М.Г. Иванов - Как понимать квантовую физику (1129349), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Насколько это хорошо?Если классическая частица движется вдоль оси x, причём E > U (x),то частица будет последовательно проходить все интервалы по x, находясьdxdxна каждом интервале dx на протяжении времени v(x)= m p(x), где v(x) —классическая скорость. (То есть в классическом случае отсутствует надбарьерное отражение.) Если мы ловим частицу на интервале dx, не зная13.5. К ВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ377в какой именно момент частица стартовала, то вероятность того, что мыпоймаем частицу, пропорциональна времени, которое частица пробудет наданном отрезке.
Таким образом, следует модифицировать волновую функ1цию так, чтобы выполнялось условие |ψ(x)|2 ∼ p(x). Поэтому естественнопредположитьp(x) dx .(13.23)ψ(x) ≈ Cexp ± ih̄p(x)Знак ± в показателе экспоненты соответствует движению частицы по xв положительном или отрицательном направлении. Как мы увидим далее,формула (13.23) совпадает со вторым квазиклассическим приближением.Поскольку в квантовой механике частица может одновременно двигаться в обе стороны (находиться в суперпозиции состояний, отвечающихдвижению в разные стороны), последнюю формулу следует модифицировать: C+ψ(x) ≈ p(x) dx +exp ih̄p(x)C−+p(x) dx .
(13.24)exp − ih̄p(x)Таким образом, мы угадали формулу для второго квазиклассическогоприближения, используя общефизические соображения. Далее мы выведемту же формулу (13.24) более строго, но и метод угадывания, несмотря навсю свою нестрогость может быть полезен, поскольку нестрогий выводпозволяет: 1) понять физический смысл формул; 2) хорошо запомнить самиформулы.Рассуждения, с помощью которых мы угадали квазиклассические волновые функции применимы только в глубине классически разрешённойобласти E > U (x), однако можно надеяться, что те же формулы будутсправедливы для мнимых значений импульса p(x), т.
е. в глубине области E < U (x).13.5.2. Как вывести квазиклассическую волновую функциюВыведем в одномерном случае то выражение для квазиклассическойволновой функции, которое мы угадали в предыдущем разделе. Для этогопредставим волновую функцию в экспоненциальном видеiψ(x) = e h̄S(x)(13.25)378ГЛАВА 13и подставим её в стационарное уравнение Шрёдингера, записанное в координатном представлении:1 (S )2 − ih̄S = E − U (x),2mилиS =2m(E − U ) + ih̄S .(13.26)(13.27)Это пока точное уравнение Шрёдингера, просто переписанное для функции S(x).Мы знаем, что постоянная Планка мала в привычных нам макроскопических единицах измерения. Но на самом деле бессмысленно говоритьо малости размерной величины, т. к.
любая размерная величина может бытьобращена в единицу выбором подходящих единиц измерения. «Малость»постоянной Планка в привычных (макроскопических) единицах измеренияозначает, на самом деле, малость по сравнению с привычными (макроскопическими) величинами той же размерности, т. е. по сравнению с характерными значения действия и момента импульса.Запишем для функции S(x) формальный степенной ряд по степенямпостоянной Планка:S = S0 − ih̄S1 + (−ih̄)2 S2 + . . . .(13.28)Как правило, этот ряд не сходится, но даёт хорошие приближения, есливзять от него несколько первых членов.Подставляя ряд (13.28) в уравнение (13.27) и удерживая соответствующие члены разложения, получаем:S0 (x) = 2m(E − U (x)) = ±p(x) ⇒ S0 (x) = ± p(x) dx.Здесь p(x) — классическое выражение для импульса через координату x.Аналогично для следующего члена разложения:((S0 − ih̄S1 ) = 2m(E − U ) + ih̄S0 + o(h̄) =ih̄p (x),p2 + ih̄p + o(h̄) = p(x) +2 p(x) p(x).S1 (x) = −= − ln p(x)⇒ S1 (x) = ln C2 p(x)p(x)=13.5.
К ВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ379Подставляя первые два члена из (13.28) в выражение (13.25) для волновой функции, получаем выражение, которое совпадает с угаданным ранее (13.23):±ψ(x) = C ep(x)i 5p(x) dxh̄.Чего же мы достигли, получив ранее угаданное выражение? Вопервых, мы его действительно получили, а не угадали, при этом мы можемулучшить наше приближение, взяв следующие члены разложения S(x) постепеням постоянной Планка. Мы можем определить область применимости полученного приближения, оценив следующий член разложения, и ужеболее обоснованно получить ранее угаданную нами оценку (13.20) ∂λ 1. ∂x Причём, если ранее полученные волновые функции и оценки ихприменимости были обоснованы для классически разрешённой областиE > U (x), p(x) ∈ R, а применимость тех же формул для классически запрещённой области E < U (x) мы могли обосновывать, только ссылаясьна аналогию и аналитическое продолжение, то теперь квазиклассическоеприближение и критерий его применимости равно обоснованы в глубинеклассически запрещённых и разрешённых областей.У границы классически разрешённой и запрещённой областей, когдаp(x) → 0 длина волны де Бройля неограниченно возрастает и условие|λ (x)| 1 перестаёт выполняться.
