М.Г. Иванов - Как понимать квантовую физику (1129349), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Внутренние линии этих ячеек проходятся дважды в противоположных направлениях и их вклад сокращается. Таким образом, параллельный перенос в фазовой плоскости (Q, P ) вдоль любого замкнутого контура Γ даёт умножениена фазовый множитель−TΓ = eiS(Γ)h̄,(11.27)с показателем пропорциональным ориентированной площади контура S(Γ),которая имеется смысл действия по контуру (площадь положительна приобходе контура по часовой стрелке).324ГЛАВА 11С помощью формулы (11.26) можно переставлять сдвиги по координате и импульсу:iabh̄ Ŝ−T̂a Ŝb = eb T̂a .(11.28)Однако, во многих случаях нам понадобится параллельный перенос одновременно по координате и импульсу вдоль отрезка прямой.i(aP̂ −bQ̂)вместе с операторами T̂−aСоответствующий оператор e h̄и Ŝ−b даёт параллельный перенос по контуру в форме прямоугольного треугольника с катетами a и b и ориентированной площадью S = − ab2Ŝ−b T̂−ai(aP̂ −bQ̂)e h̄=i abe h̄ 2 .(11.29)Таким образом, оператор сдвига «наискосок» можно выразить через сдвигипо координате и импульсу:ie h̄(aP̂ −bQ̂)i ab2 T̂= e h̄−a Ŝb = ei abh̄ 2 Ŝb T̂a .(11.30)11.5.2.
Классические и квантовые наблюдаемые**Оператор сдвига наискосок позволяет, следуя Г. Вейлю, ввести следующую естественную (но не единственную) процедуру, установления соответствия между классическими и квантовыми наблюдаемыми с помощьюпреобразования Фурье: i i(aP −bQ)(aP̂ −bQ̂)h̄F (Q, P ) = eF̃ (b, a) da db,F̂ = e h̄F̃ (b, a) da db.F̃ (b, a) =1(2πh̄)2(11.31)−ei(aP −bQ)h̄F (Q, P ) dQ dP.(11.32)При этом вещественность классической наблюдаемой F (Q, P ) эквивалентаравенству F̃ (b, a) = F̃ ∗ (−b, −a), которое эквивалентно эрмитовости квантовой наблюдаемой F̂ .Чтобы выразить F̃ (b, a) через F̂ нам надо продолжить исследованиеоператора сдвига наискосок.В координатном представленииie h̄(aP̂ −bQ̂)−ψ(Q) = eib(Q+a/2)h̄ψ(Q+ a).11.5.
СДВИГИВ ФАЗОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ **325Ядро оператораiQ2 |e h̄(aP̂ −bQ̂)−|Q1 = eСлед оператора сдвига наискосок: itr e h̄(aP̂ −bQ̂)=tri(aP̂ −bQ̂)e h̄iQ1 |e h̄=−eib(Q2 +a/2)h̄δ(Q2(aP̂ −bQ̂)− Q1 + a).|Q1 dQ1 =ib(Q1 +a/2)h̄δ(a) dQ1= 2πh̄ δ(b) δ(a),= 2πh̄ δ(b) δ(a) = tr(T̂a Ŝb ) = tr(Ŝb T̂a ).Произведение сдвигов снова даёт сдвиг, умноженный на фазовый множитель (направления Q и P на фазовой плоскости ничем не выделены)ie h̄(a2 P̂ −b2 Q̂)i· e h̄(a1 P̂ −b1 Q̂)i= e h̄([a1 +a2 ]P̂ −[b1 +b2 ]Q̂)−·eiSh̄ ,Здесь S — площадь треугольника, натянутого на векторы (a1 , b1 ) и (a2 , b2 ):a a S = − 1 1 2 = 1 (a2 b1 − a1 b2 ).2 b1 b22−tr ei(a P̂ −b2 Q̂)h̄ 2i· e h̄(a1 P̂ −b1 Q̂)= 2πh̄ δ(a1 − a2 ) δ(b1 − b2 ).Теперь мы можем найти коэффициенты разложения оператора F̂ по операторам сдвига наискосок (аналог преобразования Фурье от оператора)i− (a2 P̂ −b2 Q̂)1F̂ .(11.33)F̃ (b, a) =tr e h̄2πh̄Установив с помощью формул (11.31), (11.32), (11.33) взаимно однозначное соответствие между классическими и квантовыми наблюдаемыми мыможем переписать умножение операторов как некоторый частный случай∗-произведения функций на фазовом пространстве.326ГЛАВА 1111.5.3.
Кривизна фазового пространства****В дифференциальной геометрии пространство считается искривлённым,если параллельный перенос по замкнутому контуру даёт преобразованиеотличное от тождественного. Параллельного перенос по замкнутому контуру в фазовой плоскости даёт умножение на фазовый множитель (11.27)iS(Γ)TΓ = e h̄, т.е. действие элемента группы U (1). Это означает, что фазовой плоскости можно приписать кривизну над группой U (1). Кривизнафазовой плоскости постоянна, т. к.
площадь контура входит в показательэкспоненты с постоянным коэффициентом.Аналогично кривизна над группой U (1) в пространстве-времени вводится при описании электромагнитного поля как калибровочного.Можно связать между собой две хорошо разработанных области математической физики: симплектическую геометрию и теорию калибровочныхполей. Симплектическая форма и тензор электромагнитного поля объединяют в один объект, задающий кривизну в расслоении фазового пространстванад группой U (1). В литературе эта аналогия разрабатывается в одну сторону: квантовая механика как калибровочная теория в фазовом пространстве12 .Пусть X K — координаты в фазовом пространстве.
