М.Г. Иванов - Как понимать квантовую физику (1129349), страница 71
Текст из файла (страница 71)
При этом внутри барьера, как и ранее при рассмотрении потенциальной ямы, преобладает затухающая экспонента.Величина экспоненты внутри барьера снижается в e−L раз. Посколькуэта величина связана с амплитудой вероятности, то соответствующий вкладв коэффициент прохождения составляетD0 = e−2L .Однако мы пока не учли вклад в коэффициент прохождения предэкспоненциального множителя √ 1 и условий сшивки в точках входа и выхода.p(x)Как мы уже обсуждали ранее (13.5.1 «Как угадать и запомнить квазиклассическую волновую функцию»), предэкспоненциальный множительучитывает переменную скорость частицы, летящей в переменном потенциале, тогда как экспонента задаёт поток частиц.
Таким образом, изменениепредэкспоненциального множителя не даёт вклада в поток и коэффициентпрохождения.Условия сшивки волновой функции в точках входа и выхода могут датьдополнительные множители порядка 1:D = D0 · Da · Db ,Da , Db ∼ 1.Если точки входа и выхода «устроены одинаково», и в окрестностяхобоих потенциал может быть приближен линейной функцией, то, в силусимметрии входа в барьер и выхода из него,Db = 1 .DaВ этом случае⎛D = D0 = e−2L = exp ⎝− 2h̄b⎞|p(X)| dX ⎠.(13.40)aЗаметим, что формулу (13.40) мы не столько вывели, сколько угадали.Строгий вывод требует более аккуратного рассмотрения условий сшивкив точках входа и выхода, и в частности доказательства возможности пренебречь внутри барьера возрастающим членом волновой функции.390ГЛАВА 1313.5.8.
Несколько слов об инстантонах**Внимательно рассмотрим показатель экспоненты в формуле для квазиклассического коэффициента прохождения через барьер:2h̄ba|p(x)| dx = −i 2h̄b b 22m(E − U (x)) dx =2m(−E + U (x)) dx.h̄aaПоследнее выражение может быть переписано как h̄1 умножить на действиепо периоду для колебаниямежду точками a и b с зависимостью импульсаот координаты p− (x) = ± 2m(−E + U (x)):1h̄8p− (x) dx = 2 1h̄bp− (x) dx.aТакая зависимость p− (x) может быть получена из обычной изменениемзнака энергии:E → −E,U (x) → −U (x).Мнимое действие (интеграл от мнимого импульса) можно также описать как движение с мнимой скоростью. А поскольку перемещение междуточками a и b вещественно, такая скорость соответствует мнимому изменению времени.Если вспомнить, что амплитуда вероятности, соответствующая движению с действием S, задаётся как (3.17)iSe h̄ ,то мы получаем возможность рассматривать туннелирование через барьер,не суммируя обычные (классически запрещённые) траектории (вклад которых практически компенсируется, в результате чего формула сходитсяочень медленно), а беря одну классически разрешённую траекторию с мнимым временем движения:b i S 2 h̄ 2D = e ,S=2m(E − U (x)) dx.h̄aДвижение через потенциальный барьер с мнимым временем называютинстантонным движением.13.6.
С ОХРАНЕНИЕВЕРОЯТНОСТИ И УРАВНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ391Если мы имеем потенциальную яму, разделённую барьером на две половины, то туннелирование через барьер приводит к тому, что система,помещённая в одну половину ямы, начинает колебаться, поочерёдно туннелируя туда-сюда. Такое состояние называют инстантоном.Инстантоны возникают в различных задачах теории конденсированного состояния и квантовой теории поля, они, в частности, могут возникатьпри спонтанном нарушении симметрии как колебания вакуумного поля.13.6.
Сохранение вероятности и уравнение непрерывностиКак мы уже писали ранее (5.1.1 «Унитарная эволюция и сохранениевероятности»), сохранение полной вероятности является одним из фундаментальных принципов квантовой теории. При этом сохранение полнойвероятности (вместе с линейностью и обратимостью) приводит к унитарности эволюции замкнутой системы.Однако полная вероятность может быть записана как интеграл от плотности вероятности в конфигурационном пространстве.
