М.Г. Иванов - Как понимать квантовую физику (1129349), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Таким образом, оператор, который одновременно унитарени эрмитов, может иметь в качестве собственных чисел только ±1.7Операторы1̂ + Iˆ1̂ − IˆP̂+ =,P̂− =22оказываются проекторами на подпространства состояний, отвечающие собственным числам +1 и −1 соответственно (проверьте!):P̂+ 2 = P̂+ , P̂− 2 = P̂− , P̂+ P̂− = P̂− P̂+ = 0,ˆ P̂− ψ) = −1 · (P̂+ ψ).ˆ P̂+ ψ) = +1 · (P̂+ ψ), I(I(Если оператор Iˆ оказывается симметрией гамильтониана Ĥ, то (11.1)ˆ = 0,[Ĥ, I](11.21)и, поскольку оператор Iˆ является одновременно эрмитовым, то в качествесохраняющейся измеряемой величины мы можем выбрать его же.
Такимобразом, условие (11.21) одновременно выступает в роли закона сохранения (11.9).ˆПоскольку оператор Iˆ эрмитов, экспонента eiαI должна быть унитарным оператором:ˆeiαI =∞(iα)kk=0k!Iˆk =∞(iα)2ll=0(2l)!Iˆ2l +∞(iα)2l+1 ˆ2l+1I.(2l + 1)!l=0ˆ вынося за сумму операторы, получаемПоскольку Iˆ2l = 1̂, Iˆ2l+1 = I,ˆeiαI = 1̂∞(−1)l α2ll=0(2l)!+ iIˆ∞(−1)l α2l+1l=0(2l + 1)!= 1̂ cos α + Iˆ i sin α. (11.22)7 Случай, когда имеется только одно собственное число, неинтересен, поскольку в этомслучае оператор оказывается единичным, или минус-единичным: ±1̂.11.4.
З АКОНЫСОХРАНЕНИЯ ДЛЯ РАНЕЕ ДИСКРЕТНЫХ СИММЕТРИЙ319Таким образом, мы почти (с точностью до фазового множителя) вставилиоператор Iˆ в однопараметрическую группу унитарных преобразований:iˆei0I = 1̂,eπˆI2ˆ= iI.πПоскольку i = ei 2 , мы можем модифицировать формулу так, чтобы Iˆ попалв однопараметрическую группу:e−iα · eiαI = eiα(I−1̂) .ˆˆ(11.23)Теперьˆei0(I−1̂) = 1̂,ieπ ˆ(I−1̂)2ˆ= e−iπP̂− = I.11.4.2.
Чётность*— Ну, как, Китти, хочешь жить в Зеркальном доме? Интересно, дадуттебе там молока? Впрочем, не знаю, можно ли пить зазеркальноемолоко? Не повредит ли оно тебе, Китти . . .Льюис Кэрролл, «Алиса в Зазеркалье»Оператор зеркальной симметрии Iˆзерк.x , который появился выше, обычно используется в одномерных задачах.
Собственные функции с собственным числом +1 — любые чётные волновые функции, собственные функциис собственным числом −1 — любые нечётные волновые функции. Поэтомусоответствующая физическая величина называется чётностью8 .Для трёхмерных многочастичных задач рассматривается операторпространственной чётности P̂ = Iˆзерк.x Iˆзерк.y Iˆзерк.z , который аналогичнымобразом меняет все декартовы координаты всех частиц системы9 .Многие квантовые модели (т. е.
многие гамильтонианы) коммутируютс оператором P̂ , т. е. для них выполняется закон сохранения чётности. Сохранение чётности означает, что если в начальный момент времени системаописывалась чётной волновой функцией (P̂ ψ = ψ), или нечётной (P̂ ψ == −ψ), то в последующие моменты времени чётность волновой функциисохранится.8 Помимо рассматриваемой здесь пространственной чётности могут вводиться другие величины, в названии которых используется слово «чётность».
