М.Г. Иванов - Как понимать квантовую физику (1129349), страница 70
Текст из файла (страница 70)
При этом |p(a − δ)| = p(a + δ) = p0 h̄δ . Как раз такая ситуация изображена на рис. 13.4:C−ψ− (x) ≈ √ exp − 1 p0 (a − x) ,(13.35)h̄2 p013.5. К ВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕC+ψ+ (x) ≈ √ sinp01 p (x − a) + ϕ .00h̄383(13.36)Для определения фазы приравняем логарифмические производныефункций ψ± в точке a:ψ+ (a)ψ− (a)p0p0===tg ϕ0h̄h̄ψ− (a)ψ+ (a)⇒ϕ0 = π .413.5.4. Квазиклассическое квантованиеВ квазиклассическом приближении волновые функции выписываютсячерез функцию p(x), описывающую соответствующую классическую траекторию (а также через мнимое продолжение функции p(x) на классическизапрещённую область). Мы знаем, как поведение потенциала на бесконечности позволяет выделить непрерывный спектр.
Теперь мы хотим по классическому движению частицы определить дискретный спектр.Пусть частица движется в потенциальной яме, причём классическиразрешённая область представляет собой отрезок [a, b].Интегралb1p(X) dXh̄aдаёт приращение фазы между точками a и b. В случае бесконечновысокихстенок в точках a и b набег фазы должен быть кратен числу π (целое число полуволн). Если потенциал вблизи точек поворота близок к линейному,то, как мы определили ранее, ширина ямы с каждой стороны эффективноувеличивается на четверть полуволны и мы получаем1h̄bp(X) dX + π = n,2n = 1, 2, 3, .
. . .aПовторим те же рассуждения, более аккуратно выписывая промежуточные формулы. В классически разрешённой области мы можем записатьволновую функцию двумя разными способами, которые должны быть согласованы:⎞⎛xCψ(x) = a sin ⎝ 1p(X) dX + π ⎠ =4h̄p(x)a384ГЛАВА 13⎛x⎞C= b sin ⎝ 1p(X) dX −h̄p(x)b⎛bC= a sin ⎝ 1p(X) dX +h̄p(x)π⎠ =41h̄ax⎞p(X)dX + π ⎠.4(13.37)bСогласованность возможна приCa = ±Cb ,если разность аргументов синуса составляет целое число полупериодов:1h̄bp(X) dX + π = π(n + 1),2n = 0, 1, 2, . .
. .aНа фазовой плоскости (x, p) интеграл от a до b представляет собойинтеграл по полупериоду — половину площади траектории, ограниченнойкривой (x(t), p(t)). Пройдя из a в b частице, чтобы замкнуть период, надоещё вернуться обратно, при этом импульс будет принимать те же значенияс противоположным знаком −p(x). Поэтому правило квантования обычнопишут через интеграл по периоду8p(X) dX = 2πh̄(n + 12 ), n = 0, 1, 2, . . .(13.38)Это правило называют правилом (квазиклассического) квантования Бора –Зоммерфельда. Исторически оно предшествовало созданию последовательной квантовой теории и было одним из основных положений так называемой старой квантовой механики.Мы можем обобщить правило Бора – Зоммерфельда, записав8p(X) dX = h̄(2πn + 2[π − ϕa − ϕb ]), n = 0, 1, 2, .
. .(13.39)Здесь ϕa и ϕb — фазы волновой функции вблизи точек поворота (ϕ0 в уравнении (13.31)).13.5.5. Спектральная плотность квазиклассического спектраОценим интервал между соседними уровнями энергии при условии применимости правила квазиклассического квантования Бора – Зоммерфельда.13.5. К ВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ385С учётом параллельности dx и p вдоль траектории запишем правилоБора – Зоммерфельда888 1,J[E, x(l)] = pdx = |p|·|dx| =2m(E − U (x)) dl = 2πh̄ n +2ΓΓdl|p|Γздесь J[E, x(l)] — адиабатический инвариант, как функция энергии и траектории в конфигурационном пространстве.Проварьируем это равенство:8δJ δx(l) dl = 2πh̄ δn.δJ[E, x(l)] = δJ δE +δEδx(l)Γ=0 на классич. x(l)Вариация по траектории для решений классических уравнений движениядаёт нуль.
Остаётся8δJ∂ 2m(E − U (x)) dl =δJ[E, x(l)] =δE = δEδE∂EΓ8mdl.= δE2m(E − U (x))Γ m 1=|p| vЗдесь v =|p|m= dl — скорость.dt8δJ[E, x(l)] = δEdl = δEvΓ8dt = δE · T = 2πh̄δn,ΓT = 2πω — период классического движения по траектории Γ.Пусть δn = 1, что соответствует изменению номера уровня на один,тогда δE — расстояние между уровнями:δE · T = δE 2πω = 2πh̄⇔δE = h̄ω.386ГЛАВА 13Спектральная плотность — число уровней на единичный интервалэнергии — величина, обратная к δE:ρ(E) = 1 = 1 .δEh̄ωδE соответствует также энергии фотона, который должна излучитьчастица, чтобы перейти на уровень ниже, а ω — частота этого фотона, которая оказывается равна частоте обращения частицы. Это равенство частотыобращения частицы и частоты излучаемой электромагнитной волны естественно в классической электродинамике, но в квантовой механике частотафотона связана исключительно с его энергией.
