М.Г. Иванов - Как понимать квантовую физику (1129349), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Поскольку выражениев скобках безразмерно, новые координата Q̂ и импульс P̂ оказываются безразмерными:2Q̂2P̂,(12.3)Ĥ = h̄ω+224p̂p̂P̂ = √Q̂ = x̂ mω = xx̂ ,(12.4)=p ,00h̄h̄ωm4√h̄ ,p0 x0 = h̄p0 = h̄ωm,x0 = mω(12.5)— осцилляторные единицы импульса, координаты и действия (последняя,естественно, совпадает с постоянной Планка h̄). До сих пор все наши выкладки можно было один к одному повторить для классического осциллятора, стерев шляпки над буквами и считая h̄ просто некоторой константойс размерностью действия.Поскольку коммутатор координаты и импульса [x̂, p̂] = ih̄ имеетв квантовой механике фундаментальное значение, перепишем его в обезразмеренных операторах (числовые множители можно выносить из-под330ГЛАВА 12коммутатора):% 4$ 4[x̂, p̂]p̂mω= mω √ 1 [x̂, p̂] =[Q̂, P̂ ] = x̂,√= i.h̄h̄h̄h̄ωmh̄ωm[Q̂, P̂ ] = i.(12.6)В классической механике роль, аналогичную коммутатору, играет скобкаПуассона, и в точности те же выкладки можно проделать для неё, используясоответствие [·, ·]/(ih̄) −→ {·, ·}.12.2.
Представление чисел заполнения12.2.1. Лестничные операторыВ переменных Q, P эволюция классического осциллятора сводитсяк вращению точки на фазовой плоскости вокруг начала координат с постоянной угловой скоростью ω.Рис. 12.1. Эволюция классического осциллятора сводится к вращению точки нафазовой плоскости (Q, P ).Вращение с постоянной угловой скоростью удобно описывается с помощь комплексной переменной z = const · (Q + iP ). Вращение задаётсяумножением на фазовый множитель: z(t) = e−iωt z(0).12.2. П РЕДСТАВЛЕНИЕ331ЧИСЕЛ ЗАПОЛНЕНИЯПоскольку в квантовой механике комплексные числа и фазовые множители вида e−iωt являются неотъемлемой частью математического аппарата, представляется естественным попробовать ввести аналогичные величины для описания квантового осциллятора:â =Q̂ + iP̂,√2↠=Q̂ − iP̂.√2(12.7)В отличие от Q̂ и P̂ операторы â и ↠не являются эрмитовыми.Вычислим коммутатор введённых операторов (коммутатор можно рассматривать как разновидность умножения, и раскрывать скобки обычнымобразом, с учётом порядка сомножителей, т.
е. операция взятия коммутатора дистрибутивна относительно сложения):%$ Q̂ + iP̂ Q̂ − iP̂†[â, â ] == 1 [Q̂, Q̂] − i[Q̂, P̂ ] + i[P̂ , Q̂] + [P̂ , P̂ ] =, √√222= 1 (0 − i · i + i(−i) + 0) = 1.2⇔[â, ↠] = 1â↠= ↠â + 1.(12.8)Если бы операторы â и ↠коммутировали, то в соответствии с формулой (A − B)(A + B) = A2 − B 2 их произведение дало бы обезразмерен1ный гамильтониан Ĥ = 1 (Q̂2 + P̂ 2 ). Однако с учётом некоммутативности2ωh̄операторов получаем: Q̂ − iP̂ Q̂ + iP̂= 1 Q̂ · Q̂ + iQ̂ · P̂ − iP̂ · Q̂ + P̂ · P̂ =√√222 = 1 Q̂2 + i[Q̂, P̂ ] + P̂ 2 .2↠â =Введём теперь оператор N̂ : N̂ = ↠â = 1 Q̂2 − 1 + P̂ 2 ,2через который и выразим гамильтониан:11†= h̄ω N̂ +.Ĥ = h̄ω â â +22(12.9)(12.10)1 Эта формула справедлива тогда и только тогда, когда [A, B] = AB − BA = 0, поскольку(A − B)(A + B) = A2 − B 2 + AB − BA = A2 − B 2 + [A, B].332ГЛАВА 12Задача исследования гамильтониана свелась к задаче исследования эрмитового2 оператора числа квантов N̂ = ↠â.Мы видим, что в данных выражениях отличие квантовых формул отклассических состоит в появлении константы 12 .
