М.Г. Иванов - Как понимать квантовую физику (1129349), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Временная эволюция когерентного состояния*Для изучения временной эволюции когерентного состояния воспользуемся представлением Гайзенберга:|ψz (t) = Ût |ψz ,â|ψz = z|ψz ⇒ Ût â|ψz = Ût z|ψz = z|ψz (t).6 Этоназывается — нормальное упорядочение.12.7. К ОГЕРЕНТНЫЕСОСТОЯНИЯ ГАРМОНИЧЕСКОГО ОСЦИЛЛЯТОРА *351Мы знаем, что âг (t) = Ût−1 âÛt = e−iωt â, поэтомуÛt â|ψz = Ût âÛt−1 Ût |ψz = âг (−t)|ψz (t) = eiωt â|ψz (t). âг (−t)|ψz (t)Таким образом,eiωt â|ψz (t) = z|ψz (t) ⇒ â|ψz (t) = e−iωt z|ψz (t).Мы получили, что исходное состояние |ψz эволюционировало за время tв состояние |ψz (t), которое снова оказалось собственным для оператора â,но уже с собственным числом z(t) = e−iωt z.
Средниезначения координаты√и импульса (вещественная и мнимой части 2 z) зависят от времени также, как для классического осциллятора, при этом дисперсии координатыи импульса остаются неизменными, т. е. волновой пакет осциллирует какцелое, не расплываясь.Мы получили временную эволюцию когерентного состояния с точностью до зависящего от времени фазового множителя. Точную временнуюэволюцию когерентного состояния мы можем легко получить, разложив егопо базису чисел заполнения.12.7.2.
Когерентные состояния в представлении чисел заполнения**Результаты данного подраздела можно получить более громоздкими прямолинейным путём, подставляя в уравнение для когерентного состояния гармонического осциллятора (12.40) волновую функцию, разложеннуюпо |n и исследуя рекуррентные соотношения для коэффициентов разложения7 . Однако мы нашли полезным для любознательных студентов использовать более изощрённый подход (поставив на заголовок лишнюю звёздочку).Мы можем разложить произвольную волновую функцию по базисным(↠)nсостояниям |n = √∞n!|0:∞(↠)ncn |n =cn √ |0 =|ψ =n!n=0n=0∞cn√ (↠)nn!n=0|0 = f (↠)|0.Таким образом, волновая функция может быть представлена как результатдействия на основное состояние |0 некоторой функции f от оператора ↠.7 Читательможет проделать эти вычисления в качестве упражнения.352ГЛАВА 12Функция f задаётся с помощью формального степенного ряда:f (x) =∞cn√ xn .n!n=0Мы можем считать, что функция f (x) является иным представлением волновой функции |ψ.
Вопрос о сходимости ряда, который задаёт функцию f (x) при тех или иных значениях аргумента, не имеет физическогосмысла и нас не интересует. Единственная сходимость, которую следуеттребовать для f (x), — сходимость квадрата нормы волновой функции:∞∞ dn f (0) 2122ψ =|cn | = .n! dxn n=0n=0Производная здесь понимается как формальная производная ряда.Оператор ↠действует на волновую функцию, представленную как f (x)∂ 8путём умножения на x, а оператор â действует как ∂x.Таким образом, уравнение для когерентного состояния гармоническогоосциллятора (12.40) переписывается следующим образом:9â|ψz = z|ψz ⇒df= zf.dxРешая это уравнение, находим:f (x) = c · ezx†|ψz = c · ezâ |0 = c⇒†|ψz = c · ezâ |0.∞∞z n (↠)n |0 = c z n |n.√n!n!n=0n=0∞(z ∗ z)n2ψz = |c|= |c|2 e|z| .n!2n=0Теперь мы можем написать нормированное на единицу когерентное состояние:−|ψz = e|z|22†· ezâ |0.(12.41)8 Проверьте это.
Предварительно выведите, используя (12.8), следующую формулу:[â, (↠)n ] = n(↠)n−1 . Мы можем также символически написать â = ∂∂↠. Для сравнениясм. также раздел 13.2.4 «Производная по операторному аргументу».9 Мы также получаем ещё одно доказательство отсутствия ненулевых состояний, удовлетворяющих уравнению ↠|ψ = z|ψ, которое переписывается в виде x f (x) = z f (x).12.8.
