QML1 (1129441), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Это очевидно из того, что между Ψa (r) и набором коэффициентов ca (Gn ) существует взаимно однозначное соответствие: задание ca (Gn ) однозначно определяет Ψa (r) поформуле (3.1), а знание Ψa (r) позволяет найти все ca (Gn ):ca (Gn ) =ZΦ∗Gn (r)Ψa (r) d3 r.83(3.2)Упорядоченный набор ca (Gn ) называется волновой функцией состояния «a» в G-представлении. Для наглядности его удобно изобразитьв виде столбца:ca (G1 ).c(G)ca (G) = (3.3)a2...Величина |ca (Gn )|2 (т. е. квадрат модуля волновой функции в Gпредставлении) дает распределение вероятностей различных значенийвеличины G в состоянии, характеризуемом набором квантовых чисел«a» (напомним, что квадрат модуля волновой функции в координатном (r-) представлении дает распределение вероятностей различныхзначений координат в состоянии «a», т. е.
аргумента волновой функцииΨa (r), который в теории представлений называется индексом представления).Отметим, что все вышесказанное справедливо для оператора Ĝ какс дискретным, так и с непрерывным спектром. В последнем случае Gnявляется непрерывной величиной, а суммирование в (3.1) заменяетсяинтегрированием:ZΨa (r) = ca (G)ΦG (r) dG;(3.4)Zca (G) = Φ∗G (r)Ψa (r) d3 r.(3.5)Рассмотрим теперь частный случай, когда Ψa (r) cовпадает с однойиз собственных функций оператора Ĝ, например, ΦGm (r). Тогда из (3.2)cледует, чтоca (Gn ) =ZΦ∗Gn (r)ΦGm (r) d3 r = δGn Gm = δnm .(3.6)Таким образом, собственная функция оператора Ĝ в G-представленииимеет вид δ-символа (для дискретного спектра) или δ-функции (длянепрерывного спектра).Описание состояния с помощью Ψa (r) называется координатнымпредставлением (или r-представлением). Если в качестве оператора Ĝ используется оператор импульса p̂, преобразование (3.2) даетволновую функцию состояния «a» в импульсном представлении (pпредставлении).
Напомним, что спектр оператора p вещественный инепрерывный, а произвольному собственному значению p соответствует собственная функция84Φp (r) =1(2π})3/2expipr .}(3.7)Подставляя (3.7) в (3.5), получим формулу перехода от координатногопредставления к импульсному:ca (p) =ZΦ∗p (r)Ψa (r) d3 r =1(2π})3/2Ziexp − pr Ψa (r) d3 r. (3.8)}Аргумент p этой функции является уже непрерывной независимой переменной (в отличие от заданного значения импульса p в функции(3.7)).
Видно, что переход от координатного представления к импульсному является, по сути дела, известным преобразованием Фурье волновой функции.Если оператором Ĝ является гамильтониан Ĥ (предполагается, чтоон не зависит от времени), то преобразование (3.2) дает энергетическоепредставление волновой функции (E-представление).3.2.Дираковский формализмНаряду с ранее использованным обозначением волновой функцииΨa (r) в координатном представлении нередко используется введенноеДираком скобочное обозначение:Ψa (r) = hr |ai .(3.9)Поясним смысл обозначения (3.9).
Согласно Дираку, любое состояние «a» квантовой системы можно описать (независимо от выбора представления) некоторой математической конструкцией, которая называется «кет»-вектором и обозначается символом |ai. Вследствие принципа суперпозиции «кет»-векторы можно складывать и умножать накомплексные скалярные величины и получать новые «кет»-векторы.Совокупность всех возможных «кет»-векторов образует абстрактноекомплексное векторное пространство бесконечного числа измерений,которое называется гильбертовым пространством.Каждому «кет»-вектору можно сопоставить так называемый дуальный вектор «бра», который обозначается символом ha| и связан с «кет»вектором операцией эрмитова сопряжения: ha| = |ai† .
Поэтому любоесостояние квантовой системы можно описать как «кет»-вектором, так исоответствующим ему «бра»-вектором. «Кет»- и «бра»-векторы имеютразличную математическую природу (как, например, строка и столбец)85и принадлежат различным гильбертовым пространствам, поэтому ихнельзя складывать. Это комплексные величины особого рода, которыене могут быть разделены на чисто вещественную и чисто мнимую части.