В силу непрерывности уравнений квантовой механики представляется интересным переписатьусловие сохранения вероятности в дифференциальной форме, как уравнение непрерывности для плотности вероятности.Таким образом, мы имеем вектор состояния, заданный как волноваяфункция ψ(Q) на конфигурационном пространстве. Здесь Q — совокупность обобщённых координат Qn (координат в конфигурационном пространстве).Мы знаем, что2(Q) = |ψ(Q)| ,(Q) dQ = 1 = const— плотность вероятности в конфигурационном пространстве.Уравнение непрерывности должно иметь вид∂+ div j = 0,∂t(13.41) ∂jnгде div j = n ∂Qn — дивергенция в конфигурационном пространстве отвещественного векторного поля j, которое задаёт плотность потока вероятности.Стоящая перед нами задача — выразить j через ψ и показать, что найденное выражение удовлетворяет уравнению непрерывности (13.41).392ГЛАВА 1313.6.1.
Как угадать и запомнить плотность потока вероятностиПрежде чем приступать к строгим выкладкам, угадаем ответ.Для классического распределения частицj(Q) = (Q) v(Q),где v(Q) — скорость частиц в данной точке.Для волны де Бройляp̂ψ = pψ = mv ψ.Эта же формула приближённо справедлива для квазиклассической волновой функции, но теперь v уже является функцией от координат:p̂ψ(Q) ≈ mv(Q) ψ(Q).Умножая полученную формулу на ψ ∗ (Q), получаемψ ∗ (Q) p̂ψ(Q) ≈ mv ψ(Q) ψ ∗ (Q) = mv ρ(Q).Таким образом, для волн де Бройля мы можем написать1 ψ ∗ (Q) p̂ψ(Q).j(Q) = ρ(Q) v(Q) = mЭта же формула должна быть по крайней мере приближённо справедлива для квазиклассических волновых функций, но выражение ψ ∗ (Q)p̂ψ(Q)в общем случае является комплексным.
Поэтому возьмём от получившегося выражения вещественную часть. Новая гипотеза такова:1 Re ψ ∗ (Q)p̂ψ(Q) = 1 (ψ ∗ (Q) p̂ψ(Q) + ψ(Q)(p̂ψ(Q))∗ ).j(Q) = m2mКак мы убедимся далее, это и есть искомая формула для гамильтонианаp̂2+ U (Q). В учебниках по квантовой механике, с учётом p̂ =вида Ĥ = 2m= −ih̄∇, её обычно записывают в следующем виде:j = ih̄ (−ψ ∗ ∇ψ + ψ∇ψ ∗ ).2m(13.42)Если параметризовать волновую функцию через плотность вероятности ρ(x) = |ψ(x)2 | и фазу ϕ(x) = arg ψ(x), тоh̄∇ϕ(x),(13.43)ψ(x) = ρ(x) eiϕ(x) ⇒ j = ρ(x) m скорость13.6. С ОХРАНЕНИЕВЕРОЯТНОСТИ И УРАВНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ393это соответствует тому, что плотность потока вероятности оказывается равh̄на плотности вероятности ρ(x), умноженной на скорость m∇ϕ(x), котораявыражается через градиент фазы ∇ϕ(x). Это позволяет придать физический смысл фазе волновой функции, записанной в координатном представлении.13.6.2.
Многочастичный случайРассмотрим гамильтониан следующего вида:2Ĥ = 1 (M −1 )nk p̂n p̂k + U (Q) = − h̄ (M −1 )nk ∇n ∇k + U (Q).22(13.44)Здесь мы ввели симметричную матрицу обратной массы (M −1 )nk . По повторяющимся индексам n и k подразумевается суммирование4∗∂(ψ ∗ ψ)∂ρĤψ∂ψ ∗Ĥψ∗ ∂ψ∗=+ψ==ψ+ψ=ψ∂t∂t∂t∂tih̄ih̄2− h̄ (M −1 )nk ∇n ∇k + U (Q) ψ ∗ +=ψ 12− ih̄2+ ψ ∗ 1 − h̄ (M −1 )nk ∇n ∇k + U (Q) ψ =2ih̄22h̄h̄1−1 nk∗∗ 1−1 nk− (M ) ∇n ∇k ψ + ψ− (M ) ∇n ∇k ψ ==ψ22− ih̄ih̄= − ih̄ (M −1 )nk (ψ∇n ∇k ψ ∗ − ψ ∗ ∇n ∇k ψ) =2!ih̄−1 nk∗∗= −∇n(M ) (ψ∇k ψ − ψ ∇k ψ) = −∇n j n .2Таким образом, (13.41) выполняется для плотности потока вероятности, компоненты которой задаются так:j n = ih̄ (M −1 )nk (ψ∇k ψ ∗ − ψ ∗ ∇k ψ) = 1 (M −1 )nk (ψ (p̂k ψ)∗ + ψ ∗ p̂k ψ).22(13.45)4 Сделаем специальное замечание для тех, кто хорошо знаком с тензорами. Матрица(M −1 )nk и обратная к ней матрица Mnk выступают в роли обратной и прямой метрики.
