М.Г. Иванов - Как понимать квантовую физику (1129349), страница 64
Текст из файла (страница 64)
= F̂ Ĥд. F̂ =2∂QТо есть F̂ Ĥд. = Ĥд. F̂ . И этой симметрии соответствует некоторый законсохранения.Закон сохранения, следующий из Фурье-симметрии, задаёт, что еслив начальный момент времени волновая функция гармонического осциллятора является собственной, для оператора F̂ , с собственным числом f , тои в последующие моменты времени волновая функция остаётся собственной функцией для F̂ с тем же собственным числом. Другая формулировка —ψ(t)|F̂ |ψ(t) не зависит от времени.Как известно, 4-кратное преобразование Фурье возвращает нас к исходной функции, т. е.
F̂ 4 = 1̂. Записав это для собственной функции, получаем:F̂ ψ = f ψ,3 Рекомендуемψ = 1̂ψ = F̂ 4 ψ = f 4 ψ⇒f 4 = 1,f ∈ {1, −i, −1, i}.самостоятельно проверить формулы (12.33)–(12.36).12.5. С ИММЕТРИИГАРМОНИЧЕСКОГО ОСЦИЛЛЯТОРА345Двухкратное преобразование Фурье даёт исходную функцию, с обратнымˆˆ Аналогичт. е. F̂ 2 = I.знаком аргумента: (F̂ 2 ψ)(Q) = ψ(−Q) = (Iψ)(Q),ное соотношение для собственных чисел позволяет заключить, что чётнымфункциям отвечает f = ±1, а нечётным — f = ±i. Таким образом, Фурьесимметрия включает в себя зеркальную симметрию, но позволяет разбитьчётные и нечётные функции ещё на два класса.Уравнение на собственные функции и собственные числа выглядитследующим образом:1f ψ(P ) =√ e−iP Q ψ(Q) dQ.2πRЗдесь ψ(Q) и ψ(P ) — одна и та же функция, в которую подставлены разныеаргументы.Поскольку спектр гармонического осциллятора не вырожден, найденные нами собственные функции ψn (Q) являются также собственными дляоператора F̂ , и нам надо только установить, какие собственные числа имсоответствуют.
Для основного состояния ψ0 (12.31) f = 1, поскольку преобразование Фурье совпадает с самой функцией ψ0 :(F̂ ψ0 )(P ) =R−Q22e1dQ =√ e−iP Q √4π2π=R−P22= e√4π11√√2π 4 πR−eR11 e− 2 (Q2 +2iP Q) dQ =1√√2π 4 π((Q+iP )2 +P 2 )−2e(Q+iP )22√2π−dQ =P22= ψ0 (P ).dQ = e √4πПосмотрим теперь, как меняется f под действием повышающего оператора ↠. Выкладки эти проведём двумя способами:1. Проделаем выкладки, используя тождество (12.36) для операторов â†и F̂ .
Тождество F̂ ↠F̂ −1 = −i↠можно переписать как F̂ ↠= −i↠F̂ ,используя это, получаем:F̂ ↠ψ = −i↠F̂ ψ = −i↠f ψ = (−if )↠ψ.346ГЛАВА 122. Проделаем те же выкладки, представляя векторы состояния как функции4 . Заменяя умножение на Q дифференцированием по P комплекс∂ной экспоненты и интегрируя по частям член, содержащий ∂Q, получаем:1 Q− ∂1ψ(Q) dQ =(F̂ ↠ψ)(P ) =√ e−iP Q √∂Q2π2R1= √1 i ∂ − iP√ e−iP Q ψ(Q) dQ =2 ∂P2πR= (−i↠F̂ ψ)(P ) = (−i↠f ψ)(P ) = (−if )(↠ψ)(P ).Таким образом, под действием повышающего оператора f умножилосьна −i, и мы получаем для собственных состояний осциллятораF̂ ψn = (−i)n ψn .Данная формула выявляет связь преобразований Фурье и временнойэволюции гармонического осциллятора:−iF̂ ψn = (−i)n ψn = eπn2 ψn−i=eπN̂2ψn−i=eπ †â â2ψn−=eh̄ω πi(Ĥ−)2 2ω ψ .h̄nПоскольку это тождество выполняется для всех базисных векторов ψn , мыможем записать преобразование Фурье как оператор эволюции гармоничесπкого осциллятора на время 2ω, т.