Действие любого оператора на «кет»-вектор, переводящего его вдругой «кет»-вектор того же гильбертова пространства, осуществляется слева направо и по отношению к операции эрмитова сопряжениярассматривается как произведение, т. е. если|bi = Ĝ |ai ,то(|bi)† = hb| = (Ĝ |ai)† = (|ai)† Ĝ† = ha| Ĝ† .Таким образом, действие оператора на «кет»-вектор слева направоэквивалентно действию эрмитово сопряженного оператора на соответствующий вектору «кет» дуальный (то есть «бра»-) вектор справа налево.Скалярное произведение «кет»-векторов |ai и |bi строится перемножением hb| и |ai: hb |ai 1 .
Скалярное произведение является обычным∗комплексным числом и удовлетворяет соотношению hb |ai = ha |bi (аналогично скалярному произведению обычных комплексных функцийa(r) и b(r) в гильбертовомRпространстве квадратично-интегрируемыхфункций, зависящих от r: a∗ (r)b(r) d3 r).Векторы, соответствующие состояниям финитного движения, можно нормировать условием ha |ai = 1.Базисные векторы линейного эрмитова оператора Ĝ (Ĝ |Gn i == Gn |Gn i) удовлетворяют условию ортонормировкиhGn |Gm i = δGn Gm = δnm .(3.10)Свойство (3.10) записано для дискретного спектра. В случае непрерывного спектра δ-символ заменяется δ-функцией.Конструкция F̂ = |biha|, в отличие от hb |ai, является оператором,т.
к. при его действии на («кет» или «бра») вектор получается новый(«кет» или «бра») вектор:F̂ |ci = |biha |ci ;hc| F̂ = hc |biha| .Для полной ортонормированной системы векторов выполняетсяусловие полноты:X|Gn ihGn | = 1̂,(3.11)nгде 1̂ — единичный оператор. Для базиса, соответствующего непрерывному спектру, суммирование в (3.11) заменяется интегрированием.1Термины «бра» и «кет» соответствуют частям английского слова bracket —скобка, т. к. скалярное произведение обозначается такой скобкой.86Соотношение (3.11) чрезвычайно удобно для разложения произвольного вектора |ai по базису некоторого оператора Ĝ:(3.11)|ai = 1̂ |ai =Xn|Gn ihGn |ai =Xnc(Gn ) |Gn i .(3.12)Оператор P̂n = |Gn ihGn | в (3.12) называется проекционным, т. к.
онпозволяет получить «проекцию» произвольного вектора |ai на вектор|Gn i и, в частности, коэффициенты разложения вектора |ai по базисуоператора Ĝ: c(Gn ) = hGn |ai.Пусть базис оператора Ĝ задается множеством векторов |Gn i. Тогда упорядоченный набор коэффициентов разложения некоторого вектора |ai по базису оператора Ĝ (см. (3.12)) принято называть Gпредставлением состояния |ai. Для него уже имеется дираковское обозначение hGn |ai. Символ в «кет»-векторе называется индексом состояния, в «бра»-векторе — индексом представления.
Другими словами,G-представление состояния |ai представляет собой множество всех егопроекций на состояния с определенными значениями величины G. Онодает «явный» вид вектора |ai, удобный для различных вычислений.Данное утверждение поясняет смысл обозначения (3.9): значение волновой функции Ψa в точке с координатой r равно проекции состояния«a» на состояние с координатой r.Пользуясь дираковской техникой, легко получаем правило перехода от F -представления волновой функции состояния |ai к Gпредставлению.
Для простоты спектр операторов F̂ и Ĝ предполагаемдискретным. На основании (3.11) имеем:XX∗hGm |ai = hGm | 1̂ |ai = hGm ||Fn ihFn |ai =hFn |Gm i hFn |ai .nn(3.13)Набор коэффициентов перехода hFn |Gm i образует F -представление состояния |Gm i (см. также (3.2), (3.5)). Обобщение (3.13) на случай непрерывного спектра очевидно.Очень часто, если это не вызывает недоразумений, в обозначениидираковского вектора вместо определенного значения физической величины G для краткости указывается лишь набор соответствующихквантовых чисел: |Gn i ≡ |ni.Ниже всюду взаимосвязь различных представлений будет даватьсяв дираковском формализме.873.3.Теория представлений для операторов физических величинВ конкретных вычислениях необходимо использовать одинаковоепредставление как для векторов состояний, так и для операторов. Подобно векторам состояний, оператору F̂ в G-представлении сопоставляется упорядоченный набор коэффициентов его разложения по базису оператора Ĝ.