Компоненты импульса p̂n — компоненты ковектора, компоненты скорости v̂ k = p̂n (M −1 )nk —компоненты вектора, получающегося из импульса подниманием индекса с помощью обратнойметрики (M −1 )nk . Кинетическая энергия T̂ = 12 (M −1 )nk p̂n p̂k = 12 Mnk v̂ n v̂ k — половинаскалярного квадрата от вектора v̂, или ковектора p̂.394ГЛАВА 13nQ̂Если ввести оператор скорости как v̂ n = ddt= (M −1 )nk p̂k , то выражение упрощается, причём, как и раньше, оно может быть записано черезплотность вероятности ρ = |ψ|2 и фазу ϕ = arg ψ:j n = 1 (ψ (v̂ n ψ)∗ + ψ ∗ v̂ n ψ) = Re(ψ ∗ v̂ n ψ) = ρ (iv̂ n ϕ) .2 (13.46)скорость13.6.3. Поток вероятности в присутствии электромагнитного поля*В присутствии электромагнитного поля в гамильтониане появляютсяскалярные и векторные потенциалы, относящиеся к тем точкам, в которыхнаходятся заряженные частицы.
Эти потенциалы выступают как фиксированные функции, если мы рассматриваем внешние поля, либо как операторы, если мы рассматриваем квантованные поля.Скалярный потенциал к потенциальной энергии частицы с номером aдаёт добавку ea ϕ(ra ). Векторный потенциал изменяет выражение для кинетической энергии, заменяя импульс на более сложное выражение p̂a →e→ p̂a − ca A(ra ):Ĥ = 2 1 ep̂a − ca A(ra ) + U (Q) +ea ϕ(ra ).2maa(13.47)aТем не менее, мы можем использовать для плотности потока вероятностипрежнее выражение (13.46), если переопределим оператор скоростиv̂a = dr̂ae= m1 p̂a − ca A(ra ) .adtТакое переопределение соответствует связи между импульсом и скоростьюв классическом случае.Мы можем рассматривать модификацию гамильтониана в присутствиивекторного потенциала как удлинение производной:ep̂a → p̂a − ca A(ra ),∇a → ∇Aa = ∇a −ieaA(ra ),ch̄удлинённая производная называется также ковариантной производной.
Аналогичная модификация производной применяется в теориях калибровочныхполей.13.7. О ТМАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ К ПЛОТНОСТИ ВЕРОЯТНОСТИ **39513.6.4. Почему координатное представление?**Почему при выводе уравнения непрерывности для вероятности мыограничились координатным представлением?Во-первых, для того, чтобы писать уравнение непрерывности, надо,чтобы спектр наблюдаемых, которые выбраны как аргументы волновойфункции, был непрерывным.Во-вторых, необходимо, чтобы под действием гамильтониана выбранные переменные менялись непрерывно со временем. Для рассмотренныхвыше гамильтонианов это обеспечивается диагональностью потенциальнойэнергии, которая уходит из уравнения непрерывности вне зависимости отсвоего конкретного вида, и конкретным видом кинетической энергии.Если, например, рассматривать импульсное представление, то при выводе кинетическая энергия сократится, но станет существенной конкретнаяформа потенциала U (Q̂). В случае общего положения потенциал в импульсном представлении действует на волновую функцию свёрткойU (Q̂)ψ(p) = Ũ (p − p ) ψ(p ) dp .В общем случае эта операция нелокальна, и мы вообще не можем записатьстандартное (с локальной плотностью потока) уравнение непрерывностив импульсном пространстве.Тем не менее, если потенциал хорошо разлагается в ряд Тейлора (радиус сходимости покрывает область допустимых импульсов), то он оказывается дифференциальным оператором nN∂∂ n U U ih̄ ∂=ih̄.∂p∂Qn Q=0∂pn=0В этом случае мы можем записать уравнение непрерывности в импульсномпространстве, но плотность потока вероятности зависит от вида потенциалаи содержит производные от волновой функции вплоть до порядка N − 1.При N = ∞ выражение для плотности потока вероятности может оказатьсянелокальным (невыразимым через переменные в данной точке импульсногопространства).13.7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
