М.Г. Иванов - Как понимать квантовую физику (1129349), страница 80
Текст из файла (страница 80)
К моменту экзамена это обычно проходит.15.4. С ПИН 1443Базисные состояния с определённым значением σ (проекции на ось z)принято обозначать по-разному:⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞001|1, +1 = ⎝ 0 ⎠, |1, 0 = ⎝ 1 ⎠, |1, −1 = ⎝ 0 ⎠.10015.4.1. Вращения для спина 1 и для векторовОператор поворота для спина 1, как и для любого другого момента,задаётся формулойRn (ϕ) = eiϕŝn .Поскольку собственные числа ŝn равны +1, 0, −1, их третья степень, каки для σ-матриц, даёт исходную матрицу. Таким образом,s3n = sn⇒∀n = 0, 1, 2, .
. . ,s2n+2= s2n = s0n = E,ns2n+1= sn .n(15.16)Аналогичные соотношения мы получали ранее, для генераторов матриц поворота в трёхмерном пространстве (15.2). В этом состоит специфика спина 1.Разлагая экспоненту в ряд, получаем:Rn (ϕ) = eiϕŝn =∞∞∞(iϕŝn )n(iϕ)2n+1(iϕ)2n+ŝ2n,= E + ŝnn!(2n + 1)!(2n)!n=0n=0n=1 i sin ϕRn (ϕ) = E + ŝn i sin ϕ +⎛ŝ2n⎞n−+nz √0⎟⎜2⎟⎜ n+n− ⎟⎜ √0 √ ⎟,ŝn = ⎜2 ⎟⎜ 2⎠⎝n+0 √ −nz2(cos ϕ−1)(cos ϕ − 1),⎛n− 21 + n2z nz n−√⎜ 222⎜⎜ nz n+− nz n−22√ŝn = ⎜⎜ √2 1 − n z2⎜⎝ n+ 2 − nz n+ 1 + n2z√222⎞⎟⎟⎟⎟.⎟⎟⎠Выше (см.
15.1.1 «Генераторы вращений (л)») мы уже получали трёхмерное неприводимое представление группы вращений с помощью обычных ортогональных матриц поворотов. Вернулись ли мы к тому же самомупредставлению в иной форме, или получили что-то новое?444ГЛАВА 15Если мы следующим образом свяжем базис состояний {|1, m}+1m=−1с базисом единичных векторов вдоль декартовых осей координат {eα }3α=1 ,то матрицы jα , генерирующие ортогональные матрицы поворотов перейдут,в матрицы компонент ŝα спина 1:|1, +1 =ex =− ex − ieye+= −√ ,√22− |1, +1 + |1, −1,√2|1, 0 = ez ,ey =|1, −1 =i|1, +1 + i|1, −1,√2ex − ieye−=√ .√22(15.17)ez = |1, 0.(15.18)Таким образом, представление группы вращений для спина 1 с точностью до комплексной замены базиса совпадает с привычным нам изстереометрии и классической механики векторным представлением группы вращений, когда повороты отождествляются с матрицами собственныхвращений, действующими на векторы из R3 .15.4.2.
Спин и поляризация фотонаФотон — квант электромагнитного поля. Как мы обсуждали в разделе 12.11 «Квантованные поля (ф*)», при квантовании электромагнитногополя в ящике с периодическими граничными условиями каждой моде колебаний, характеризующейся волновым числом k и поляризацией σ, ставится в соответствие гармонический осциллятор с частотой, равной частотемоды. Число заполнения данного осциллятора рассматривается как числофотонов с данными k и σ.Каков спин фотона? Этот вопрос эквивалентен вопросу о том, как переменная, характеризующая фотон, но не связанная с его движением (т. е. поляризация), преобразуются при вращениях.Поляризация σ электромагнитной волны описывается с помощью вектора поляризации eσ .
Как мы установили выше (15.17), (15.18), векторпреобразуется по представлению спина 1. То есть фотон — векторная частица — частица со спином 1.Однако у частицы со спином 1 должно быть 3 поляризации, а у фотона — только 2. Какая поляризация пропала?Рассмотрим одну конкретную моду колебаний. Пусть волновой вектор k (и импульс h̄k) направлен по оси z. В соответствии с уравнениями (15.18) спиновые состояния соответствуют следующим поляризациям:15.5.