Всем им соответствуют операторы, удовлетворяющие условию (11.20). При этом собственные пространства, отвечающиеобоим собственным числам (−1 и +1), бесконечномерны.9 Вместо произведения трёх отражений можно взять одно отражение и поворот на π в зеркальной плоскости.320ГЛАВА 11Сохранение чётности также означает, что состояния ψ и P̂ ψ должны вести себя одинаково (см. рассуждения в начале раздела 11.1). Инымисловами, система, отражённая по трём осям (или по одной оси, если естьещё изотропность, т.
е. симметрия относительно поворотов), описываетсятеми же законами (тем же гамильтонианом), что и исходная система: смотряв зеркало, нельзя понять, что мы видим отражение, а не реальные объекты.Закон сохранения чётности был введён в 1927 году Юджином Вигнером, и долгое время считалось очевидным, что сохранение чётности должно быть универсальным законом природы, пока нарушение чётности небыло обнаружено экспериментально. Оказалось, что при слабом взаимодействии объект и его зеркальное отражение ведут себя по-разному, в частности, при β-распаде рождаются исключительно антинейтрино, закрученные по часовой стрелке10 (относительно направления вылета).11.4.3. Квазиимпульс*Рассмотрим симметрию относительно сдвига на период a вдоль координатной оси x. Такой симметрией обладает, например, гамильтонианчастицы во внешнем периодическом потенциале11 .Соответствующий унитарный оператор T̂a , как мы уже знаем, записывается через экспоненту от оператора импульса по данной оси p̂x :iT̂a = e h̄ap̂x.Однако сохранение импульса, как мы уже видели в разделе 11.3.2, подразумевает большую симметрию — симметрию относительно сдвига на произвольное расстояние.
Выше, во вводной части раздела 11.4, мы уже упоминали, что генератор симметрии может быть выбран неоднозначно, причёмне все генераторы могут соответствовать сохраняющимся величинам.Каковы собственные функции и числа для оператора T̂a ? Если координата x пробегает значения от −∞ до +∞, то собственные числа — всеединичные комплексные числа |u| = 1.
То естьiu = eiα = ei(α+2πn) = uq = e h̄aqi= e h̄2πh̄a(q+ a n),α, q ∈ R,n ∈ Z.10 Под «закрученностью» следует понимать направление собственного момента импульсачастицы — спина. Подразумевается, что зеркальная симметрия и пространственная чётностьдействуют также на зависимость волновых функций от спиновых переменных, «переворачивая» спин должным образом (если этого не делать, то пространственная чётность нарушитсяещё раньше).11 Это очень важный пример, соответствующий частице внутри идеального кристалла.11.4. З АКОНЫСОХРАНЕНИЯ ДЛЯ РАНЕЕ ДИСКРЕТНЫХ СИММЕТРИЙ321Здесь мы параметризовали собственные числа u параметром q, имеющимразмерность импульса.
Параметр q называют квазиимпульсом. Квазиимпульс определён с точностью до прибавления целого числа, умноженногона 2πh̄a . Это число называют периодом обратной решётки. Мы можем выбрать все квазиимпульсы из интервала длиной в период обратной решётки,πh̄например из интервала ( πh̄a , a ]. Таким образом, мы поставили в соответствие разным собственным числам оператора T̂a разные вещественныечисла, а одинаковым — одинаковые, и определили тем самым операторквазиимпульса, для которого эти вещественные числа q являются собственными с собственными функциями ψuq .По определению оператора сдвига T̂a ψ(x) = ψ(x+a), по определениюсобственного вектора T̂a ψu = uψu .
Таким образом, собственная функцияудовлетворяет условиюψu (x + a) = uψu (x).(11.24)Для гамильтонианов, коммутирующих с T̂a , собственные функции можноискать среди собственных функций оператора T̂a . В этом случае уравнение (11.24) позволяет продолжить волновую функцию с отрезка длиной aна всю вещественную прямую, задействовав, тем самым, симметрию относительно сдвига на период.При |u| = 1 интеграл по периодуx0x0 +a|ψu (x)| dx = |u|2|ψu (x)|2 dx2x0 −ax0не зависит от x0 . Если координата x ∈ R, то ψu не нормируема на единицу,как и должно быть, раз ψu принадлежат непрерывному спектру.Вместо x ∈ R мы можем рассматривать интервал x ∈ [x0 , x0 + N · a]с периодическими граничными условиями для ψ. В этом случае допустимытолько собственные числа, для которыхuN = 1⇔N aq∈ Z.2πh̄Таких собственных чисел имеется N штук (корни N -й степени из единицы).
