М.Г. Иванов - Как понимать квантовую физику (1129349), страница 83
Текст из файла (страница 83)
(16.14)− r − E1 φ(r) = 0,φ (r) +2μ2μr 216.4.1. Кулоновские и атомные единицыУравнение Шрёдингера для атома водорода или водородоподобногоиона удобно обезразмерить. В качестве атомной единицы массы используется масса электрона (приведённая). В качестве единицы действия, какобычно в квантовой механике,используется постоянная Планка. В каче√стве единицы заряда — Z e.
То есть, чтобы ввести кулоновские единицы,мы полагаем три размерные константы (с несводимыми размерностями)равными единицеμ = 1,h̄ = 1,Ze2 = 1.Этого достаточно, чтобы однозначно фиксировать систему единиц.Поскольку ядра существенно тяжелее электрона (протон в 2 × 103 раз),приведённая масса μ для движения электрона в поле ядра близка к массесвободного электрона. В частности для водородаμ (1 − 0,5 × 10−3 ) · me .466ГЛАВА 16Атомные единицы получаются в случае μ = me , Z = 1me = 9,109 × 10−28 г = 1,h̄ = 1,055 × 10−27 эрг · с = 1,e = 4,803 × 10−10 ед.
СГС = 1.Размерности у этих констант следующие:[me ] = M,[h̄] = ET = M L2 T −1 ,[e2 ] = EL = M L3 T −2 .Выпишем следующие отсюда единицы некоторых физических величин. Это следует сделать хотя бы для того, чтобы представить себе порядокразличных величин, характерных для задачи.Характерная скорость оказывается порядка 1/100 от скорости света:e2 = 2,187 × 108 см/с ∼ 10−2 c,h̄c = 2,997 924 58 × 1010 см/с.Это означает, что мы можем в первом приближении пренебречь релятивистскими эффектами, однако при умеренно точных измерениях релятивистские эффекты будут сказываться.
Из гамма-фактора1γ= 1≈≈ 1 + 2,5 × 10−52−41 − (v/c)1 − 0,5 × 10относительная точность нерелятивистского приближения оцениваетсякак ∼ 10−5 .Атомная единица длины — радиус Бора, как мы видим, ангстрем(1 Å = 10−10 м = 10−8 см) оказался удобной единицей длины на атомныхрасстояниях2a = h̄ 2 = 0,529 × 10−8 см = 0,529 Å.meАтомная единица времени (длина разделить на скорость) позволяетпредварительно оценить, какие процессы, совершающиеся с атомами следует считать быстрыми, а какие медленными:3ta = h̄ 4 = 2,419 × 10−17 с.meАтомная единица энергии составляет два ридберга (Ry).
Мы видим,что 1 эВ оказался весьма удачной единицей для атомных процессов:42ε0 = 2Ry = me2 = ea = 27,1 эВ = 4,34 × 10−18 Дж = 4,34 × 10−11 эрг.h̄16.4. АТОМ467ВОДОРОДА16.4.2. Решение безразмерного уравненияПосле обезразмеривания получаем− 1 φ (ρ) +2!l(l + 1) 11 φ(ρ) = 0,+−ρ 2n22ρ2φ(0) = 0.(16.15)−Здесь = Eε01 = − 2n1 2 — обезразмеренная энергия (n — обезразмереннаядлина затухания волновой функции при r → ∞), ρ = ar — обезразмеренныйрадиус.Мы будем искать состояния дискретного спектра, т. е. состоянияс < 0.Мы знаем асимптотики φ при малых и при больших ρφ(ρ) ∼ ρl+1 , ρ → 0,1 = √−2.φ(ρ) ∼ e−ρ/n , ρ → ∞, nВыделим асимптотики из φ:φ(ρ) = ρl+1 · e−ρ/n · u(ρ).Здесь u(ρ) — новая неизвестная функция, она должна при малых ρ вестисебя так, чтобы не испортить асимптотику ρl+1 , а при больших — чтобы неиспортить e−ρ/n :%$l(l + 1) 2(l + 1)11l+1−ρ/n l+1φ (ρ) = ρ · e· u + 2u− nρ + 2 .ρ − n +uρ2nРадиальное уравнение принимает следующий вид:u + u l + 1 − 1 + u n − l − 1 = 0,ρnρn2 ρn−l−1ρu + 2u l + 1 − n + 2u= 0.nБудем искать функцию u(ρ) в виде ряда по степеням ρ:u(ρ) =∞k=0C k ρk ,(16.16)468ГЛАВА 16u (ρ) =∞(k + 1)Ck+1 ρk ,u (ρ) =k=0∞(k + 2)(k + 1)Ck+2 ρk ,k=0∞)(k + 2)(k + 1)Ck+2 ρk+1 + 2(l + 1)(k + 1)Ck+1 ρk −k=0%2(n − l − 1)2(k + 1)k+1k+−Ck+1 ρCk ρ = 0,nn∞k=0$%2(n−l−1)Ck ρk = 0,(k + 1)kCk+1 + 2(l + 1)(k + 1)Ck+1 − 2kn Ck +n$%∞2(n − l − 1 − k)Ck ρk = 0.(2l + k + 2)(k + 1)Ck+1 +nk=0Отсюда получаем рекуррентную формулу для коэффициентов разложения:Ck+1 = −Ck2(n − l − 1 − k).n(2l + k + 2)(k + 1)(16.17)При больших k2 )k(nCk+1 ≈ Ck 2 ≈ constnkk!⇒u(ρ) ≈ const · e2ρ/n , ρ → ∞.Это превращает правильную асимптотику φ ∼ e−ρ/n при ρ → ∞ в неправильную асимптотику φ ∼ e+ρ/n , которая тоже удовлетворяет уравнениюШрёдингера, но была откинута, т.
