М.Г. Иванов - Как понимать квантовую физику (1129349), страница 79
Текст из файла (страница 79)
е. для любых кубитов. Любая эрмитова матрица 2 × 2 разлагается по436ГЛАВА 15единичной матрице и матрицам Паули с вещественными коэффициентамиразложения, а произвольная матрица 2 × 2 разлагается по тому же базисус комплексными коэффициентами разложения. Если ограничиться матрицами с нулевым следом, то из базиса выкидывается единичная матрица.При вычислениях с матрицами 2×2, разложенными по σ-матрицам, мыможем не перемножать матриц явно, если воспользуемся таблицей умножения матриц Паули:2-й множитель → σx σyσz1-й множитель : σx E iσz −iσyσy −iσz E iσxσz iσy −iσx EЭту же таблицу можно записать в виде одной формулы:σα σβ = E δαβ + i eαβγ σγ ,α, β, γ ∈ {1, 2, 3}.(15.14)С помощью матриц Паули удобно представлять трёхмерные векторыв виде эрмитовых бесследовых матриц 2 × 2 (предполагается, что компоненты вектора — числа или операторы, не действующие на спиновые переменные, т.
е. коммутирующие с операторами спина): Az A−Ax − iAyAz(A, σ ) = Aα σα ==.Ax + iAy −AzA+ −AzПроизведение таких матриц (его легко вычислить по правилу (15.14)) содержит как скалярное, так и векторное произведение:(A, σ )(B, σ ) = (A, B) + i([A × B], σ ).(15.15)Для единичного вектора n получаем, что (n, σ )2 = (n, n)E = E == (n, σ )2k , k = 0, 1, 2 . . . , т. е. все чётные степени дают единичнуюматрицу. Соответственно все нечётные степени дают исходную матрицу (n, σ )2k+1 = (n, σ ) = σn .Используя это, легко записать спиновый оператор поворота вокругпроизвольной оси:iRn (α) = eiαŝn = e=E∞ασ2 n2k=∞(iα/2)kk=0∞k!σnk =(iα/2)(iα/2)2k+1+σn,(2k)!(2k + 1)!k=0k=0cosα2i sinα215.3.
С ПИНRn (α) = E cos α + iσn sin α =2212437cos α + nz i sin αn− i sin αn+ i sin αcos α − nz i sin α22222.2Как мы и ожидали, для полуцелого спина 12 поворот на полный угол 2πсоответствует оператору −E.Получившаяся спиновая матрица поворота Rn (α) является матрицей 2 × 2, унитарна (как экспонента от эрмитовой матрицы, умноженнойна i) и имеет единичный определитель, таким образомRn (α) ∈ SU(2).15.3.2. Кватернионы**Читатель, знакомый с понятием кватернионов, должен был почувствовать в предыдущем разделе что-то смутно знакомое, особенно в формуле (15.15), в которой перемешались скалярное и векторное произведение.Это сходство можно сделать изоморфизмом, если ввести соответствиемежду матрицами 2 × 2 и кватернионными единицами:E−iσx−iσy−iσz→ 1,→ i,→ j,→ k.Теперь таблица умножения σ-матриц превращается в стандартную таблицу умножения базисных кватернионов:2-й множитель →1-й множитель : 1ijk1 i j k1 i j ki −1 k −jj −k −1 ik j −i −1Кватернион общего вида получается как линейная комбинация базисных с вещественными коэффициентами:A = A0 + Ax i + Ay j + Ax k = A0 + A.При этом A0 называют скалярной частью кватерниона, а A = Ax i + Ay j ++ Ax k — векторной частью.438ГЛАВА 15Кватернионы являются обобщением комплексных чисел, при которомвместо одной мнимой оси вводится трёхмерное пространство.
Это пространство изотропно, в том смысле, что собственные вращения в нём неменяют алгебраических соотношений между кватернионами. Более того,любая двумерная плоскость в пространстве кватернионов, содержащая вещественную ось, устроена так же, как обычная комплексная плоскость.Для кватернионов определено сложение, вычитание, умножение и взятие обратного элемента (от ненулевых элементов). Причём, посколькуумножение кватернионов некоммутативно, определено два разных деления:левое (умножение на обратный элемент слева) и правое (умножение на обратный элемент справа).Для кватернионов определяют сопряжённый кватернион, абсолютнуювеличину, обратный элемент:Ā = A0 − A = − 1 (A + iAi + jAj + kAk),2222|A| = A0 + A = AĀ,A−1 = Ā 2 .|A|Обратите внимание, в отличие от комплексного сопряжения, кватернионное сопряжение выражается через сложение и умножение, из-за этого надкватернионами не удаётся создать интересной теории аналитических функций (т.
