М.Г. Иванов - Как понимать квантовую физику (1129349), страница 66
Текст из файла (страница 66)
(12.46)= 1 (x̂p̂ + p̂x̂) = −ih̄22Экспонента от эрмитового оператора автоматически оказывается унитарной:iD̂k = e h̄k Ĝk= e2(â2 −(↠)2 )k,D̂k ψ(x) = e 2 ψ(ek x).(12.47)Как эволюционирует сжатое состояние, по сравнению с исходным? Пусть|ψk = D̂k |ψ,|ψk (t) = Ût |ψk = Ût D̂k |ψ = Ût D̂k Ût−1 Ût |ψ = (D̂k )г (−t)|ψ(t),k(D̂k )г (−t) = e 2(â2г (−t)−(â†г (−t))2 )ke=e2iωt2k= e2(e2iωt â2 −e−2iωt (↠)2 )(â2 −e−4iωt (↠)2 )=.Таким образом, каждые 14 периода колебаний осциллятора меняется знак k,т. е. сжатие по координате (и растяжение по импульсу) сменяется растяжением по координате (и сжатием по импульсу).Средние значения координаты и импульса, как и для любых волновыхфункций гармонического осциллятора, колеблются как в классике (12.39).В моменты времени, не кратные четверти периода, сжатое состояниеуже не когерентное для пары наблюдаемых координата-импульс, но оказывается когерентным для парыQ̂г (−t) = cos(ωt) Q̂ − sin(ωt) P̂ ,P̂г (−t) = sin(ωt) Q̂ + cos(ωt) P̂ .358ГЛАВА 1212.10.
Классический предел*Как получить из квантового осциллятора классический? Мы уже установили, что средние значения координаты и импульса для произвольногоквантового состояния гармонического осциллятора эволюционируют точнотак же, как и в классике (12.39). Однако какие из квантовых состоянийнаиболее похожи на классические? Для стационарных состояний с любойэнергией Q(t) = P (t) = 0, Q2 (t) = P 2 (t) = n + 12 , E = En == h̄ω(n + 12 ).В классическом пределе постоянную планка h̄ можно считать малой(n велико) и мы можем пренебречь добавкой 12 в формулах для энергиии средних квадратов.Основному состоянию (n = 0) можно сопоставить состояние равновесия классического осциллятора, а возбуждённым состояниям — классические состояния с неизвестной фазой колебаний:мы знаем, что осцилляторколеблется с определённой амплитудой Q2 (t) = P 2 (t), но не знаем с какой фазой происходят колебания.
Из-за этого незнания координатаи импульс усредняются по периоду и их средние значения обнуляются.Определение фазы колебания — это определение времени: ϕ = ωt. Соотношение неопределённостей энергия-время (2.2) может быть переписанокак соотношение фаза-уровень:δϕδt · δE = ω · δE h̄2⇔δϕ · δn 1 .2(12.48)Таким образом, чтобы хотя бы приближённо определить фазу колебаний, нам необходимо пожертвовать точным определением энергии.Наиболее классическими состояниями осциллятора принято считатькогерентные состояния, поскольку для них неопределённости координатыи импульса минимальны и не зависят от времени δQ2 (t) = δP 2 (t) = 12 .При этом чем больше средняя энергия когерентного состояния, тем болееклассическим оно является.12.11.
Квантованные поля (ф*)Классическая теория поля может рассматриваться как теоретическаямеханика систем, с бесконечным числом степеней свободы. При этом значение поля в каждой точке пространства (или каждая Фурье-компонентаполя) может рассматриваться как обобщённая координата.12.11. К ВАНТОВАННЫЕПОЛЯ ( Ф *)359Квантовая теория поля соотносится с классической теорией поля точнотак же, как квантовая механика соотносится с теоретической механикойсистем, с конечным числом степеней свободы.Квантовая теория поля — теория с переменным числом частиц, поскольку частицы в ней выступают в роли возбуждений поля. Мы обязаны рассматривать частицы в качестве возбуждений соответствующих полейв тех случаях, когда характерные энергии становятся сравнимы с энергиямипокоя частиц, а это, в частности, означает, что корректная релятивистскаяквантовая механика может быть построена только в рамках квантовой теории поля.Если мы рассматриваем поле свободных (т.
е. ни с кем не взаимодействующих) частиц, то обычно поле заключается в ящик Lx × Ly × Lz с периодическими граничными условиями и разлагается в ряд Фурье. Каждомуразрешённому (при данных размерах ящика) волновому вектору ставитсяв соответствие количество степеней свободы K, равное числу поляризаций у частиц рассматриваемого сорта.
После этого пишется гамильтонианквантованного поля, состоящий из суммы членов, описывающих все этистепени свободы:2π2π2πĤ =N ,N ,N ,Ĥkσ , k =Lx x Ly y Lz zk,σNx , Ny , Nz ∈ Z,σ = 1, . . . , K.Взаимодействие частиц описывается с помощью добавления в гамильтониан членов, содержащих переменные, относящиеся к разным состояниям частиц.Вид гамильтониана Ĥk,σ зависит от того, является ли рассматриваемое поле бозонным или фермионным. Для бозонных полей (например, дляэлектромагнитного поля) надо взять гамильтониан гармонического осциллятора2Ĥk,σ = h̄ωk,σ 1 ( P̂k,σ+ Q̂2k,σ ) = h̄ωk,σ (â†k,σ âk,σ + 12 ).2Операторы â†k,σ и âk,σ оказываются операторами рождения и уничтожениячастицы (кванта поля, для электромагнитного поля — фотона) в состояниис волновым вектором k (т.