С ЛОЖЕНИЕМОМЕНТОВ *445−e −iexy√• |1, +1 =— спин направлен вдоль импульса — правая кру2говая поляризация (вращение поля связано с направлением k правымвинтом);e −ie• |1, −1 = x√2 y — спин направлен против импульса — левая круговаяполяризация (вращение поля связано с направлением k левым винтом);• |1, 0 = ez — проекция спина на импульс равна нулю — продольнаяполяризация (поле колеблется вдоль импульса).Однако электромагнитная волна — поперечная волна и продольная поляризация для неё отсутствует.
Если мы задаём поляризацию электромагнитной волны направлением вектора E, то продольная поляризация отсутствует с самого начала, а если направлением векторного потенциала A,то вклад в поле продольной части A в точности компенсируется вкладомскалярного потенциала ϕ. Так и для квантованного электромагнитного поля (в зависимости от используемого формализма): продольная поляризациялибо отсутствует с самого начала, либо нефизична (не даёт вклада).Такая ситуация является типичной для любых безмассовых (движущихся со скоростью света) частиц: вне зависимости от спина имеется двеполяризации: по часовой стрелке (проекция спина на импульс +s) и противчасовой стрелки (проекция спина на импульс −s). Это связано с тем, чтомы не можем выбрать для такой частицы систему покоя, в любой системеотсчёта есть выделенное направление (вдоль импульса), и симметрия оказывается ниже, чем стандартная SU(2).
Иногда для таких частиц избегаютприменять слово спин и говорят спиральность.15.5. Сложение моментов*Пусть система состоит из двух подсистем, для каждой из которых; ;определены операторы момента импульса j1 и j2 . Пусть также для каждойиз подсистем определён квадрат момента импульса (j1 (j1 + 1) и j2 (j2 ++ 1) соответственно). Для системы мы можем ввести базис, состоящий изсостояний вида|m1 |m2 = |j1 , m1 |j1 , m2 .(В обозначении |m1 |m2 мы опустили фиксированные квантовые числа j1и j2 .)Таким образом, мы имеем базис собственных векторов для операторовĵ12 , ĵ1z , ĵ22 , ĵ2z .
Наша задача — построить базис собственных векторов для;;операторов суммарного момента Jˆ2 = (j1 + j2 )2 и Jˆz = ĵ1z + ĵ2z .446ГЛАВА 15(*) С точки зрения теории представлений, мы имеем произведениедвух неприводимых представлений группы SU(2), отвечающих моментам j1 и j2 , и нам надо разложить произведение в сумму неприводимыхпредставлений.Проще всего с оператором Jˆz . Базисные состояния |m1 |m2 для негоуже является собственными:Jˆz |m1 |m2 = (ĵ1z + ĵ2z )|m1 |m2 = (m1 + m2 ) |m1 |m2 = M |m1 |m2 . MЕсли отложить по осям координат квантовые числа m1 и m2 , то новоеквантовое число M надо будет откладывать по оси, направленной по диагонали (см.
рис. 15.4). При этом, M пробегает с шагом 1 все значения от−(j1 + j2 ) до j1 + j2 . Кратность различных значений M (число точек, натонких линиях поперёк оси M на рис. 15.4) меняется от 1 (при M = ±(j1 ++ j2 )) до 2j1 + 1, где j1 — наименьший из двух моментов.M = m1 + m2m1j1 + j221j110 1-4 -3 -2 -1-1-2 -1-3-2-4-5-623456j223456m2–(j1 + j2)Рис. 15.4. Связь M с m1 и m2 .Начнём с состояния с максимальным значением проекции момента.Такое состояние только одно: |j1 |j2 . Под действием оператора Jˆ+ = ĵ1+ ++ ĵ2+ оно обнуляетсяJˆ+ |j1 |j2 = (ĵ1+ + ĵ2+ )|j1 |j2 = (ĵ1+ |j1 ) |j2 + |j1 (ĵ2+ |j2 ) = 0, 0015.5. С ЛОЖЕНИЕМОМЕНТОВ *447значит в этом состоянии проекция момента достигает максимальной величины и мы можем записать первый вектор нового базиса:| j1 + j2 , j1 + j2 = |j1 |j2 . JMДействуя 2(j1 +j2 ) раз на состояния |j1 +j2 , j1 +j2 понижающим оператором Jˆ− = ĵ1− + ĵ2 , мы можем найти остальные состояния, для которыхJ = j1 + j2 , а M меняется от −J до +J с шагом 1.
