М.Г. Иванов - Как понимать квантовую физику (1129349), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Если координата Qi пробегает конечный интервал [0, Qmax ] с периодическими граничными условиями (например, если Qi — угол вокруг какой-либо оси, Qmax == 2π, а Pi — проекция момента импульса на эту ось), то спектр оператораmax∈ Z. Устремляя Qmax к бесконечности, мы можемP̂i дискретен, и p·Q2πh̄совершить предельный переход к непрерывному спектру.Для определённого таким образом обощённого импульса и соответствующей координаты мы можем получить коммутационное соотношение [Q̂, P̂ ]:4 ∂∂[Q̂, P̂ ]ψ = (Q̂P̂ − P̂ Q̂)ψ = Q −ih̄ψ − −ih̄(Qψ) = ih̄ψ,∂Q∂Q[Q̂, P̂ ] = ih̄.(11.14)Мы получили коммутационное соотношение (11.14) для случая, когда волновая функция является функцией обобщённой координаты Q, и, соответственно, оператор Q̂ сводится к умножению на Q, а оператор P̂ записыва∂, однако полученный ответ может быть использованется как P̂ = −ih̄ ∂Q4 На самом деле не всё так просто.
Область определения коммутатора [Q̂, P̂ ] включаеттолько векторы, на которые определено действие операторов Q̂, P̂ , в то время как областьопределения оператора умножения на число ih̄ — всё пространство H. Таким образом, коммутатор [Q̂, P̂ ] должен быть доопределён на всех тех состояниях, которые первоначальноне попали в его область определения. Такое доопределение особенно осложняется в случаепериодических граничных условий по координате.
Как ни странно, игра на этих «чисто математических» тонкостях позволяет получить нетривиальные физические результаты, которыемы обсудим далее.11.3. Н ЕПРЕРЫВНЫЕ313СИММЕТРИИ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯв любом представлении пространства чистых состояний (волновых функций).Если система состоит из нескольких невзаимодействующих подсистем,с одинаковой симметрией сдвига вдоль какой-то одной и той же координаты, то сохраняться будут обобщённые импульсы вдоль этой координаты для всех подсистем и любые их комбинации. Однако, если подсистемы взаимодействуют, то симметрия относительно сдвига только однойподсистемы может оказаться нарушенной. Сохранится же в общем случае только симметрия относительно одновременного сдвига соответствующих координат всех подсистем на одну и ту же величину a.
В этом случае для системы мы имеем только один закон сохранения суммарногообобщённого импульса по данной координате, отвечающий этому одновременному сдвигу. Не теряя общности для двух подсистем, можем записать:T̂a ψ(Q1i , Q2i , q) = ψ(Q1i + a, Q2i + a, q) =∂∂ψ(Q1i , Q2i , q) + · · ·= ψ(Q1i , Q2i , q) + a+∂Q1i∂Q2in1∂∂n+ a+ψ(Q1i , Q2i , q) + · · · .n!∂Q1i∂Q2iaT̂a = e∂∂+∂Q1i ∂Q2i=eP̂i =∂∂ia −ih̄−ih̄h̄∂Q1i∂Q2iP̂i1+P̂i2i= e h̄∂ T̂a = −ih̄∂a aP̂i,i= e h̄(11.15)a(P̂i1 +P̂i2 ).(11.16)(11.17)a=0P̂i1 = −ih̄ ∂ 1 ,∂QiP̂i2 = −ih̄ ∂ 2 .∂QiТо есть, как и в классической механике, суммарный обобщённый импульс вдоль координаты Qi задаётся как сумма импульсов отдельных подсистем.314ГЛАВА 11Мы видим, что наиболее общей оказывается формула для обобщённогоимпульса, как для генератора симметрии сдвига (трансляции)iP̂i a∂ T̂a P̂i = −ih̄⇔T̂a = e h̄ .(11.18)∂a a=0Формула (11.18) связывает его с соответствующей однопараметрическойсимметрией, при этом не важно, является ли система сложной или составной, в каком виде записаны волновые функции (через какие переменныеони выражены) и записывается ли симметрия как сдвиг по соответствующим координатам (11.10), (11.15), или как-то иначе5 .11.3.3.
Импульс как обобщённая координата*В коммутационное соотношение (11.14) [Q̂, P̂ ] = ih̄ координата и импульс входят почти (с точностью до знака) симметрично. Если мы сделаемзаменуQ̂ → P̂ ,P̂ → −Q̂,то соотношение перейдёт в себя6 .Таким образом, в импульсном представлении, получаемом из координатного преобразованием Фурье, операторы координаты и импульса приобретают видP̂ = P,Q̂ = ih̄ ∂ .∂PОтсюда следует, что оператор−Ŝb = eiQ̂bh̄b=e∂∂Pявляется оператором сдвига по импульсу на b:Ŝb ψ(P ) = ψ(P + b).Разумеется, определение Ŝb = e− h̄ Q̂b как оператора сдвига по импульсу не зависит от того, в каком представлении мы работаем.
Например,i5 В частности, именно через формулу (11.18) для поворотов вводятся операторы моментаимпульса с учётом спина (простой сдвиг по углам позволяет «поймать» только орбитальныемоменты).6 В теоретической механике замена координат в фазовом пространстве, сохраняющая скобку Пуассона, называется канонической заменой координат.11.3.