В дираковской форме этот базис представляет собойоператорную конструкцию |Gk ihGn |, так что разложение выглядит следующим образом:F̂ =Xkn|Gk i Fkn hGn | .(3.14)Выражение для коэффициентов Fkn получается из (3.14) на основесвойства ортонормировки (3.10):Fkn = hGk | F̂ |Gn i .(3.15)Конструкция в правой части (3.15) называется матричным элементомоператора F̂ в G-представлении. Легко заметить, что среднее значениевеличины F в состоянии |Gn i равно соответствующему диагональномуматричному элементу. На основе соотношения полноты (3.11) можнотакже получить формулу, связывающую матричный элемент произведения операторов с матричными элементами каждого сомножителя водном и том же базисе {|Gn i}:XhGn | ÂB̂ |Gn0 i =hGn | Â |Gn00 i hGn00 | B̂ |Gn0 i .(3.16)n00Соотношение (3.16) полностью эквивалентно алгебраическому правилуперемножения матриц.Исследуем структуру матрицы линейного эрмитова оператора Ĝ всвоем собственном представлении.Вновь ограничимся случаем дискретного спектра:(3.10)hGk | Ĝ |Gn i = Gn hGk |Gn i = Gn δkn .В случае непрерывного спектра (n → F, k → F 0 ) в правой части получим δ-функцию δ(F − F 0 ).
Таким образом, в своем собственном представлении матрица линейного эрмитова оператора будет диагональной.Получим правило действия оператора F̂ на вектор |ai в Gпредставлении.88Пусть |bi = F̂ |ai. Домножим это соотношение слева на базисныйвектор hGn |:(3.11)hGn |bi = hGn | F̂ |ai = hGn | F̂ 1̂ |ai =XmhGn | F̂ |Gm ihGm |ai(3.17)— обычное правило умножения матрицы на столбец: hG1 |bihG1 | F̂ |G1 i hG1 | F̂ |G2 i .
. .hG1 |ai hG2 |bi = hG2 | F̂ |G1 i hG2 | F̂ |G2 i . . . hG2 |ai . ...............В случае непрерывного спектра имеем:ZhG |bi = dG0 hG| F̂ |G0 ihG0 |ai .(3.18)Это интегральное преобразование с ядром hG| F̂ |G0 i.Использованные ранее операторы в координатном представлениитакже могут быть записаны в матричной форме: hr| r̂ |r 0 i = r δ(r − r 0 );hr| p |r 0 i = δ(r − r 0 )(−i}∇r0 ) и т.д. При этом интегрирование (3.18) поd3 r0 снимается δ-функцией.Правило пересчета матричного элемента из одного представленияв другое легко выводится из свойства полноты (3.11), например, дляперехода от ξ-представления к G-представлению оператора F̂ имеем:XhGk | F̂ |Gn i = hGk | 1̂F̂ 1̂ |Gn i =hGk |ξ 0 ihξ 0 | F̂ |ξihξ |Gn i .(3.19)ξ ξ0Для перехода от координатного представления диагонального оператора F̂ к G-представлению на основании (3.19) получаем следующуюформулу:ZhGk | F̂ |Gn i = Φ∗Gk (r)F̂ ΦGn (r) d3 r,(3.20)где ΦGn (r) ≡ hr |Gn i.В качестве иллюстрации получим импульсное представление оператора координаты.На основе (3.18) получим вначале матричный элемент операторакоординаты в импульсном представлении, исходя из его вида в координатном представлении:Z1ii 00r pp0 = hp| r̂ |p i =exp − pr r exp p r d3 r =3(2π})}}891=(−i}∇p0 )(2π})3i 0exp (p − p)r d3 r = −i}∇p0 δ(p0 − p).}|{z}Z(2π})3 δ(p0 −p)Здесь ясно видна диагональная структура матрицы координаты в импульсном представлении.В импульсном представлении оператор координаты действует нафункцию в соответствии с правилом (3.18), т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