к. такая волновая функция ненормируема.Чтобы сохранить правильную асимптотику на больших расстоянияхнеобходимо потребовать, чтобы ряд по степеням ρ обрывался, т. е. должнобыть такое значение K = 0, 1, 2, . . . , что CK = 0, но2(n − l − 1 − K)=0CK+1 = − CK n(2l + K + 2)(K + 1)⇒n = l + 1 + K ∈ N.=0Таким образом, параметр n, с помощью которого мы параметризовали энергию, должен быть натуральным числом:kK (2l + 1)!(n − l − 1)!2ρu(ρ) = C0.−n(2l + 2 + k)!(n − l − 2 − k)!k!k=016.4. АТОМВОДОРОДА469С точностью до нормировочного множителяk2ρ−nKu(ρ) = const ·(2l + 2 + k)!(K − 1 − k)!k!k=0Это полином степени K = n − l − 1.16.4.3.
Атом водорода в «старой квантовой механике»*Каждый школьник знает, что атом Бора — это не атом бора, а атом водорода.П. Л. Капица во время посещения Н. Бором Москвы в 1961 г.** Цитируется по книге Белонучкин В. Е., Заикин Д. А., Ципенюк Ю. М. Основы физики. Курс общей физики: Учебн. В 2 т. Т. 2. Квантовая и статистическая физика / Подред. Ю. М. Ципенюка.
— М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.Интересно, что точный спектр для частицы в кулоновском поле можетбыть получен из квазиклассических соображений. Впервые это было сделано Бором в 1913 году исходя из того, что на классической круговой орбитедолжно умещаться целое число волн де Бройля, это условие соответствуетусловию квантования классического момента импульса при круговом движении: L = pR = nh̄.Для круговой орбиты радиуса R2'2222pU = −e ,= −U = eK=⇒p = e m,2m2R2RR'2p 2πR = n2πh̄ ⇒ p = nh̄ = e m ⇒RR1 = e2 mRn2 h̄2⇒4E = U = − e 2m2 .22n h̄Как мы видим, значение энергии в точности соответствует строгомурешению квантовой задачи, однако соответствующий размерный моментимпульсаL = pR = nh̄2 Для упрощения выкладок мы пользуемся теоремой вириала из теоретической механики,которая для финитного движения в кулоновском поле даёт следующее соотношение междусредними значениями кинетической и потенциальной энергией K = − 12 U , т.
е. E = U.2470ГЛАВА 16выходит из диапазона 0, . . . , (n − 1)h̄, который получается в квантовомслучае.В последствии Зоммерфельд обобщил результат Бора на эллиптические орбиты с 0 < L nh̄. L = 0 было исключено, чтобы получить соответствующую эксперименту кратность вырождения.ГЛАВА 17Квантовая и классическая история.Вместо послесловия (ффф)Рассказывают, что один студент проквантовал классическуюмарксистско-ленинскую теорию, а потом пытался изложить результатыпреподавателю на экзамене по научному коммунизму . . .Физтеховский студенческий фольклор17.1.
Предварительные извиненияЭту главу не следует воспринимать слишком серьёзно — это всего лишьпопытка применить физическую интуицию к гуманитарным вопросам. Физика при этом может выступать как образец по-настоящему хорошо работающей теории, а также как метафора. Впрочем, нельзя исключать, чтонекоторые обсуждаемые вопросы окажутся физически осмысленными.17.2. Сослагательное наклонение в истории17.2.1. Классическая неустойчивая динамикаРасхожая фраза «история не имеет сослагательного наклонения» неявно подразумеваетисторический детерминизм в духе лапласовского детерминизма. Более того, неявно подразумевается, что историческая динамика устойчивак малым возмущениям, что противоречит дажеопыту классической механики.Также этот взгляд явно противоречит смыслу применения теории управления к челове- Рис. 17.1.
Георгий Геннадическому обществу: задача построения управле- евич Малинецкий. [фото автора]ния — построение системы, чья динамика будет существенно зависеть от472ГЛАВА 17управляющего воздействия, т. е. динамика управляемой системы должнабыть неустойчива по управляющему воздействию. В данном случаеуправляемость⇒неустойчивость по управляющему воздействию(обратное не верно).Самоорганизация общества, при котором оно само приходит в управляемый режим, т. е. получает возможность реагировать на внешнее воздействие как целое, аналогично известному в синергетике явлению самоорганизованной критичности, когда система сама приходит к состоянию, в котором характерный размер флуктуаций (откликов на внешние воздействия)становится сравнимым с масштабом системы.Для построения теоретической истории какнауки, имеющей реальную предсказательную силу не только по отношению к прошлому, но и поотношению к будущему, необходимо, по крайнеймере, использовать наработки кибернетики (теории управления) и синергетики (теории самоорганизации сложных систем).Классическая теоретическая история моглабы предсказывать вероятности тех или иных событий, выявлять периоды бифуркаций (развилок)Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