Н ЕПРЕРЫВНЫЕ315СИММЕТРИИ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯв координатном представлении оператор Ŝb действует простым умножениiем волновой функции ψ(Q) на волну де Бройля e− h̄ Qb . В частности, есливолновая функция является собственной для оператора импульса, то получаемŜb ψp0 (Q) = ψp0 −b (Q) . ie− h̄ bQ √1 e h̄i p0 Q2πi1√ e h̄ (p0 −b)Q2πФункции ψp0 образуют базис, таким образом мы проверили, что оператор Q̂b производит сдвиг по импульсу также и в координатном представлении.Если мы разлагаем потенциал Û (Q) в ряд или интеграл Фурье, то мытем самым представляем его в виде суперпозиции операторов сдвига поимпульсу.Если потенциал разлагается в ряд Фурье, то для функции с периодом aполучаем:Û (Q) =+∞un2πniQe an=−∞+∞=n=−∞un Ŝ2πh̄ .− a nТаким образом, периодический с периодом a потенциал разлагаетсяв линейную комбинацию сдвигов по импульсу кратных периоду обратнойрешётки 2πh̄a .
Это означает, что импульс под действием периодическогопотенциала Û (Q) сохраняется с точностью до целого числа периодов обратной решётки, и если мы введём параметр, называемый квазиимпульсомq = P + 2πh̄a n,n ∈ Z,q ∈ [0, 2πh̄a ),то он будет сохраняться. Это утверждение называется теоремой Блоха. Мыещё раз рассмотрим эту теорему и понятие квазиимпульса ниже (11.4.3«Квазиимпульс*»).Свёртка и её физический смысл для потенциала и состоянияВ общем случае нам удобно определить преобразование Фурье следующим образом:Û (Q) =ipQu(p) e h̄dp =u(p) Ŝ−p dp, u(p) = 12πh̄−U (Q) eipQh̄dQ.316ГЛАВА 11(ф) Преобразование Фурье при таком выборе коэффициентов не являетсяунитарным, зато оно имеет другой хороший физический смысл — разложение по операторам сдвига по импульсу.
Таким образом, «естественное» преобразование Фурье для потенциалов записывается иначе, чем «естественное» преобразование Фурье для волновых функций (сохраняющее скалярное произведение).Действуя оператором Û (Q), записанным через интеграл Фурье на волновую функцию в импульсном представлении, получаемÛ (Q)ψ(P ) = u(p) Ŝ−p ψ(P ) dp = u(p) ψ(P − p) dp.Последнее выражение называется свёрткой функций u(p) и ψ(P ). Свёрткафункций в данном случае имеет физический смысл суперпозиции сдвиговсостояния ψ на всевозможные импульсы −p с амплитудой u(p).Напоминаем, что в координатном представлении оператор Û (Q)действует поточечным умножением волновой функции ψ(Q) на функцию U (Q).11.4. Законы сохранения для ранее дискретныхсимметрийВ классической механике мы различаем непрерывные симметрии, которым соответствуют законы сохранения, и дискретные симметрии (такие как зеркальная симметрия), которым законов сохранения не достаётся.В квантовой механике дискретных симметрий нет: любой симметрии соответствует некий эрмитов оператор, экспонента от которого позволяет вставить дискретную симметрию в непрерывную группу симметрий.Для того, чтобы поставить в соответствие унитарному оператору Ûсохраняющуюся наблюдаемую (и не внести при этом лишнюю симметрию),достаточно найти эрмитов оператор Â, который коммутирует со всеми наблюдаемыми, с которыми коммутирует Û , и только с ними.
Для этого всесобственные векторы оператора Û , и только они, должны быть собственными для оператора Â.Для того, чтобы задать оператор Â, достаточно задать его действие навсе вектора некоторого базиса. Таким образом, если для каждого векторанекоторого базиса собственных векторов оператора Û мы зададим вещественные собственные числа, то тем самым будет задан некоторый эрмитовоператор (коммутирующий с Û ).11.4.
З АКОНЫСОХРАНЕНИЯ ДЛЯ РАНЕЕ ДИСКРЕТНЫХ СИММЕТРИЙ317Эрмитов оператор, отвечающий симметрии Û , следует строить так,чтобы одинаковым собственным числам оператора Û соответствовали одинаковые собственные числа оператора Â, а разным — разные. Такой оператор автоматически будет коммутировать/не коммутировать с теми же операторами, что и Û .Удобнее всего подобрать эрмитов оператор  как генератор симметрии, чтобы экспонента от него давала унитарный оператор:α0 ∈ R.Û = eiα0  ,(11.19)При этом унитарный оператор оказывается элементом однопараметрической группы:Û = Uα0 ,Ûα = eiα , α0 , α ∈ R.Собственные числа операторов Û и Â, соответствующие одному собственному вектору номер k, связаны соотношениемuk = eiak .Таким образом, значение ak определено с точностью периода 2π, посколькуeiak = ei(ak +2πn) , n ∈ Z, но при этом если uk = um , то следует выбиратьak = am , чтобы не привнести лишнюю симметрию (ниже в разделе 11.4.3,при рассмотрении симметрии относительно сдвига на период, мы увидимважность этого замечания).11.4.1.
Зеркальная симметрия и не толькоˆ задающий непрерывное линейноеРассмотрим некоторый оператор I,преобразование волновых функций, двухкратное повторение которого приводит к тождественному преобразованию:IˆIˆ = Iˆ2 = 1̂⇔Iˆ = Iˆ−1 .Если этот оператор, кроме того, сохраняет скалярное произведение в пространстве волновых функций, т. е. еслиIˆ† Iˆ = 1̂,то он оказывается одновременно унитарным и эрмитовым:Iˆ = Iˆ−1 = Iˆ† .(11.20)318ГЛАВА 11К числу таких операторов, очевидно, можно отнести оператор зеркальной симметрии (оператор инверсии по координате x):Iˆзерк.x ψ(x) = ψ(−x).Все собственные числа эрмитова оператора должны быть вещественны. Все собственные числа унитарного оператора должны по модулю равняться единице.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
