М.Г. Иванов - Как понимать квантовую физику (1129349), страница 77

Файл №1129349 М.Г. Иванов - Как понимать квантовую физику (М.Г. Иванов - Как понимать квантовую физику) 77 страницаМ.Г. Иванов - Как понимать квантовую физику (1129349) страница 772019-05-112019-05-11СтудИзба

М.Г. Иванов - Как понимать квантовую физику

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Регистрация/авторизация

Текст из файла (страница 77)

Спектр оператора ĵzРазличные проекции момента импульса не коммутируют друг с другом, поэтому в набор одновременно измеримых величин мы можем включить только одну из них и суммарный квадрат момента импульса (операторКазимира алгебры моментов). Традиционно из всех проекций момента импульса принято выбирать проекцию на ось z. Однако все выводы останутсясправедливыми и при замене оси z на любое другое направление.Пусть m — собственное число оператора ĵzĵz ψm = mψm .Под действием оператора поворота на угол 2π собственная функция ψmлибо переходит в себя, либо меняет знак (15.1.2 «Квантовые вращения**»):ei2πĵz ψm = ei2πm ψm = ±ψm .Таким образом, m должно быть целым, или полуцелымm ∈ Z,илиm+12∈ Z.Причём собственные функции для целых и полуцелых m удобнее отнестик разным пространствам, т.

к. иначе их линейная комбинация при поворотена 2π не умножалась бы на фиксированный множитель ±1.Для орбитального момента в роли ĵz выступает оператор l̂z . Экспонента от него задаёт сдвиг по углу ϕ (поворот):eiαl̂z ψ(r, θ, ϕ) = ψ(r, θ, ϕ + α).С учётом 2π-периодических условий по ϕ мы должны выбратьm ∈ Z,ψm (r, θ, ϕ) = Cm (r, θ) eimϕ .15.2.

П РЕДСТАВЛЕНИЯВРАЩЕНИЙ42515.2.3. Операторы ĵ±Для дальнейшего исследования моментов импульса полезно ввестиоператоры†ĵ± = ĵx ± iĵy = ĵ∓.Для орбитальных моментов получаемˆl± = ˆlx ± iˆly = e±iϕ (±∂θ + i ctg θ ∂ϕ ).Через операторы ĵ± удобно выражать ĵx и ĵy , так же, как через лестничные операторы â, â† удобно выражать P̂ , Q̂ для гармонического осциллятора (12.7). Для векторного оператора компоненты +, − и z частооказываются более удобными, чем x, y и z.Подобно тому, как оператор номера уровня для гармонического осциллятора удобно выразить через â и â† , оператор ĵ 2 удобно выразить через ĵ±и ĵz :ĵ− ĵ+ = ĵx2 + ĵy2 + i[ĵx , ĵy ] = ĵx2 + ĵy2 − ĵz ,ĵ+ ĵ− = ĵx2 + ĵy2 − i[ĵx , ĵy ] = ĵx2 + ĵy2 + ĵz .Отсюда легко видеть, что[ĵ+ , ĵ− ] = 2ĵz ,2ĵ = ĵ− ĵ+ +ĵz2+ ĵz = ĵ+ ĵ− +(15.6)ĵz2− ĵz .(15.7)Используя коммутационные соотношения (15.3) и (15.4), получаем[ĵz , ĵ± ] = ±ĵ± ,(15.8)[ĵ 2 , ĵ± ] = 0.(15.9)Подобно тому, как операторы â и â† уменьшают и увеличивают числа заполнения для гармонического осциллятора (12.13), ĵ± увеличиваюти уменьшают значение проекции ĵz :ĵz (ĵ± ψm ) = (ĵ± ĵz + [ĵz , ĵ± ])ψm = (ĵ± m ± ĵ± )ψm = (m ± 1)(ĵ± ψm ).(15.10)Как и для гармонического осциллятора (12.13), мы можем сделать вывод,что выражение ĵ± ψm либо обращается в нуль, либо оказывается собственным вектором, отвечающим собственному числу (m ± 1).426ГЛАВА 1515.2.4.

Собственные векторы операторов ĵz , ĵ 2Ранее мы обсуждали спектр собственных состояний оператора ĵz(15.2.2 «Спектр оператора ĵz »), не накладывая на состояния каких-либодополнительных ограничений. Теперь мы потребуем, чтобы рассматриваемые состояния были одновременно собственными для оператора ĵ 2 ,коммутирующего с ĵz :ĵz ψλm = m ψλm ,ĵ 2 ψλm = λ ψλm .Поскольку ĵ 2 = ĵx2 + ĵy2 + ĵz2 , мы сразу заключаем, что λ > |m|2 .