В классическом пределе,когда операторы Q̂ и P̂ могут быть заменены большими (по сравнениюс единицей) числами, этой добавкой можно пренебречь.Операторы â и ↠называют лестничными операторами. Смысл этоготермина мы сейчас раскроем, для этого вычислим их коммутаторы с оператором N̂ (воспользовавшись формулой [ÂB̂, Ĉ] = Â[B̂, Ĉ] + [Â, Ĉ]B̂ и формулой [A, B]† = [B † , A† ]):[N̂ , â] = [↠â, â] = ↠[â, â] + [↠, â]â = −â,[N̂ , â]† = [↠, N̂ ] = −↠.Таким образом мы можем записать коммутационные соотношения в единообразном виде:[N̂ , â± ] = ±â± ,â+ = ↠,â− = â.(12.11)Пусть |ψn — некоторое собственное состояние оператора N̂ :N̂ |ψn = n|ψn .(12.12)Исследуем как ведёт себя состояние |ψn под действием операторов â и ↠,подействовав на получившиеся состояния â|ψn и ↠|ψn оператором N̂ :N̂ â|ψn = (âN̂ + [N̂ , â])|ψn = (âN̂ − â)|ψn == â(N̂ − 1)|ψn = â(n − 1)|ψn ,N̂ ↠|ψn = (↠N̂ + [N̂ , ↠])|ψn = (↠N̂ + ↠)|ψn == ↠(N̂ + 1)|ψn = ↠(n + 1)|ψn ,N̂ (â± |ψn ) = (n ± 1)(â± |ψn ).(12.13)Формула (12.13) означает, что для произвольного состояния |ψn , удовлетворяющего условию (12.12), состояния a± |ψn либо являются собственными, с собственными числами n ± 1, либо являются нулевыми векторами.Поэтому оператор a+ = a† называется повышающим оператором, а a− == a — понижающим оператором.2 Эрмитовостьоператора N̂ легко проверяется: N̂ † = (↠â)† = ↠ↆ = ↠â = N̂ .12.2.
П РЕДСТАВЛЕНИЕ333ЧИСЕЛ ЗАПОЛНЕНИЯОператор N̂ имеет только неотрицательные средние:ψ|N̂ |ψ = ψ|↠â|ψ = âψ|âψ 0.(12.14)Для собственного состояния имеемn |ψn = nψn |ψn 0ψn |N̂ |ψn = ψn | ⇒n 0.(12.15)числоВозьмём теперь произвольное собственное состояние и начнём на негомного раз действовать понижающим оператором:â|ψn ,â2 |ψn ,··· ,âk |ψn ,··· .Каждый раз оператор â либо понижает собственное число оператора N̂ наединицу, либо обнуляет состояние. Поскольку, как мы показали только что,собственные числа оператора N̂ неотрицательны, рано или поздно очередное состояние|ψn0 = const · âk |ψn (12.16)обнулится под действием â:â|ψn0 = 0⇒↠â|ψn0 = N̂ |ψn0 = n0 |ψn0 = 0⇒n0 = 0.Мы видим, что это состояние — собственное для оператора N̂ с нулевымсобственным числом:â|ψ0 = 0.(12.17)Оно отвечает минимальной возможной энергии гармонического осциллятора E0 = h̄ω2 , а потому называется основным состоянием гармоническогоосциллятора.Легко видеть, что ненулевое состояние |ψ никогда не обнулится поддействием повышающего оператора ↠:↠ψ|↠ψ = ψ|â↠|ψ = ψ|N̂ + 1|ψ ψ|ψ > 0.(12.18)Таким образом, начиная с основного состояния |ψ0 и действуя на негораз за разом повышающим оператором ↠, мы получаем лестницу состояний, нумеруемых целыми неотрицательными числами.
Однако надо уточнить следующие вопросы:• Сколько может быть линейно независимых состояний |ψ0i , удовлетворяющих уравнению (12.17)? Сколько угодно. До сих пор мы не вводили никаких условий, которые как бы то ни было ограничивали эточисло. Мы ещё вернёмся к этому вопросу.334ГЛАВА 12• Все ли собственные состояния оператора N̂ будут получены из |ψ0i с помощью повышающего оператора ↠? Все (см. объяснения ниже).– Могут ли быть у оператора N̂ нецелые собственные числа? Нет.Пусть |ψn — собственное состояние, отвечающее произвольномучислу n, начнём действовать на него раз за разом понижающимоператором.
