М.Г. Иванов - Как понимать квантовую физику (1129349), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Г РУППЫ ( Л )403Теорема о гомоморфизме1 : Пусть задан гомоморфизм f : G → L,тогда группа L изоморфна факторгруппе по ядру гомоморфизмаL G/f −1 (EL ).Теорема о гомоморфизме позволяет классифицировать все возможныегомоморфизмы, если мы знаем все нормальные подгруппы данной группы.
((ф): Это будет полезно при изучении теории представлений групп,а в квантовой механике нас интересуют именно представления групп симметрии с помощью унитарных операторов.) В частности, для простыхгрупп гомоморфизмы бывают двух типов: (1) изоморфизмы (ядро — тривиальная подгруппа) и (2) отображения на тривиальную группу из одногоэлемента (ядро — вся группа).14.2.4. Конечные группы (л)Любая группа G с конечным числом элементов |G| может быть представлена как группа перестановок не более чем |G| элементов.
Такое представление реализуется, если группа действует сама на себя умножениемслева.Таким образом, любая конечная группа изоморфна некоторой подгруппе группы всех перестановок, множества из N элементов, которая обозначается как SN , причём |SN | = N !(ф) Группа SN в физике естественно возникает как группа перестановок N тождественных (одного сорта) бозонов, поскольку состояния, отличающиеся друг от друга перестановкой (перенумерацией) бозонов одногосорта, принципиально неразличимы.Любая перестановка может быть представлена как матрица N × N ,в которой в каждой строке и каждом столбце присутствует одна единица, а остальные элементы — нули.
Определители таких матриц всегда равны ±1. Умножению перестановок при этом соответствует умножение матриц. Поскольку при перемножении матриц их определители также перемножаются, из группы SN выделяется в качестве нормальной подгруппыгруппа чётных перестановок AN , элементы которой представимы матрицами с определителем +1, причём |AN | = 12 N ! (при N > 1).1 Естьстарый физматшкольный стишок для запоминания Теоремы о гомоморфизме:Гомоморфный образ группы!Будь, во имя коммунизма,Изоморфен факторгруппеПо ядру гомоморфизма!404ГЛАВА 14(ф) Группа AN в физике естественно возникает как группа перестановок N тождественных (одного сорта) фермионов, поскольку состояния,отличающиеся друг от друга перестановкой (перенумерацией) фермионоводного сорта, принципиально неразличимы, но при этом вектор состояния(волновая функция) меняет знак, при каждой перестановке пары одинаковых фермионов.Любая перестановка может быть представлена как комбинация (произведение) парных перестановок, т.
е. перестановок меняющих местами дваэлемента и оставляющих остальные элементы неподвижными. Определитель матрицы парной перестановки равен −1, так что, хотя число парныхперестановок, на которые разлагается данный элемент, определено неоднозначно, чётность этого числа неизменна. Чётными называют перестановки, разлагающиеся на чётное число парных перестановок (det = + 1),нечётными — перестановки, разлагающиеся на нечётное число парных(det = −1).(ф) Конечная подгруппа группы вращений естественным образомпредставима как группа перестановок вершин некоторого многогранника, переводящая этот многогранник в себя.
Такие группы в физике естественным образом возникают как группы симметрий различных молекул.Знание представлений таких групп облегчает нахождение спектров соответствующих молекул. В классической механике это соответствует нахождению частот собственных колебаний, а в квантовой — собственныхуровней энергий. В частности, для гамильтониана, обладающего соответствующей симметрией, мы сразу можем назвать кратности собственныхчисел.Простейшая нетривиальная (состоящая более чем из одного элемента)группа состоит из целых степеней некоторого элемента группы:{g0n |n ∈ Z}— циклическая группа.
Бесконечная циклическая группа называется свободной, она изоморфна группе целых чисел относительно сложения Z ((ф):группа симметрий одномерной периодической решётки). Конечная циклическая группа из N элементов изоморфна группе остатков от деления на Nотносительно сложения и может быть получена как факторгруппа целыхчисел относительно сложения по подгруппе целых чисел, делящихся на N :ZN = Z/N Z.Циклическая группа ZN проста только для конечного простого N .14.2. Г РУППЫ ( Л )40514.2.5. Стандартные матричные группы (л)Стандартные непрерывные группы — это подгруппы группы комплексных квадратных невырожденных (det M = 0) матриц N × N , которая обозначается GL(C, N ), где GL означает общие (General) линейные (Linear) преобразования.