Области E ∼ U (x) (p(x) ∼ 0) надоисследовать другими способами.13.5.3. Квазиклассическая волновая функция у точки поворотаВ классически разрешённой области квазиклассическая волновая функция представляется суперпозицией двух волн, бегущих слева направои справа налево (13.24). Если данная энергия относится к невырожденномуспектру (непрерывному или дискретному), т. е. если частица не может уйти по координате на одну из бесконечностей, то поток вероятности долженравняться нулю, а амплитуда обеих волн должна совпадать.
В этом случае (даже вне зависимости от квазиклассического приближения) волноваяфункция может быть выбрана вещественной, т. е.⎛⎞xψ(x) = Cp(X)dX + ϕ0 ⎠.sin ⎝ 1(13.29)h̄p(x)x0380ГЛАВА 1321–200248–1–2Рис. 13.3. Волновая функция у бесконечновысокой стенки.В случае, если классически разрешённая область ограничена бесконечновысокой стенкой, в точке a мы имеем ψ(a) = 0 и можем записать⎞⎛xψ(x) = Cp(X)dX ⎠.(13.30)sin ⎝ 1h̄p(x)a21–200248–1–2Рис. 13.4. Волновая функция у ступеньки.Если точка a является точкой поворота (для определённости — левойточкой поворота), где U (a) = E (или U (a − 0) > E > U (a + 0)), то и в этомслучае удобно выбрать a в качестве предела интегрирования и записать⎛⎞xψ(x) = Cp(X)dX + ϕ0 ⎠.sin ⎝ 1(13.31)h̄p(x)aЗадача состоит в том, чтобы подобрать фазу ϕ0 так, чтобы формула (13.31) правильно описывала квазиклассическую волновую функциюв глубине классически разрешённой области (вдали от точки поворота a).13.5.
К ВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ381Даже если в окрестности точки поворота квазиклассическое приближение не выполняется (например, p(a) = 0), нас, как правило, интересуютне детали поведения волновой функции в малой окрестности точки a, а еёповедение на больших интервалах вдали от этой точки.
Для этого достаточно знать фазу ϕ0 .Сравнивая волновые функции в ямах с бесконечновысокими стенкамии со стенками конечной высоты, мы можем заключить, что для левой точки поворота ϕ0 > 0 (по крайней мере, для этого случая). То есть если мыхотим заменить стенку конечной высоты, стоящую в точке a, бесконечновысокой стенкой, то стенку придётся отодвинуть, чтобы к точке a волноваяфункция успела набрать фазу ϕ0 , т. е. по сравнению с ямой с бесконечновысокой стенкой яма с конечной стенкой «выглядит шире».В случае, если в окрестности точки поворота (там, где не работает квазиклассика) потенциал можно приблизить линейной функцией, фаза можетбыть вычислена (см.
следующий раздел)ϕ0 = π ,4т. е. яма оказывается эффективно шире на 14 полуволны с одной стороны.Если яма с обоих сторон ограничена такими точками поворота, то в общейсложности яма оказывается эффективно шире на 12 полуволны.Фаза волновой функции у точки поворота*Введённая выше (13.31) фаза ϕ0 зависит не только от того, как потенциал ведёт себя в окрестности точки поворота a, но и от того, как потенциалсебя ведёт левее: стоит ли где-то при конечном x < a бесконечновысокаястенка, или где-то при x < a есть другая классически разрешённая область,или классически запрещённая область тянется до −∞.Мы рассмотрим случай, когда вся полуось левее точки a является классически запрещённой областью, причём в окрестности точки поворота, там,где не работает квазиклассика, и немного там, где квазиклассика уже работает, потенциал меняется практически линейно.Нам надо сшить квазиклассическую волновую функцию слева от точки поворота, которая имеет вид возрастающей вещественной экспоненты(в классически запрещённой области величина p(x) — чисто мнимая)⎞⎛aC−ψ(x) = |p(X)|dX ⎠, x a,(13.32)exp ⎝− 1h̄2 |p(x)|x382ГЛАВА 13с квазиклассической волновой функцией справа от точки поворота⎛⎞xC+1p(X)dX + ϕ0 ⎠, x a,ψ(x) = sin ⎝(13.33)h̄p(x)aи с точным решением уравнения Шрёдингера с линейным потенциаломв малой области вокруг точки поворота:ψ +2mF (xh̄2− a) = 0,F = −U (a),x ∼ a.(13.34)При этом нам надо установить коэффициент пропорциональностимежду C+ и C− (в силу линейности уравнения Шрёдингера они должныбыть пропорциональны друг другу), а также фазу ϕ0 .Искомый ответ:ϕ0 = π ,C+ = C− .4Эта задача может быть решена различными способами:• Решение уравнения (13.34) с помощью функции Эйри и сравнениеасимптотик функции Эйри при «больших» (но всё равно в пределахлинейности потенциала) аргументах с квазиклассическими волновыми функциями (13.32) и (13.33) (метод наиболее прямой и обоснованный).• Продолжение волновой функции на комплексные значения x и получение двух комплексных экспонент (образующих sin в классически разрешённой области) при обходе точки x = a по верхней полуплоскостии по нижней полуплоскости (метод Цваана).• Вырезание проблемной области x ∼ a (замена её ступенькой, симметричной относительно точки поворота) и сшивка квазиклассическихволновых функций (13.32) и (13.33) напрямую позволяет определитьправильное значение ϕ0 , но не даёт правильного отношения амплитуд C± .Мы воспользуемся третьим методом.|p(x)| в малой окрестности (где потенциал линеен) зависит толькоот |x − a|.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