к. аналитические и антианалитические функции совпадают). Такимобразом, хотя кватернионы и были придуманы как «обобщённые комплексные числа» в надежде на то, что с их помощью можно будет столь жеудобно решать трёхмерное уравнение Лапласа, как в двумерии с помощьюаналитических функций, это ожидание не оправдалось3 .Если построить кватернион с произвольными комплексными компонентами (комплексный кватернион), то мы потерям деление — обратныйэлемент не будет определён не только для нуля, но и для других элементов.Этого и следовало ожидать, т. к. кватернионному умножению мы сопоставили матричное умножение, а кватернионам с произвольными комплексными коэффициентами соответствуют произвольные матрицы 2 × 2, в томчисле и необратимые.Векторная часть кватерниона представляется как антиэрмитова матрица 2 × 2, таким образом спиновый оператор вращения, с учётом соответ3 Кватернионы были придуманы У.
Р. Гамильтоном 16 октября 1843 года во время прогулкис женой по берегу Королевского канала в Дублине. Уравнения i2 = j2 = k2 = ijk = −1были написаны им на камне Брукхемского моста.15.3. С ПИН12439ствия iσn → −n, естественным образом переписывается как единичный(по модулю) кватернион:−Rn (α) = eαn2= cos α2 − n sin α2 ,|Rn (α)| = 1.15.3.3. Геометрия чистых состояний кубита**Состояния квантовой системы определены с точностью до произвольного ненулевого множителя, так что, хотя пространство спиновых состояний (или состояний любой другой двухуровневой системы) — это двумерное комплексное пространство C2 , для нумерации физически различимыхсостояний нам не надо задавать два комплексных числа, а достаточно их отношения.
Таким образом, любое спиновое состояние, кроме единственногосостояния | ↓, может быть представлено в виде|χ = | ↑ + λ| ↓,λ ∈ C.Состояние | ↓ соответствует пределу λ → ∞.Рис. 15.2. Проекция комплексной плоскости на сферу РиманаТо есть топологически пространство чистых состояний для спина 12получается из комплексной плоскости C добавлением бесконечной точки,и мы получаем сферу Римана C̄.Оказывается, что в данном случае сфера Римана имеет также хорошуюфизическую интерпретацию.Пусть точка λ = x + iy откладывается на плоскость (x, y), какна комплексной плоскости. Как принято в теории функций комплексного440ГЛАВА 15zlРис.
15.3. Сечение проекции комплексной плоскости (ось λ) на сферу Римана изюжного полюса.переменного, спроецируем точку λ с плоскости (x, y) на единичную сферу,с центром в начале координат. Проекцию будем проводить из южного полюса сферы, т. е. из точки с координатами (0, 0, −1). Такая проекция дастнам взаимно-однозначное соответствие между точками сферы (кроме южного полюса) и точками комплексной (экваториальной) плоскости4 C (безбесконечной точки). Бесконечная точка на C̄ соответствует южному полюсусферы Римана.При этом, как можно легко убедиться, точка на сфере в точности соответствует вектору поляризации P = σ для спина в состоянии χ:σx =Re λ ,1 + |λ|2σy =Im λ ,1 + |λ|2σz =1 − |λ|2.1 + |λ|2При стремлении λ к бесконечности P стремится к направлению вдольоси z.Если мы будем измерять проекцию спина на вектор P , то мы с вероятностью 1 получим, что спин направлен вдоль P , и его проекция на P равна+ 12 .
Таким образом, спин в некотором смысле направлен вдоль P .15.3.4. Геометрия смешанных состояний кубита**Смешанное состояние спина 12 (или для любой другой двухуровневойсистемы) задаётся матрицей плотности 2 × 2. Матрица плотности должна4 В нашем случае комплексная плоскость рассекает сферу Римана по экватору, но в литературе иногда сфера Римана касается плоскости одним из полюсов. Различие между такимипроекциями — масштабный фактор 2, т. к. в последнем случае плоскость в 2 раза дальше отточки проекции.15.3. С ПИН12441быть эрмитовой, положительно определённой (вероятности положительны)и иметь единичный след (суммарная вероятность равна 1).Как мы уже упоминали ранее (15.3.1 «Матрицы Паули»), любая эрмитова матрица 2 × 2 разлагается по базису из матриц Паули и единичнойматрицы с вещественными коэффициентами.