РАЗЛОЖЕНИЕПО КОГЕРЕНТНЫМ СОСТОЯНИЯМ **353Используя представление Гайзенберга, мы можем теперь получить временную эволюцию когерентного состояния со всеми фазовыми множителями:−|ψz (t) = Ût e|z|22z↷e−|0 = e|z|22zâ†Ût eÛt−1 · Ût |0−=e|z|2†2 ezâг (−t) · |0t.Таким образом, используя соотношение â†г (t) = eiωt ↠, находим−|ψz (t) = e|z|2−iωt †â2 eze−i·eωt2 |0−i=eωt2 |ψz(t) ,z(t) = ze−iωt .(12.42)12.8.
Разложение по когерентным состояниям**Набор когерентных состояний со всевозможными параметрами z ∈ Cне является линейно независимым и выступать в роли базиса в не может.Тем не менее, рассмотрим проекцию некоторого состояния |ψ = f (↠)|0на когерентное состояние |ψz∗ .dn2 f 2|z|∞∞dxn2 x=0n1−ψz∗ |ψ =n1 |e 2 √z|n2 =√n1 ! n2 =0n2 !n1 =0−=e|z|22∞dn f zn ,dxn x=0 n!n=0−ψz∗ |ψ = e|z|22f (z)(12.43)— это амплитуда вероятности того, что находившаяся в состоянии ψ система будет найдена в когерентном состоянии ψz∗ .
Таким образом, введённаяранее аналитическая функция комплексного аргумента f (z) приобрела физический смысл.Комплексный аргумент z выражается через средние значения обезразмеренных координаты и импульса в когерентном состоянии ψz∗ , что соответствует представлению оператора ↠через соответствующие операторы:z=Q − iP,√2↠=Q̂ − iP̂.√2354ГЛАВА 12Обозначим |f = f (↠)|0.Скалярное произведение должно быть определено так, чтобы выполнялось условие ортонормированности базиса стационарных состояний гармонического осциллятора:76n2 n1zz= δn2 n1 .n2 |n1 = √√n2 ! n1 !В терминах функций f скалярное произведение может быть записанокак интеграл по комплексной плоскости:21f2 |f1 = πf2∗ (z) f1 (z) e−|z| dz dz ∗ .(12.44)CМы видим, что между функциями комплексного аргумента z вида−F (z) = √1 eπ|z|22f (z) и волновыми функциями ψ(x) = x|f (↠)|0 ∈ L2 (R)имеется взаимно-однозначное соответствие.Функция F (z) = FQ − iP√2похожа на невозможный в квантовоймеханике объект: волновую функцию, зависящую одновременно от координаты и соответствующего импульса.Запишем матричные элементы от операторов ↠= z и â = d :F2 |↠|F1 =1F2 |â|F1 = πCdzF2∗ (z) z F1 (z) dz dz ∗ .C∗e−zz f2∗ (z) d f1 (z) dz dz ∗ =dzF2∗ (z) z ∗ F1 (z) dz dz ∗ .CВ последнем выражении интеграл по z взят по частям, с учётом того, что−zz∗df2∗= 0, de= z ∗ e−zz .dzdz∗Аналогичную формулу можно получить для любого произведения операторов â и ↠, в котором множители упорядочены антинормальным упорядочением: сначала идут все множители â, а потом — â†F2 |ân2 â†n1 |F1 = F2∗ (z) z ∗n2 z n1 F1 (z) dz dz ∗ .C12.8.