В квазиклассическом пределе эти частоты совпали, т. е. предсказания квантовой механики переходятв предсказания классической теории, как и должно быть согласно принципусоответствия.13.5.6. Квазистационарные состояния в квазиклассикеПрименяя правило квантования Бора – Зоммерфельда (13.38)или (13.39), мы можем получить «лишние» состояния дискретного спектра, которых с точки зрения квантовой механики быть не должно. Этисостояния соответствуют классическому периодическому движению с энергией, для которой возможно также убегание частицы на бесконечность (см.рис.
13.5).U(x), ExРис. 13.5. Стационарные (сплошные) и квазистационарные (пунктирные) уровни.Эти «лишные» уровни — квазистационарные состояния. В соответствии с классической теорией помещённая в квазистационарное состояние система может на протяжении длительного времени оставаться в этомсостоянии, однако на больших временах проявляются квантовые свойства,и система может протуннелировать через потенциальный барьер и уйти набесконечность.13.5.
К ВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ387Время жизни квазистационарного состояния мы можем оценить, знаявероятность туннелирования (D, мы оцениваем её в разделе 13.5.7 «Квазиклассическая вероятность туннелирования») и классический период колебаний системы (T ). Если частица может убежать через обе стенки с вероятностями D1 1 и D2 1, то за период T вероятность убеганиясоставляет D = D1 + D2 .
Таким образом, вероятность убегания в единицувремени (обратная времени жизни состояния τ0 )D1τ0 = T⇒τ0 = T T.DБлагодаря соотношению неопределённости (7.9), квазистационарныйуровень имеет ширину (7.13)δE0 = h̄ .2τ0Зависимость от времени квазистационарного состояния включает, помимообычной комплексной экспоненты, ещё и вещественную экспоненту, обеспечивающую экспоненциальное затухание (распад) уровня с характернымвременем τ0 :3−ψ(t) = ψ0 etiE t −h̄ 0 e 2τ0−= ψ0 eih̄(E0 −i)t2τ0 .h̄Мы видим, что для временной эволюции квазистационарного состоянияэнергия получает мнимую добавку:E = E0 − i 2τh̄0 = E0 − i δE0 .Встречающиеся в физике квазистационарные состояния могут иметьвремена жизни от исчезающемалых до очень больших (превышающих возраст Вселенной). Все нестабильные частицы и радиоактивные ядра следуетрассматривать как квазистационарные состояния.
Современные физики неуверены даже в протоне: является ли протон стационарными или толькоквазистационарным состоянием с большим временем жизни. Таким образом, нахождение квазистационарных состояний (хотя эта задача труднееформализуется математически) может быть не менее важно, чем нахождение настоящих стационарных состояний. При распаде квазистационарных3 При вычислении вероятности амплитуда возводится в квадрат, так что показатели экспоненты для амплитуды и для вероятности отличаются в два раза.388ГЛАВА 13состояний продукты распада обычно вылетают с энергиями, недостаточными для преодоления потенциального барьера, т.
е. они вылетают благодарятуннельному эффекту.Правило Бора – Зоммерфельда также требует поправок, если потенциальная яма разделена барьером, через который частица может туннелировать туда-сюда. Ниже такая ситуация упоминается в разделе 13.5.8 «Несколько слов об инстантонах**».13.5.7. Квазиклассическая вероятность туннелированияРассмотрим в квазиклассическом приближении одномерную задачурассеяния. Прежде всего отметим, что в классически разрешённой областиквазиклассическая волновая функция (S(x) с точностью до второго членапо h̄) (13.23)ψ(x) ≈ Cp(x) dxexp ± ih̄p(x)описывает частицу, которая по всей оси движется в одну сторону с постоянной плотностью потока вероятности.Таким образом, надбарьерное отражение (E > U (x)) квазиклассическим приближением (S(x) с точность до второго члена по h̄) не описывается.Если высота потенциального барьера больше E, то мы можем воспользоваться квазиклассическим приближением.Мы рассмотрим случай широкого потенциального барьера, с точкамивхода и выхода a и b (E = U (a) = U (b)).
При этом естественный масштабширины барьера — длина затухания волновой функции внутри него:l(x) =h̄ .|p(x)|Поскольку масштаб l(x) внутри барьера, как правило, переменный, критерий ширины записывается через набегающую внутри барьера фазу (мнимую) волновой функции:bL=adX = 1h̄l(X) b|p(X)| dX 1.aмера dXL — интервал от a до b, измеренный линейкой переменной длины l(x)(в длинах затухания).13.5. К ВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ389Для широкого барьера мы имеем коэффициент отражения, близкий к 1,т. е. суперпозиция падающей и отражённой волн приблизительно задаётсячерез sin, как у границы потенциальной ямы (13.33).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