Групповые структуры (единичный элемент, умножение и взятие обратного элемента) понимаются как это стандартно принято для матриц.Буквенные обозначения стандартных непрерывных групп строятся изблоков:• S — Special — специальная — det M = 1,• U — Unitary — унитарная — M † = M −1 ,• O — Orthoganal — ортогональная — M T = M −1 ,• L — Linear — линейная — иногда дописывается для красоты,• G — General — общая — дописывается для красоты, если нет никакихусловий.После буквенного кода в круглых скобках могут указываться дополнительные параметры:• размер матрицы (число);• сигнатура метрики (два числа — число положительных собственныхчисел и число отрицательных), остающейся инвариантной под действием преобразований из данной группы (в этом случае должна использоваться буква O, но матрицы будут уже не ортогональные, а псевдоортогональные);• множество чисел, из которых строится матрица (чаще всего C или R)–––––C — комплексные (для унитарных матриц опускается),R — вещественные (для ортогональных матриц опускается),Q — рациональные,Z — целые,N — натуральные.Примеры:• GL(R, N ) — невырожденные, вещественные, N × N ;• SL(N ) — вещественные, det M = 1, N × N ;406ГЛАВА 14• O(1, 3) — группа Лоренца — M diag(+1, −1, −1, −1) M T== diag(+1, −1, −1, −1) — вещественные матрицы, сохраняют вид метрики Минковского (у метрики Минковского 1 положительное собственное число и 3 отрицательных);• O(3) — вещественные ортогональные матрицы 3 × 3 — M M T = E —повороты и их комбинации с отражениями;• SO(3) — вещественные ортогональные матрицы 3 × 3, det M = 1 —собственные повороты (без отражений);• U(N ) — унитарные матрицы N × N ;• SU(2) — унитарные матрицы 2 × 2, det M = 1 — квантовые повороты(поворот на 2π даёт умножение на −1);• O(N, N ) = SN — группа перестановок множества из N элементов;• SO(N, N ) = AN — группа чётных перестановок множества из N элементов.Для всех подгрупп группы GL(C, N ) мы можем сразу записать линейное N -мерное представление, при котором они действуют слева как матрицы на столбец длины N .14.3.
«Симметрии-1» и «Симметрии-2». В чём различие?*В этом разделе мы посмотрим на главу 11 «Симметрии-1» (котораяпроизводила впечатление вполне законченного изложения) с точки зрениятекущей главы и посмотрим, чего же нам на самом деле не хватает.14.3.1. Однопараметрические группы*Ранее, в главе 11 «Симметрии-1» мы ограничивались рассмотрениемоднопараметрических групп симметрии.
Такая симметрия всегда описывается одним эрмитовым оператором — генератором однопараметрическойгруппы Â, порождающим для разных значений параметра α ∈ R преобразования симметрии вида Ûα = exp(iαÂ). При этом всегда выполняютсясвойстваÛα Ûβ = Ûα+β ,Ûα−1 = Û−α ,Û0 = 1̂.Следует заметить, что с точки зрения теории групп в однопараметрических группах мало интересного, все они устроены одним из двух способов:• как вещественные числа с операцией сложения — между вещественными значениями параметра α и элементами группы есть взаимнооднозначное соответствие (пример — группа сдвигов по оси x);14.3.
«С ИММЕТРИИ -1»И«С ИММЕТРИИ -2». ВЧ ЁМ РАЗЛИЧИЕ ?*407• как точки на окружности с операцией сложения поворотов — междувещественными значениями параметра α и элементами группы естьсоответствие, при котором значения параметра, отличающиеся на период, эквивалентны exp(iαÂ) = exp(i(α + 2π)Â). Умножая генераторна число, периоду можно придать любое ненулевое значение, например 2π (пример — группа поворотов вокруг оси z).Таким образом, у нас есть всего две однопараметрические группы:R(+) — группа вещественных чисел, относительно операции сложенияи SO(2) — группа поворотов плоскости. Однако эти группы в разных случаях были представлены разными операциями симметрии, т. е.
разными унитарными операторами.14.3.2. Группы и алгебры Ли*Конечно, мы всегда можем выделить из более сложной группы непрерывных симметрий одну однопараметрическую подгруппу, задаваемую элементами вида exp(iαÂk ) (α ∈ R, Âk = †k ), или вставить дискретную симметрию в однопараметрическую группу, однако такой подход будет хотяи допустим, но неполон.Мы можем включить все преобразования нашей группы в однопараметрические подгруппы, но использовать для нумерации квантовых состояний мы сможем только такие генераторы симметрий Âk , которые коммутируют друг с другом ([Âk , Âl ] = 0), например для группы поворотов нампридётся оставить только повороты вокруг одной выбранной оси (обычновыбирают ось z, тогда проекция момента импульса Jˆz задаёт повороты:exp(iαJˆz )).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