Такимобразом, спектр разрешённых значений m при фиксированном λ ограниченсверху и снизу.Пусть j — максимальное значение m при данном λ, тогда (см. (15.10),(15.7))ĵz ψλj = j ψλj ,ĵ+ ψλj = 0,ĵ 2 ψλj = (ĵ− ĵ+ + ĵz2 + ĵz )ψλj = (0 + j 2 + j)ψλj = λ ψλj .Таким образом, λ = j(j + 1). Аналогично, проверяется, что минимальноеразрешённое значение m — это −j:ĵz ψλ−j = −j ψλ−j ,ĵ− ψλ−j = 0,ĵ 2 ψλj = (ĵ+ ĵ− + ĵz2 − ĵz )ψλj = (0 + j 2 − (−j))ψλ−j = λ ψλ−j .Поскольку j — неотрицательное целое или полуцелое число, то длянумерации состояний удобнее использовать не λ = j(j + 1), а само j. Ортонормированные состояния с определёнными значениями m и j принятообозначать как |j, m:ĵz |j, m = m|j, m,ĵ 2 |j, m = j(j + 1)|j, m,j1 , m1 |j2 , m2 = δj1 j2 δm1 m2 ,2j ∈ N ∪ {0}, m ∈ {−j, −j + 1, . .

. , +j}.Уравнение (15.10) даётĵ± |j, m = C± |j, m ± 1.15.2. П РЕДСТАВЛЕНИЯВРАЩЕНИЙ427Для определения коэффициентов C± воспользуемся соотношениями (15.7):ĵ+ |j, m = C+ |j, m + 1,j, m| ĵ− = j, m + 1| C+ ∗ ,j, m| ĵ− ĵ+ |j, m = j, m + 1|C+ ∗ C+ |j, m + 1 = |C+ |2 ,j, m| ĵ− ĵ+ |j, m = j, m| ĵ 2 − ĵz2 − ĵz |j, m = j(j + 1) − m(m + 1).Мы определили, что |C+ | = j(j + 1) − m(m + 1), но фазу этого коэффициента вычислить невозможно, т. к.

условия нормировки позволяютумножать разные базисные состояния на разные фазовые множители, приэтом будет меняться фаза и у C+ . Раньше подобные рассуждения мы использовали для введения формулы (12.22) для гармонического осциллятора.Не имея возможности вычислить фазовые множители для C+ , мы имеем возможность выбрать их по своему произволу. Мы выберем все C+ вещественными неотрицательными числами.

Это зафиксирует большую частьпроизвола, теперь мы можем умножать наши векторы только на одинаковыефазовые множители, C+ теперь — фиксированные числа.Определив фазу у множителей C+,j,m мы тем самым определили фазуи у множителей C−,j,m :ĵ+ |j, m = C+,j,m |j, m + 1,j, m + 1|ĵ+ |j, m = C+,j,m ,∗j, m + 1|ĵ+ |j, m∗ = C+,j,m,j, m + 1|ĵ+ |j, m∗ = j, m|ĵ− |j, m + 1 = C−,j,m+1 ,∗C−,j,m+1 = C+,j,m.Таким образом, все коэффициенты C± оказываются вещественными неотрицательными:ĵ+ |j, m = j(j + 1) − m(m + 1) |j, m + 1 == (j − m)(j + m + 1) |j, m + 1,ĵ− |j, m = j(j + 1) − m(m − 1) |j, m − 1 == (j + m)(j − m + 1) |j, m − 1.Как и для лестничных операторов гармонического осциллятора, множители обращаются в нуль при попытке вывести собственное число m из разрешённого диапазона.428ГЛАВА 15Матричные элементы операторов ĵ± для базисных векторов имеют видj , m |ĵ+ |j, m = (j − m)(j + m + 1) δjj δm,m −1⇔⇔ j, m|ĵ− |j , m = (j − m)(j + m + 1) δjj δm,m −1 .Это позволяет представить операторы при фиксированном значении j в виде матриц (2j + 1) × (2j + 1):⎞⎛ 0 (2j)1 00...0⎟⎜0(2j − 1)20...00⎟⎜⎟⎜..⎟,⎜ĵ+ = ⎜ 0(2j − 2)3 .

