QML1 (1129441), страница 17
Текст из файла (страница 17)
задачи 24 и 25 части 1 в [3]).Унитарные преобразования важны потому, что в ряде случаев удачно выбранное преобразование позволяет существенно упростить решение задачи.Канонические преобразования координат и импульсов в гамильтоновом формализме классической механики являются классическиманалогом унитарных преобразований.3.8.Представления зависимости операторов и волновых функций от времениТеория представлений имеет несколько аспектов.
В предыдущихразделах рассматривались различные способы выбора переменной, от95которой, как от параметра, зависит волновая функция в фиксированный момент времени t: координаты, импульса, энергии и т.д. Здесьмы рассмотрим наиболее распространенные представления зависимости операторов и волновых функций от времени. В отличие от всехпредыдущих случаев (см., например, (3.13)), соответствующие унитарные преобразования должны теперь явно содержать зависимость отвремени.Представление ШредингераЕсли гамильтониан системы не зависит от времени, удобно пользоваться операторами, математическая форма которых также не зависитот времени.
В этом случае изменение состояний и средних значенийво времени связано лишь с зависимостью от времени волновых функций (в дираковском представлении — с «вращением» вектора состоянияв гильбертовом пространстве «кет»-векторов).
Такой способ описанияэволюции системы во времени называется представлением Шредингера, и мы им пользовались в предыдущих главах. Операторы и волновыефункции в представлении Шредингера будем отмечать индексом «S».Чтобы лучше понять суть представления Шредингера, введем оператор Ûev (t) эволюции квантовой системы во времени соотношениемΨS (ξ, t) = Ûev (t)ΨS (ξ, 0);Ûev (0) = 1̂,(3.35)где ΨS (ξ, 0) — волновая функция системы в начальный момент времениt0 = 0. Для определения явного вида Ûev (t) подставим волновую функцию в форме (3.35) во временно́е уравнение Шредингера с гамильтонианом Ĥ. В результате получим «уравнение движения» для оператораэволюции:∂ Ûev (t)= Ĥ Ûev (t);Ûev (0) = 1̂.(3.36)i}∂tЕго формальное решение для случая независящего от времени гамильтониана имеет вид:iÛev (t) = exp − Ĥt .(3.37)}Унитарность Ûev (t) очевидна.Итак, если в момент времени t = 0 система находилась в состоянииΨS (ξ, 0), а физической величине F соответствовал оператор F̂ (будемобозначать его как F̂S ), то в момент t оператор сохраняет тот же самый вид, а волновая функция получается из ΨS (ξ, 0) путем унитарногопреобразования (3.35).
Соответственно среднее значение F тоже меняется с течением времени, и это изменение обусловлено исключительнозависимостью от времени волновой функции:96hF i = hΨS (ξ, t)|F̂S |ΨS (ξ, t)i.(3.38)Представление ГейзенбергаАльтернативный представлению Шредингера метод описания временной эволюции квантовой системы, т. е. когда от времени зависяттолько операторы, но не волновые функции, называется представлением Гейзенберга. Волновым функциям и операторам в этом представлении будет приписываться индекс «H».
Суть представления Гейзенбергапроще всего понять, если попытаться ответить на вопрос — а нельзя липолучить то же самое среднее значение F в момент времени t, что идаваемое выражением (3.38), считая, что волновая функция остаетсятой же, что и в момент t = 0 (обозначим ее через ΨH : ΨH ≡ ΨS (ξ, 0))?Ответ на этот вопрос легко получить, если переписать правую часть в(3.38) с учетом (3.35), унитарности оператора Ûev (t) и нашего определения ΨH :−1hF i = hΨH |Ûev(t)F̂S Ûev (t)|ΨH i = hΨH |F̂H (t)|ΨH i,где мы ввели зависящий от времени операторii−1Ĥt F̂S exp − Ĥt .F̂H (t) = Ûev(t)F̂S Ûev (t) = exp}}(3.39)(3.40)Соотношение (3.39) показывает, что, действительно, мы можем получить ту же самую информацию о физической величине F в моментвремени t (т.
е. ее среднее значение), считая, что волновая функция неизменяется со временем, а оператор этой величины меняется со временем согласно (3.40).Выражение (3.40) дает закон преобразования операторов физических величин при переходе от представления Шредингера к представлению Гейзенберга в момент времени t, а закон преобразования волновых функций при таком переходе следует из (3.35):i(3.37)−1ΨH (ξ) = Ûev (t)ΨS (ξ, t) = expĤt ΨS (ξ, t).(3.41)}Итак, как уже говорилось, в представлении Гейзенберга изменениеквантовых характеристик микросистемы с течением времени обусловлено зависимостью от времени операторов физических величин (в соответствии с (3.40)).