Для коммутаторови классических скобок Пуассона имеем[X̂ K , X̂ L ] = ih̄J KL ,{X K , X L } = J KL .В нашей интерпретации J KL — тензор кривизны фазового пространстванад группой U (1).В канонических координатахiX Q = Qi ,X Pj = Pj ,JQiPji= −J Pj Q = δji ,JQiQj= J Pi Pj = 0.Переход от обобщённых импульсов P к кинематическим импульсам pпозволяет исключить статическое магнитное поле из гамильтониана, описав его как добавку к кривизне фазового пространства. Для таких («новыхканонических») координат x мы обозначим тензор кривизны I (это тот жетензор J, но в других координатах)xpj = pj = Pj − ec Aj (Q),[x̂K , x̂L ] = ih̄I KL , {xK , xL } = I KL ,ixq = q i = Qi ,12 Isidro J.
M., de Gosson M. A. A gauge theory of quantum mechanics// Mod. Phys. Lett. A.2007. Vol. 22, Pp. 191–200.11.5. СДВИГИIqipji= −I pj q = δji ,IqВ ФАЗОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ **i jq327I pi pj = ec Fij = ec (∂i Aj − ∂j Ai ).= 0,Симплектическая форма ω задаётся матрицей обратной к матрице I,Mт.е. ωKL I LM = δK.ωqi pj = −ωpj qi = −δji ,ωqi qj = ec Fij ,ωpi pj = 0.Если не включать в число координат время (как обычно принято внерелятивистской квантовой механике), то в рамках данного подхода можноописать статическое магнитное поле, компоненты которого задаются компонентами тензора Fij (Fxy = −Hz , прочие компоненты получаем циклическими перестановками индексов).Данный подход отличается от общепринятого только выбором координат в фазовом пространстве.
В качестве примера приведём гамильтониандля системы частиц в магнитном поле в канонических и «новых канонических» координатах:H= (Pa − ec A(Qa ))2a2ma= p2a.2maaЗдесь a — номер частицы, координаты и импульсы относящиеся к одной частицы объединены в трёхмерные векторы. Магнитное поле, в каноническихкоординатах описывается векторным потенциалом A(Qa ) (H = rot A), который входит в гамильтониан, а коммутационные соотношения (и тензоркривизны фазового пространства J) не зависят от полей.
В «новых канонических» магнитное поле исчезает из гамильтониана и описывается через коммутационные соотношения для компонент кинематических импульсов pa , входя в тензор кривизны фазового пространства I.Для того, чтобы описать в рамках данного подхода переменное электромагнитное поле, необходимо расширить фазовое пространство, рассматривая время t и соответствующий времени обобщённый импульс p0 = −Eкак дополнительные координаты. При этом время в квантовой механике неможет рассматриваться в полной мере, как координата, волновая функция,по своему физическому смыслу, должна быть квадратично интегрируемойпо пространственным координатам, но не по времени, поскольку суммарная вероятность должна сохраняться.ГЛАВА 12Гармонический осцилляторГармонический осциллятор (грузик на пружинке) очень любим в теоретической механике, поскольку гармонический осциллятор — точно решаемая система, во многих случаях хорошо описывающая в первом приближении малые колебания различных систем.
Эти достоинства гармоническогоосциллятора сохраняются и в квантовой механике.На самом деле, в квантовой механике гармонический осциллятор любят даже больше, чем в классической. Это связано с тем, что гармонический осциллятор приобретает фундаментальное значение при рассмотренииквантованных бозонных полей (в том числе электромагнитного поля), которые без учёта взаимодействия описываются набором невзаимодействующих квантовых гармонических осцилляторов (см. ниже раздел 12.11).Решать задачу о квантовом гармоническом осцилляторе можно разными способами. Метод лестничных операторов, который вводится здесь, неявляется универсальным способом решения задач квантовой механики: онхорош только для гармонического осциллятора и похожих на него систем,однако именно этот способ задаёт специальный язык, который интенсивно используется во многих разделах квантовой теории, включая квантовуютеорию поля (КТП).Знакомство с данным методом очень полезно для изучающих квантовую теорию.
Помимо того, что этот способ просто красив, он приучает,столкнувшись с задачей, хорошенько подумать, прежде чем писать уравнение Шрёдингера в форме дифференциального уравнения (хотя бы потому,что дифференциальные уравнения могут вообще не понадобиться).Как обычно, начнём решение задачи с выписывания соответствующегогамильтониана. Удобно записывать уравнения не через жёсткость пружины k, а через собственную циклическую частоту ω = k/m:Ĥ =22 2p̂2p̂2+ kx̂ =+ mω x̂ .2m22m2(12.1)12.1.
О БЕЗРАЗМЕРИВАНИЕ32912.1. ОбезразмериваниеДля упрощения выкладок полезно обезразмерить гамильтониан, представив его в виде: (число с размерностью энергии) × (безразмерный оператор). «Число с размерностью энергии» удобно взять не случайным образом,а естественным, т. е. скомбинировать константу с размерностью энергиииз параметров задачи. Из унаследованных от классического осцилляторапараметров m и ω составить константу с размерностью энергии («естественную единицу энергии») для гармонического осциллятора невозможно,однако в квантовой задаче у нас появляется ещё один масштаб — постоянная Планка h̄, имеющая размерность действия. Эта размерность может быть представлена как (действие) = (масса) × (длина)2 /(время) == (энергия) × (время) = (импульс) × (длина). Произведение h̄ω имеет какраз размерность энергии, вынося его за скобку, получаем2p̂2mωx̂.(12.2)Ĥ = h̄ω+2h̄ωm2h̄От постоянных множителей в скобках мы можем избавиться, выбрав подходящие единицы измерения координаты и импульса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
