0 )r nn0 .}(3.32)Соотношение (3.32) можно также получить прямыми вычислениями сиспользованием коммутационных соотношений и самосопряженностигамильтониана Ĥ (см.
[3] основной литературы, ч. 1), что является одним из свидетельств непротиворечивости матричного формализма.3.7.Унитарные преобразованияПереход от одного представления к другому является частным случаем так называемого унитарного преобразования, которое осуществляется с помощью некоторого унитарного оператора Û:|a0 i = Û |ai .Напомним определение унитарного оператора: Û † = Û −1 .94(3.33)Для доказательства унитарности перехода от одного представления волновых функций к другому воспользуемся дираковской техникой. Коэффициенты hGm |Fn i преобразования (3.13) образуют матрицу.Данная матрица унитарна:XXhGm |Fn i hGm0 |Fn i∗ = hGm ||Fn i hFn | |Gm0 i = hGm |Gm0 i = δmm0 .n|n{z1̂}В соответствии с правилом преобразования (3.33) для вектора иопределением обратного оператора получаем правило преобразованиядля оператора при унитарном преобразовании абстрактных векторовсостояний (или волновых функций):F̂ 0 = Û F̂ Û −1 .(3.34)На основании (3.33), (3.34) нетрудно показать, что при любых унитарных преобразованиях остаются неизменными следующие фундаментальные конструкции квантово-механической теории:– средние значения физических величин;– собственные значения операторов;– скалярные произведения векторов в гильбертовом пространстве(а значит, ортогональность и нормировка);– матричные элементы операторов;– коммутационные соотношения между операторами (а значит, соотношения неопределенностей и интегралы движения).Частным примером унитарных преобразований являются сдвиги иповороты системы координат (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