При этом возникает вопрос, как же установить этузависимость, если оператор эволюции неизвестен в явном виде? Операторное дифференциальное уравнение для оператора F̂H (t) получается97дифференцированием (3.40) (в котором операторы F̂S и Ĥ не зависятот t, поэтому все производные являются частными) по времени и имеетвид (проверить самостоятельно!):1∂F̂H (t) =[F̂H (t), Ĥ].(3.42)∂ti}В представлении Гейзенберга это уравнение заменяет временное уравнение Шредингера для волновой функции в представлении Шредингера.Представление Гейзенберга редко используется в квантовой механике, однако оно очень удобно в квантовой теории поля.Представление взаимодействияЭто представление удобно, когда на квантовую систему с гамильтонианом Ĥ0 действует внешнее (в общем случае, переменное во времени)поле. В этом случае полный гамильтониан задачи можно представитьв виде суммыĤ(t) = Ĥ0 + V̂ (t),где V̂ (t) — оператор взаимодействия системы с полем (часто называемый оператором возмущения).
Теперь уже гамильтониан Ĥ(t) зависитот времени и поэтому оператор эволюции не может быть представленв таком простом виде, как в (3.37). Однако и в этом случае можно отволновой функции ΨS (ξ, t) в шредингеровском представлении перейти к другому способу описания зависимости квантовых состояний отвремени (называемому представлением взаимодействия).
Для этогоможно использовать оператор эволюции с гамильтонианом Ĥ0 , который имеет тот же вид, что и (3.37) с заменой Ĥ → Ĥ0 . Таким образом,волновая функция в представлении взаимодействия Ψint (ξ, t) получается из волновой функции в представлении Шредингера с помощьюунитарного преобразованияiĤ0 t ΨS (ξ, t).(3.43)Ψint (ξ, t) = exp}Для установления связи оператора F̂S с соответствующим оператором величины F в представлении взаимодействия (обозначим искомыйоператор как F̂int (t)), определяемом преобразованием (3.43) для функций, потребуем, как и в случае перехода в гейзенберговское представление, чтобы среднее значение величины F в представлении взаимодействияhF i = hΨint (t)|F̂int (t)|Ψint (t)i(3.44)98совпадало с таковым в представлении Шредингера (оно определено в(3.38)).
Выражая из (3.43) функцию ΨS (ξ, t) через Ψint (ξ, t)i(3.45)ΨS (ξ, t) = exp − Ĥ0 t Ψint (ξ, t),}подставляя это выражение в (3.38) и сравнивая с (3.44), получаем правило перехода от представления Шредингера к представлению взаимодействия для операторов:iiF̂int (t) = expĤ0 t F̂S exp − Ĥ0 t .(3.46)}}Подставляя (3.45) во временно́е уравнение Шредингера для ΨS (ξ, t)с гамильтонианом Ĥ(t) = Ĥn0 + V̂ (t) иo учитывая, что оператор Ĥ0 коммутирует с оператором exp (i/}) Ĥ0 t , получаем следующее уравнениеШредингера для Ψint (ξ, t):i}где∂Ψint (ξ, t) = V̂int (t)Ψint (ξ, t),∂tiiV̂int (t) = expĤ0 t V̂ (t) exp − Ĥ0 t .}}(3.47)(3.48)Как и следовало ожидать, это выражение для V̂int (t) является частным случаем общей формулы (3.46) для операторов в представлениивзаимодействия.Уравнение движения для оператора в представлении взаимодействия получается дифференцированием выражения (3.46):∂1F̂int =[F̂int , Ĥ0 ].(3.49)∂ti}Преобразованиями, аналогичными описанным выше, можно установить и связь между представлениями взаимодействия и Гейзенбергадля функций и операторов.
Все эти представления физически эквивалентны, и каждое из них может быть использовано в качестве основыдля построения формализма квантовой теории, хотя математическаятехника для решения конкретных задач в каждом случае будет существенно различной. Как видно, представление взаимодействия является как бы промежуточным между шредингеровским и гейзенберговским представлениями: в нем зависимость операторов от временитакая же, как в представлении Гейзенберга с «полным» гамильтонианом Ĥ0 (который на самом деле является лишь первым слагаемым99в гамильтониане Ĥ(t)), а зависимость волновой функции Ψint (ξ, t) отвремени определяется как в представлении Шредингера с «полным» гамильтонианом V̂int (t) (который определяется лишь вторым слагаемымв истинном гамильтониане Ĥ(t) рассматриваемой квантовой системы).Удобство представления взаимодействия как раз и состоит в том, чтоиногда удается подходящим разделением полного гамильтониана Ĥ надве части уравнение для операторов в представлении взаимодействиярешить точно (выбирая выражение для Ĥ0 в достаточно простом, «решаемом» виде), а для решения уравнения (3.47) для волновой функцииразвить эффективные приближенные методы.100ПриложениеА.Дельта-функция ДиракаДельта-функция Дирака определяется как ядро «фильтрующего»интегрального оператора, который сопоставляет произвольной регулярной функции ее значение в нуле:Z+∞def(А.1)δ(x)f (x) dx = f (0).−∞Определение (А.1) обобщается на 3-мерный случай:Zdefδ(r)f (r) dr = f (0).(А.2)В декартовых координатах δ-функция векторного аргумента связана с1-мерной δ-функцией простым соотношением:(А.3)δ(r) = δ(x)δ(y)δ(z).Напомним основные свойства δ-функции.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