Рано или поздно (как мы уже упоминали) мы получим (12.16), что âk |ψn = 0, но âk+1 |ψn = 0, это означает, чтосостояние âk |ψn — собственное для оператора N̂ , с собственнымчислом 0 = n − k, т. е. n = k — целое неотрицательное число.– Могут ли быть у оператора N̂ собственные состояния, которыене получаются из |ψ0i с помощью повышающего оператора?Нет. Начнём строить собственные состояния оператора N̂ в виде|ψni = cn (↠)n |ψ0i .
Предположим, что |φn∗ — собственное состояние, линейно независимое от |ψni и отвечающее собственному числу n∗ . При этом n∗ > 0, т. к. иначе |φn∗ — просто ещё односостояние из набора {|ψ0i }i . Выберем минимальное значение n∗ .Подействовав на |φn∗ оператором â, получаем собственное состояние |φn∗ −1 = n1∗ · â|φn∗ (где â|φn∗ = 0, т.
к. n∗ > 0). Мывидим, что ↠|φn∗ −1 = n1∗ · ↠â|φn∗ = n1∗ · N̂ |φn∗ = |φn∗ . Тоесть состояние |φn∗ получается из состояния |φn∗ −1 с помощьюоператора ↠. Если |φn∗ −1 линейно независимо от |ψ(n∗ −1)i , товыбранное нами n∗ не минимально, а если зависимо, то |φn∗ представимо через |ψn∗ i .• Сколько может быть линейно независимых состояний |ψni , отвечающих произвольному собственному числу n оператора N̂ ? (То есть какзависит от n кратность вырождения?) Ровно столько же, сколькодля n = 0 (см. первый вопрос), т.
е. для всех n непременно поровну. Пусть n > 0. Состояния â|ψni ненулевые (т. к. n> 0) и линейнонезависимые (т. к. если они линейнозависимы,т.е.i ci â|ψni = 0,то 0 = ↠0 = ↠i ci â|ψni = i ci ↠â|ψni = i ci n|ψni , т. е. линейно зависимы исходные состояния). Следовательно, кратность вырождения не может увеличиваться с ростом n. Аналогично для любогоцелого неотрицательного n состояния ↠|ψni ненулевыеи линейно†независимые (т. к.
если они линейнозависимы,т.е.câ|ψni = 0,iiто 0 = â0 = â i ci ↠|ψni = i ci â↠|ψni = i ci (n + 1)|ψni , т. е.линейно зависимы исходные состояния). Следовательно, кратность вырождения не может уменьшаться с ростом n.12.2. П РЕДСТАВЛЕНИЕЧИСЕЛ ЗАПОЛНЕНИЯ33512.2.2. Базис собственных функцийПусть кратность вырождения равна единице, тогда собственные функции оператора N̂ нумеруются одним числом n. Эти собственные функции,будучи собственными функциями эрмитова оператора, образуют базис, дляэлементов которого удобно ввести следующие обозначения:|ψn = |n.(12.19)Базис является ортогональным, т. к. собственные векторы, отвечающие разным собственным числам, ортогональны.
Базисные векторы отнормируемна единицу (поскольку спектр дискретный, это возможно), таким образомk|n = δkn .(12.20)Под действием понижающего оператора базисные векторы ведут себяследующим образом:â|0 = 0,(12.21)â|n = cn |n − 1,cn ∈ C,n > 0.Что мы можем сказать о константах cn ? Сопрягая последнее уравнениеи умножая исходное уравнение слева на сопряжённое, получаем:n|↠= n − 1|c∗n ,⇒ n|↠â|n = n − 1|c∗n cn |n − 1,n|↠â|n = n|N̂|n = n|n|n = nn|n = n,n − 1|c∗n cn |n − 1 = c∗n cn n − 1|n − 1 = c∗n cn = |cn |2 .√|cn |2 = n⇔cn = eiϕn n.Таким образом, используя ортонормированность базиса, мы вычислили cn с точностью до фазовых множителей. Вычислить эти фазовые множители невозможно. Это связано с тем, что условие ортонормируемостизафиксировало наш базис только с точностью до умножения базисных векторов на произвольные различные фазовые множители:|n = eiφn |n,cn = ei(φn −φn−1 ) cn .Не имея возможности вычислить фазовые множители для cn , мы имеем возможность выбрать их по своему произволу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