При этом след матриц Паулиравен нулю, так что мы можем написатьρ=E + (P , σ ),2P = (Px , Py , Pz ) ∈ R3 ,|P | 1.Коэффициент 12 перед единичной матрицей фиксирован условием tr ρ = 1.Любой вектор является собственным для единичной матрицы с собственным числом 1. Таким образом, собственные векторы матрицы ρ совпадаютс собственными векторами матрицы (P , σ ). Поскольку собственные числаматрицы (P , σ ) равны ±|P |, то собственные числа матрицы ρ имеют видp± =1 ± |P | 0.2Условие положительности вероятности требует, чтобы |P | 1.Мы получили, что спиновая матрица плотности параметризуется вектором, лежащим внутри единичной сферы. При этом поверхность сферысоответствует обращению в 1 одного из собственных чисел (другое приэтом обращается в нуль), т.
е. поверхности сферы соответствуют чистыесостояния, как в и предыдущем разделе (15.3.3 «Геометрия чистых состояний кубита 12 »).Для того чтобы определить физический смысл вектора P , вычислимсреднее σ по состоянию ρ:σα = tr(σα ρ) =12tr(σα + σα Pβ σβ ) =12tr(δαβ EPβ ) = Pα12tr E = Pα .Мы использовали формулу (15.14) умножения σ-матриц и тот факт, чтослед от любой σ-матрицы равен 0.Таким образом, вектор P имеет смысл среднего вектора поляризациипо состоянию ρP = σ = tr(ρσ ).Для чистых состояний (точек на поверхности сферы) это полностьюсоответствует результатам, полученным ранее.442ГЛАВА 1515.4. Спин 1Всё, что было сказано в начале раздела 15.3 «Спин 12 » о координатных и спиновых волновых функциях, применимо и к спину 1, и к любомудругому спину до тех пор, пока не используется явно величина спина.Волновая функция частицы со спином 1 может быть представлена какфункция ψ(r, σ) от координат r ∈ R3 и спиновой переменной (проекцияспина на ось z) σ ∈ {+1, 0, −1}:⎞⎛ψ(r, +1)ψ(r, ·) = ⎝ ψ(r, 0) ⎠ = ψ(r).ψ(r, −1)Теперь спиновая волновая функция — столбец из трёх строк, а спиновыеоператоры — матрицы 3 × 3.В соответствии с процедурой, описанной выше (15.2.4 «Собственныевекторы операторов ĵz , ĵ 2 »), мы можем выписать операторы компонент дляспина 1⎛ √⎛⎞⎞0 0 00 2 √0√ŝ+ = ⎝ 0 02 ⎠, ŝ− = ŝ+ † = ⎝ 2 √0 0 ⎠,0 0 0200⎞⎞⎛⎛√√220 ⎟⎞⎛⎜ 0 2 0 ⎟⎜ 0 −i 2+1 0 0⎜√⎜ √√ ⎟√ ⎟⎟⎟⎜ 2⎜2 ⎟, ŝ = ⎜22 ⎟, ŝ = ⎝ 0 0 0 ⎠,ŝx = ⎜yz0 −i⎜ 2 √0 2 ⎟⎜i 22 ⎟√0 0 −1⎠⎠⎝⎝22000 i022⎛⎞ ⎛⎞Ax − iAyA−+A0+A0√√zz⎜⎟ ⎜⎟22⎜⎟ ⎜⎟⎜⎜ Ax + iAy⎟Ax − iAyA+A− ⎟⎜⎜⎟⎟.00√√√√(A, s) = ⎜⎟=⎜ 22 ⎟22⎜⎟ ⎜⎟⎝⎠ ⎝⎠A+Ax + iAy0−A√0−A√zz22Собственные числа проекции спина на любую ось ŝn = (n, s) —+1, 0, −1, так что вводить какие-либо вспомогательные матрицы наподобие σ-матриц Паули нет причин5 .5 σ-матрицы — исключительная особенность двумерия, и для спинов, отличных от 1 их2пытаются писать по принципу σ = 2ŝ только студенты, начинающие сдавать задания поквантовой механике.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