е. 14 часть периода T0 = 2πω , при условии,что в качестве нулевого уровня энергии принят уровень основного состояния E0 = h̄ω2 :−iF̂ = eπ †â â2−=eT0i(Ĥ−E0 )4h̄i=eiππ− Ĥ2 e h̄ 2ω1+i= √ Û π .2 2ωСдвиг нулевого уровня энергии не несёт физического смысла и приводит−iωtлишь к устранению фазового множителя e 2 . Таким образом, гармонический осциллятор каждые четверть периода подвергает своё состояниепреобразованию Фурье с точность до фазового множителя (который устраняется, если отсчитывать энергию от E0 ).4 По существу, это вывод тождества (12.36), т. е. частичное решение задачи, предложеннойв сноске 3.
Впрочем, внимательный читатель легко превратит это частичное решение в полное.12.6. П РЕДСТАВЛЕНИЕ ГАЙЗЕНБЕРГАДЛЯ ОСЦИЛЛЯТОРА34712.5.3. Вращение фазовой плоскостиОписанная выше Фурье-симметрия гармонического осциллятора соответствует повороту фазовой плоскости по часовой стрелке на угол π2 .Рис. 12.1 наводит на мысль, что гармонический осциллятор должен допускать более широкую симметрию, относительно поворотов фазовой плоскости на произвольный угол α.
И этой симметрии также должен соответствовать какой-то закон сохранения, позволяющий ещё более детально,чем Фурье-симметрия, различать между собой уровни энергии осциллятора.Однако в данном случае нас ждёт разочарование: эта симметрия описывается оператором эволюции Û αω , а соответствующий закон сохранения — закон сохранения энергии. Это легко увидеть, рассмотрев гармонический осциллятор в представлении Гайзенберга, чему и посвящён следующий раздел.12.6. Представление Гайзенберга для осциллятора12.6.1. Интегрирование уравнения ГайзенбергаРассмотрим теперь, как выглядит временная эволюция гармонического осциллятора в представлении Гайзенберга. Для оператора â, согласно (5.20), мы можем написать полную производную по времениdâ = i [Ĥ, â] = −iωâ.dth̄(12.37)Для представления Гайзенберга полная производная по времени описываетпросто, как оператор изменяется со временем и мы получаем дифференциальное уравнение, и начальные условия (шрёдингеровские операторы совпадают с гайзенберговскими в нулевой момент времени)&dâг= −iωâг ,⇒ âг (t) = e−iωt âш .(12.38)dtâг (0) = âшПолученный результат выглядит точно так же, как классическая эволюция гармонического осциллятора, изображённая на рис.
12.1, с заменойкоординаты и импульса на операторы.Через âг (t) мы можем выразить гайзенберговские операторы координаты и импульса и получить для них «с точностью до шляпок» классические348ГЛАВА 12формулы эволюции гармонического осциллятора:âг (t) + â†г (t)†= √1 e−iωt âiωt√ш+e âш =221−iωt Q̂ш + iP̂шiωt Q̂ш − iP̂шe== √+e√√222Q̂г (t) == cos(ωt) Q̂ш + sin(ωt) P̂ш .Формулу для импульса мы можем получить аналогично через âг и â†г , а можем просто продифференцировать координату по обезразмеренному времени ωt:1 dQ̂г = i [Ĥ, Q̂ ] = − sin(ωt) Q̂ + cos(ωt) P̂ .P̂г (t) = ωгшшdth̄ωТаким образом, точно так же как в классикеQ̂г (t) = cos(ωt) Q̂г (0) + sin(ωt) P̂г (0),P̂г (t) = − sin(ωt) Q̂г (0) + cos(ωt) P̂г (0).Если теперь усреднить эти уравнения по произвольной волновой функции(напомним, гайзенберговские волновые функции не зависят от времени), тосредние значения (т.