РАЗЛОЖЕНИЕПО КОГЕРЕНТНЫМ СОСТОЯНИЯМ **355Также и для произвольной антинормально упорядоченной функцииA(â, ↠) 10 имеемF2 |A(â, ↠)|F1 = F2∗ (z) A(z ∗ , z) F1 (z) dz dz ∗ .CВ частности для средних значений (диагональных матричных элементов)мы получаем такое выражение, как если бы функция |F (z)|2 была плотность вероятности на комплексной плоскостиz, т. е. совместным распреде√√лением вероятности по координате Q = 2Re z и импульсу P = − 2Im z:†F |A(â, â )|F = |F (z)|2 A(z ∗ , z) dz dz ∗ .CФункция |F (z)|2 , как и полагается настоящей плотности вероятности неотрицательна и нормирована на единицу.При всём сходстве с обычными волновыми функциями ψ(x), функция F (z) имеет ряд существенных отличий.• Волновая функция ψ(x) задаёт амплитуды вероятностей √для разныхвзаимоисключающих значений координаты x, а функция πF (z) задаёт амплитуды вероятностей для когерентных состояний, которые нетолько не ортогональны, но даже не являются линейно независимыми11 .– Аргумент функции ψ(x) — вещественный, а функции F (z) — комплексный.– Чтобы задать волновую функцию ψ(x), надо определить её значения на множестве всюду плотном на R.– Чтобы задать функции F (z), достаточно задать её значения насходящейся последовательности различных точек.
Это возможно поскольку F (z) определяется через аналитическую функцию f (z).10 При разложении функции A(â, ↠) по степеням операторов â и ↠каждый член разложения должен быть антинормально упорядочен.511 Система когерентных состояний ψ является ортоподобной, т.е.|ψz ψz | dz dz ∗ =zC= const · 1̂ = 1̂. Константа для нормированных когерентных состояний равна π. В силу15этого ψ2 |ψ1 = π ψ2 |ψz∗ ψz∗ |ψ1 dz dz ∗ , что совпадает с уравнением (12.44).C356ГЛАВА 12• Хотя функция |F (z)|2 очень похожа на распределение вероятностейпо z, она таковым не является. Однако, она становится распределением вероятности по z в классическом пределе, т. е. для состояний и вопросов, для которых эффектом антинормального упорядочения можнопренебречь.12.9.
Сжатые состояния**Рассмотренные выше, в разделе 12.7, когерентные состояния гармонического осциллятора не исчерпывают всех возможных когерентных состояний для пары операторов координата-импульс (см. раздел 7.2.3). Общеекогерентное состояние для пары операторов координата-импульс должноудовлетворять уравнению(x̂ + iγ p̂)|ψzγ = z|ψzγ ,в котором параметры z ∈ C и γ > 0 могут быть выбраны произвольными.Однако когерентные состояния гармонического осциллятора ограниченны1случаем фиксированного γ = xp00 = mω(см.
(12.5)). Такие состояния всеполучаются сдвигом по координате и импульсу гауссова распределения (основного состояния) с фиксированной шириной.Мы можем рассмотреть когерентные состояния с другими значениями γ, которым будут соответствовать гауссовы распределения более илименее широкие, чем для основного состояния осциллятора. Такие состояния называют сжатыми состояниями гармонического осциллятора12 .Сжатые состояния могут быть получены из когерентных изменениеммасштаба (растяжением или сжатием) по координате (масштаб по импульсуменяется автоматически так, чтобы продолжало выполняться соотношениеx0 p0 = h̄).Удобно построить оператор сжатия, действие которого позволяло быпроводить соответствующее изменение масштаба. Сжатие по координате xсоответствует сдвигу по ln |x|.
Таким образом, генератор соответствующегопреобразования должен иметь вид:Ĝ0 = −ih̄∂= −ih̄x ∂ = x̂p̂.∂x∂ ln |x|(12.45)12 Название связано с тем, что распределение по координате или по импульсу для такогосостояния может оказаться более узким (сжатым), чем для основного состояния осциллятора.12.9. С ЖАТЫЕСОСТОЯНИЯ **357Данный оператор, однако, не является эрмитовым, а следовательно, экспонента от негоie h̄kĜ0ie h̄,kĜ0ψ(x) = ψ(ek x)не будет унитарным оператором. Это связано с тем, что при сжатии в ek разпо x во столько же раз уменьшается квадрат нормы ψ2 . Для того чтобысделать оператор унитарным, можно добавить к генератору Ĝ0 константус таким расчётом, чтобы новый оператор оказался эрмитовым:∂1= x̂p̂ − ih̄ = 1 [x̂, p̂]+ =Ĝ = −ih̄ x+22∂x 2â2 − (↠)2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