е. с импульсом pk = h̄k), энергией εk,σ = h̄ωk,σи поляризацией σ. Оператор N̂k,σ = â†k,σ âk,σ оказывается оператором числачастиц с волновым вектором k и поляризацией σ. Через операторы N̂k,σ360ГЛАВА 12легко записываются такие величины, как общее число частицN̂kσ ,N̂ =k,σобщая энергияĤ =εkσ (N̂kσ + 12 ) =k,σh̄ωkσ (N̂kσ + 12 ),k,σобщий импульсp̂ =pkσ N̂kσ .k,σОбщая энергия оказывается ненулевой даже в отсутствие частиц (такое состояние называют вакуумом)E0 = 1h̄ωkσ ,2k,σэту энергию называют энергией нулевых колебаний вакуума (или просто —энергия вакуума). Более того, энергия вакуума, как правило, оказываетсябесконечной (одна из знаменитых расходимостей квантовой теории поля).Однако обычно эту энергию просто отбрасывают, используя модифицированный гамильтонианĤk,σ =h̄ωk,σ â†k,σ âk,σ .k,σВ большинстве случаев нас интересуют не абсолютные значения энергий,а изменение энергии, поэтому мы можем вычесть из энергии произвольную(хотя и бесконечную) константу.
Однако энергия нулевых колебаний вакуума проявляется на эксперименте в виде эффекта Казимира, за счёт которого две параллельные проводящие пластинки притягиваются. Это притяжение вызвано зависимостью E0 для нулевых колебаний электромагнитногополя от размера ящика (т. е. от расстояния между пластинами).Также энергия вакуума должна быть существенна для гравитационныхэффектов, в общей теории относительности она может давать вклад в космологическую постоянную.Для фермионных полей гамильтонианы Ĥk,σ действуют на двумерныхпространствах состояний и имеют два уровня с энергией ε0 (нет частицы)12.11.
К ВАНТОВАННЫЕПОЛЯ ( Ф *)361и с энергией ε0 + h̄ωk,σ (есть частица). Тем самым автоматически запрещается существование двух фермионов в одном состоянии.Для фермионов также вводятся операторы рождения и уничтожения,но для этих операторов коммутационные соотношения заменяются на антикоммутационные, которые нами пока не обсуждаются.Рассмотрение кристаллической решётки очень похоже на рассмотрение поля, с той разницей, что значения поля задаются не во всех точках,а только в узлах решётки, а допустимые значения волнового вектора оказываются обрезаны сверху значениями порядка 2πa , где a — период решётки.За счёт этого число степеней свободы оказывается конечным, хотя и большим.
Конечной оказывается и энергия нулевых колебаний. Элементарныевозбуждения в этом случае считаются не частицами, а квазичастицами.Например, возбуждения (кванты) упругих (звуковых) колебаний решёткиназываются фононами. Квазичастицы описываются с помощью того же математического аппарата, что и настоящие частицы. Для них также можнописать энергию, импульс, число частиц, операторы рождения, уничтожения, распределения Бозе (для свободных бозонов) и Ферми (для свободныхфермионов) и пр.12.11.1. Классический предел (фф*)Для колебаний квантованных полей, как и для гармонического осциллятора, мы можем получить из соотношения неопределённостей энергия–время соотношение фаза–номер уровня (12.48), которое теперь понимаетсякак соотношение фаза волны–число частиц:δϕ · δn 1 .2Как и для гармонического осциллятора, наиболее классическимисостояниями бозонного поля принято считать когерентные состояния.Причём чем больше средняя энергия (число частиц) когерентного состояния, тем более классическим оно является.
Именно состояния, похожие накогерентные чаще всего возникают на экспериментах «сами собой», состояния же с определённым числом частиц, как правило, приходится специально приготавливать. Например, если мы ослабим с помощью светофильтровимпульс лазера так, что в нём будет в среднем один фотон, то точное числофотонов в таком состоянии окажется неопределённым. В некоторых опытахкогерентные состояния очень хорошо умеют притворяться классическимиполями, в частности при рассмотрении расщепления слабого (в среднем362ГЛАВА 12меньше 1 фотона) лазерного импульса на полупрозрачном зеркале при обнаружении фотона в одном плече вероятность обнаружения фотона во втором плече не уменьшается, а увеличивается.Число фермионных возбуждений (частиц) в одном состоянии можетбыть только 0 или 1. Это препятствует точному определению фазы фермионных волн, а значит и созданию для них состояний, близких к классическим.ГЛАВА 13Переход от квантовой механикик классическойСогласно принципу соответствия (2.4 «Принцип соответствия (ф)»)квантовомеханическое и классическое описания природы должны соответствовать друг другу в области применимости обоих теорий, т.
е. онидолжны давать для таких случаев согласующиеся предсказания.Это соответствие проявляется в целом ряде теорем и утверждений,некоторые из которых будут обсуждаться далее, однако было бы неверно сводить всё соответствие, например, к теореме Эренфеста. Формальный предел h̄ → 0 вовсе не исчерпывает вопроса о получении классической механики из квантовой. Соответствие квантовой механики и классической — сложный вопрос, предполагающий обращение к основам обоихтеорий, включая скользкие вопросы интерпретации квантовой механики.Более того, во многих случаях заранее не ясно, в чём именно состоит соответствие между двумя теориями, а также есть ли это соответствие вообще,или в каком-то вопросе две теории радикально расходятся между собой.Какой теории отдать предпочтение при таком расхождении также не всегдаясно: хотя квантовая механика более общая теория и квантовый взгляд намир снимает многие классические проблемы, он приносит свои собственные проблемы, связанные с интерпретацией квантовых загадок и парадоксов.13.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