е. уже не операторы, а числа) будут колебаться совершенно классическим образом:Qг (t) = cos(ωt) Qг (0) + sin(ωt) Pг (0),Pг (t) = − sin(ωt) Qг (0) + cos(ωt) Pг (0).(12.39)12.6.2. Роль эквидистантности уровней*Посмотрим на представление Гайзенберга с несколько иной точки зрения и попытаемся понять с чем связано, что гайзенберговская эволюцияописывается одной частотой ω.Как мы знаем, матричный элемент не зависит от представления, в частностиφш |Âш |ψш t = φг |Âг |ψг t .Для понижающего оператора все отличные от нуля матричные элементыимеют вид n − 1|â|n.
Стационарные шрёдингеровские состояния эволю-12.7. К ОГЕРЕНТНЫЕСОСТОЯНИЯ ГАРМОНИЧЕСКОГО ОСЦИЛЛЯТОРА *349ционируют со временем как |nш (t) = e− h̄ En t |nш (0). Таким образом,in − 1|âг (t)|n = (n − 1)ш |âш |nш t =−i=eEn −En−1h̄tn − 1|âш |n0 = e−iωt n − 1|âш |n0 .Поскольку для всех ненулевых матричных элементов оператора âг (t) эволюция описывается одним и тем же фазовым множителем e−iωt , мы можемзаписать для самого оператораâг (t) = e−iωt âш .Нам удалось это благодаря тому, что все ненулевые матричные элементыоператора â берутся для состояний с одинаковой разностью энергий, т.
е.благодаря тому, что â спускает каждое стационарное состояние по лестницеэнергий на одну и ту же величину h̄ω.12.7. Когерентные состояния гармоническогоосциллятора*Выше мы уже рассматривали когерентные состояния, обращающие соотношение неопределённостей для пары операторов Â, B̂ в равенство (7.6).Такие состояния должны быть собственными для оператора вида iγ  + B̂.Именно такой вид имеют операторы â и ↠для гармонического осциллятора, поэтому их собственные состояния должны быть когерентными дляпары наблюдаемых координата-импульс.Легко видеть, что оператор ↠не имеет собственных состояний5 .Состояния, удовлетворяющие условиюâ|ψz = z|ψz ,z ∈ C,(12.40)называются когерентными состояниями гармонического осциллятора. Такие состояния существуют для всех z и одно из таких состояний мыуже знаем — это основное состояние гармонического осциллятора |0(см.
(12.21)).+ iP̂Мы знаем, что â = Q̂ √, пусть аналогично2z=α + iβ√ ,2α, β ∈ R.5 Попробуйте доказать это от противного, предположив, что ↠|ψ = Z|ψ, и разложив |ψпо базису состояний |n. (При каком минимальном n коэффициент разложения может бытьотличен от нуля?)350ГЛАВА 12Тогда уравнение (12.40) перепишется какα + iβQ̂ + iP̂|ψz = √ |ψz √22⇔[(Q̂ − α) + i(P̂ − β)]|ψz = 0.Таким образом, состояния |ψz с произвольным z ∈ C получаютсяиз |0 сдвигом по координате на α и импульсу на β.В координатном представлении получаем1 · eiβQ−ψz (Q) = √4π(Q−α)22.Однако при вычислении средних по когерентному состоянию осциллятора можно обойтись без этой формулы, используя вместо этого уравнение (12.40).
Это работает для любых операторов, выражающихся через Q̂и P̂ (а значит, выражающихся через â и ↠).Продемонстрируем это на примере вычисления средней энергии гармонического осциллятора в когерентном состоянии |ψz . В первую очередьнадо записать оператор через â и ↠так, чтобы в каждом слагаемом всеоператоры ↠были левее всех операторов â (используя коммутатор [â, ↠] == 1 (12.8), для расстановки лестничных операторов в правильном порядке):6ψz |Ĥ|ψz = ψz | h̄ω (↠â + 12 )|ψz .2После этого действуем всеми операторами â налево, а всеми операторами ↠направо, используя (12.40) и эрмитово сопряжённое соотношение:â|ψz = z|ψz ,ψz |↠= ψz |z ∗ ,ψz |Ĥ|ψz = ψz | h̄ω (z ∗ z + 12 )|ψz = h̄ω (|z|2 + 12 ).2212.7.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