((*) Тем самым мы выделяем первое неприводимое представление, отвечающее моменту j1 + j2 .)В частности однократное применение понижающего оператора даёт:Jˆ− |j1 + j2 , j1 + j2 =2(j1 + j2 )|j1 + j2 , j1 + j2 − 1 == (ĵ1− + ĵ2− )|j1 |j2 = (ĵ1− |j1 )|j2 + |j1 (ĵ2− |j2 ) == 2j1 |j1 − 1|j2 + 2j2 |j1 |j2 − 1,√√j1 |j1 − 1|j2 + j2 |j1 |j2 − 1.| j1 + j2 , j1 + j2 − 1 =√ j1 + j2JMУ нас имеется два линейно независимых состояния, для которых M == j1 + j2 − 1 (см. рис. 15.4).
Если из тех же состояний составить комбинацию, ортогональную состоянию |j1 + j2 , j1 + j2 − 1, то мы получим√√j2 |j1 − 1|j2 − j1 |j1 |j2 − 1.| j1 + j2 − 1, j1 + j2 − 1 =√ j1 + j2JMТо, что в данном состоянии J = M , проверяется с помощью повышающегооператора:Jˆ+ ( j2 |j1 −1|j2 − j1 |j1 |j2 −1) = 2j1 j2 |j1 |j2 − 2j1 j2 |j1 |j2 = 0.
j1+ | . . . j2+ | . . . Из состояния |j1 + j2 − 1, j1 + j2 − 1 с помощью понижающего оператораJˆ− мы получаем остальные состояния с J = j1 + j2 − 1 и другими M .Таким образом, мы из соображений ортогональности находим все состояния вида |J, J при J = j1 + j2 , j1 + j2 − 1, . . . , |j1 − j2 |. С помощьюоператора Jˆ− мы получаем все состояния |J, M , для которых M < J.448ГЛАВА 15Общее число состояний нового базиса такое же, как у старого:j1 +j2(2J + 1) = (j1 + j2 − |j1 − j2 | + 1) (j1 + j2 + |j1 − j2 | + 1) =J=|j1 −j2 |число слагаемыхсреднее слагаемое= (2j1 + 1)(2j2 + 1).(*) Таким образом, мы разлагаем произведение неприводимых представлений группы вращений, отвечающих моментам j1 и j2 , в сумму неприводимых представлений, отвечающих моментам j1 +j2 , j1 +j2 −1, .
. . , |j1 −− j2 |.Коэффициенты разложения векторов нового базиса по старомуm1 , m2 |J, M называются коэффициентами векторного сложения или коэффициентамиКлебша – Гордана, они образуют унитарную матрицу, т. к. описывают ортонормированную замену координат.
Как и всякие скалярные произведенияортонормированных волновых функций, коэффициенты Клебша – Горданазадают амплитуды перехода между соответствующими состояниями.15.5.1. Сложение спинов12+12Проиллюстрируем процедуру сложения моментов импульса на простейшем случае двух спинов 12 .В соответствии с общей схемой, начнём с состояния с максимальнойпроекцией момента:|1, 1 = |+|+,√Ŝ− |1, 1 = 2|1, 0 = (ŝ1− + ŝ2− )|+|+ == (ŝ1− |+) |+ + |+ (ŝ2− |+) = |−|+ + |+|−, |−|−|1, 0 =Ŝ− |1, 0 =√|−|+ + |+|−,√22|1, −1 = (ŝ1− + ŝ2− )=|−|+ + |+|−=√2|−(ŝ2− |+) + (ŝ1− |+)|−√215.5. С ЛОЖЕНИЕМОМЕНТОВ *449|1, −1 = |−|−.Состояние |0, 0 получаем как линейную комбинацию состояний |+|−и |−|+ (состояния с нулевой проекцией спина), ортогональную состоянию |1, 0:|−|+ − |+|−|0, 0 =.√2Все состояния с суммарным спином 1 оказались чётными, относительно перестановки спинов, а состояние с суммарным спином 0 — нечётным.Если спины относятся с двум тождественным частицам (фермионам,т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