. .00.⎟⎟⎜......... ⎝ ...1(2j) ⎠...0000...0⎞⎛00... 00⎜ (2j)10... 0⎟ 0⎟⎜⎜(2j − 1)2 0... 0⎟0⎟⎜ĵ− = ⎜.(2j − 2)3 . . . 0 ⎟00⎟⎜⎟⎜........... ⎠⎝....1(2j) 000...Столбцы и строки нумеруются здесь целыми числами, начиная с +j до −jв порядке убывания.−ĵ−Отсюда находятся также матрицы ĵx = ĵ+ +2 ĵ− и ĵy = ĵ+ 2i.2Матрицы ĵz и ĵ , поскольку мы взяли их собственные векторы в качестве базиса, оказываются диагональными, причём матрица квадрата момента (оператора Казимира) оказывается пропорциональной единичной матрице ĵ 2 = j(j + 1)Ê. ĵz , при выбранной нумерации строк и столбцов, имеетвид:⎛⎞j 0 ... 0⎜0 j − 1 ... 0 ⎟⎟ĵz = ⎜⎝ ..

.. . . . .. ⎠.. ..0 0 . . . −j(*) Мы описали неприводимое (2j + 1)-мерное представление группывращений. Если j целое, то это представление групп SO(3) и SU(2) одновременно, а если j полуцелое, то это представление относится толькок группе SU(2).15.2. П РЕДСТАВЛЕНИЯ429ВРАЩЕНИЙ15.2.5. Орбитальные и спиновые моментыВведённые выше операторы орбитального момента одной частицы l̂aα(a — номер частицы) действуют только на координаты этой частицы. В частности, операторы поворота eiαl̂an поворачивают вокруг начала координаттолько эту частицу, оставляя другие частицы на месте.

Если мы хотим повернуть все частицы, то необходимо каждую из них повернуть на одини тот же угол. Поскольку орбитальные моменты разных частиц действуютна разные координаты, то они коммутируют друг с другом и мы можемопределить суммарный орбитальный момент L̂α (генератор одновременного поворота координат всех частиц) как сумму орбитальных моментовотдельных частицNiαl̂1n iαl̂2niαl̂N niα a l̂aniα L̂nee...e=e=e,L̂n =l̂an .a=1Очевидно, что, т. к. моменты разных частиц коммутируют между собой,для суммарного орбитального момента справедливы те же коммутационные соотношения (15.3), что и для орбитальных моментов отдельных частиц [L̂α , L̂β ] = i eαβγ L̂γ .Обратите внимание, что мы пишем суммарный орбитальный момент,а не суммарный момент импульса.

Это связано с тем, что помимо орбитального момента частиц, связанного с движением частиц как целого, существует ещё спиновый (внутренний) момент импульса ŝα — спин. Классическиманалогом спина был бы момент импульса, связанный с вращением частицывокруг своей оси, однако для элементарных частиц такая наивная интерпретация не работает, т. к. скорости вращения должны были бы быть слишкомвелики (больше скорости света), а кроме того, спин имеется у частиц, длякоторых не наблюдается никаких признаков внутренней структуры.Спин принято считать некоторым внутренним невыводимым свойством частиц.

Для частиц определённого сорта величина квадрата спинаŝ2 = ŝ2x + ŝ2y + ŝ2z определена и равна s(s + 1), где s — целое или полуцелое неотрицательное число. Для описания спина волновая функция кромеобычных переменных, описывающих движение каждой частицы как целого, имеет также дискретные спиновые переменные, которые пробегаютзначения от −s до +s с шагом 1.Подобно тому, как операторы орбитального момента действуют только на координаты частиц, операторы спина действуют только на спиновыепеременные. Поскольку спиновые переменные дискретны, спиновые операторы представляют собой матрицы. Спиновые операторы для частицы соспином s — матрицы (2s + 1) × (2s + 1).430ГЛАВА 1515.2.6.

Коммутаторы моментов импульсаДля того, чтобы определить, как коммутируют операторы момента импульса с каким-либо оператором, нам надо определить, как ведёт себя этотоператор при вращениях (11.2):dÂповёрн. = d eiαĵμ Âe−iαĵμ = i[ĵμ , Â].dα dαα=0α=0Так что если мы знаем как оператор ведёт себя при вращениях, то мызнаем как он коммутирует с моментами импульса.

Характеристики

Тип файла

PDF-файл

Размер

4,36 Mb

Материал

М.Г. Иванов - Как понимать квантовую физику

Тип материала

Книга

Предмет

Квантовая теория

Высшее учебное заведение

МГУ им. Ломоносова

Список файлов книги

m.g.-ivanov-kak-ponimat-kvantovuju-fiziku.rar

М.Г. Иванов - Как понимать квантовую физику.pdf

Прочти меня!!!.txt

Поделитесь ссылкой:

Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.

Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.

Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.

Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.

Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.

Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.

Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.

Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.

Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.

Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.

Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.

Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.