Интеграл от |ψu |2 по конечному интервалу x ∈ [x0 , x0 + N · a] оказывается конечен, а спектр становится дискретным. Устремляя N к бесконечности, мы можем совершить предельный переход от дискретного к непрерывному случаю.322ГЛАВА 11Глядя на (11.24), можно понять физическийсмысл условия |u| = 1. Если это условие нарушается, то |u| > 1, или |u| < 1. В первом случае модульволновой функции неограничено возрастает при последовательных сдвигах на a, а во втором — при последовательных сдвигах на −a.
Тем не менее волновые функции ψu при |u| = 1 могут быть полезныпри рассмотрении кристаллической решётки, которая конечна, или бесконечна только в одну сторону,а также кристаллической решётки с дефектами. Такие функции могут описывать экспоненциальное затухание волновой функции частицы вглубь кристалРис. 11.2. Феликс ла, когда частица отражается от кристалла, или локаБлох (1905–1983).лизована на дефекте.В некоторых случаях волновую функцию вида (11.24) представляют в виде произведения волны де Бройля с импульсом q на периодическую функцию с периодом a:iψu (x) = e h̄xqφ(x),φ(x) = φ(x + a).(11.25)Утверждение (11.25) называют теоремой Блоха.
Очевидно, что (11.24) равносильно (11.25).11.5. Сдвиги в фазовом пространстве**11.5.1. Групповой коммутатор сдвигов*В текущей главе мы убедились в полезности унитарных операторовсдвига по координате T̂a и по импульсу ŜbiT̂a = e h̄aP̂,−Ŝb = eibQ̂h̄.В координатном представленииT̂a ψ(Q) = ψ(Q + a),−Ŝb ψ(Q) = eibQh̄ψ(Q).В импульсном представленииiT̂a ψ(P ) = e h̄aPψ(P ),Ŝb ψ(P ) = ψ(P + b).11.5. СДВИГИВ ФАЗОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ **323Эрмитовы операторы P̂ и Q̂ не коммутируют (4.64)[Q̂, P̂ ] = ih̄,соответственно не коммутируют и унитарные операторы T̂a и Ŝb .Для эрмитовых операторов их некоммутативность удобно определятькоммутатором [a, b] = ab − ba = ic (матричным коммутатором) которыйсопоставляет двум эрмитовым операторам a и b третий эрмитов оператор c.Произведение и взятие обратного для унитарных операторов — «хорошие» операции, т.
к. результат их действия снова оказывается унитарным.Сумма или разность унитарных операторов «хорошими» операциями неявляются. Поэтому для унитарных операторов некоммутативность удобнееопределять с помощью группового коммутатора ABA−1 B −1 .Вычислим групповой коммутатор для операторов T̂a и Ŝb в координатном представленииiT̂a Ŝb T̂−a Ŝ−b ψ(Q) = T̂a Ŝb T̂−a (e h̄= T̂aiib(Q−a)− bQ(e h̄ e h̄ψ(QbQiψ(Q)) = T̂a Ŝb (e h̄− a)) = T̂ai− ba(e h̄ ψ(Qb(Q−a)ψ(Q − a)) =−− a)) = eibah̄ ψ(Q).Таким образом (уже вне зависимости от представления)−T̂a Ŝb T̂−a Ŝ−b = eiabh̄ .(11.26)То есть (читая левую часть равенства справа налево) сдвиги по P , по Q,−iabобратно по P , обратно по Q дают в итоге фазовый множитель e h̄ , показатель экспоненты в котором пропорционален ориентированной (со знаком)площади контура ab, который был описан в фазовой плоскости (Q, P ).При параллельном переносе (сдвиге) по произвольному контуру, контурможет быть приближен с помощью набора прямоугольных ячеек.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
