М.Г. Иванов - Как понимать квантовую физику (1129349), страница 75
Текст из файла (страница 75)
. > dim H(n) > 0,H = H(0) ⊃ H(1) ⊃ . . . ⊃ H(n) ⊃ {0}.В этой цепочке на каждом шаге размерность строго уменьшается, и для конечномерного f цепочка должна быть конечной. Последнее представлениев цепочке f(n) , действующее на пространстве H(n) , обязано быть неприводимым. Таким образом, для всякого конечномерного приводимого представления существует неприводимое подпредставление.Нас интересуют унитарные представления, сохраняющие скалярноепроизведение в пространстве H. Это позволяет сразу заключить, что ор⊥тогональное дополнение H(n)к инвариантному подпространству H(n) так-412ГЛАВА 14же инвариантно. Это позволяет продолжить процедуру: выделив из приводимого представления f неприводимое представление f(n) , можно од⊥⊥, действующее на H(n), причёмновременно определить представление f(n)⊥⊥dim H(n) < dim H. Далее f(n) либо неприводимо (процедура заканчивается), либо приводимо, тогда из него снова выделяется неприводимое представление и ортогональное дополнение меньшей размерности.В результате мы разлагаем пространство H, на котором действует конечномерное унитарное представление f , в ортогональную сумму минимальных инвариантных подпространств Hn , на каждом из которых представление f , действует как неприводимое:H = H1 ⊕ H2 ⊕ .
. . ⊕ Hk ,dim H = dim H1 + dim H2 + . . . + dim Hk ,f = f1 ⊕ f2 ⊕ . . . ⊕ fk .Здесь мы ввели понятие суммы представлений. Если ввести базис накаждом из пространств Hn (1 < n < k), то базис в пространстве Hможно ввести как объединение базисов на подпространствах. Вектор в Hможет быть представлен как набор столбцов высотой dim Hn , отвечающих подпредставлениям, поставленных друг на друга, а матрицы f (g)(g ∈ G) — как блочно-диагональные матрицы, каждый из блоков имеетразмер dim Hn × dim Hn действует на своё подпространство:⎛ ⎞⎛⎞ψ1f1 (g)ψ1⎜ ψ2 ⎟⎜ f2 (g)ψ2 ⎟⎜ ⎟⎜⎟ψ = ⎜ .
⎟ = ψ1 ⊕ ψ2 ⊕ . . . ⊕ ψk ∈ H,f (g)ψ = ⎜⎟,..⎝ .. ⎠ ⎝⎠.∈H1ψk⎛⎜⎜f (g) = ⎜⎝∈H2∈Hkfk (g)ψk⎞f1 (g) 0 0 00 f2 (g) 0 0 ⎟⎟⎟ = f1 (g) ⊕ f2 (g) ⊕ . . . ⊕ fk (g)....000⎠00 0 fk(**) С точки зрения теории множеств ортогональная сумма пространств Hn — это прямое произведение множеств, на которых заданаструктура линейного пространства.(ф) Группа симметрий некоторого гамильтониана всегда переводитсостояния с некоторой энергией в состояние с той же энергией. Такимобразом, подпространства состояний с определённой энергией являются14.4.
П РЕДСТАВЛЕНИЯГРУПП ( Л )413инвариантными подпространствами соответствующей группы симметрий.Если разбиение представления на неприводимые единственно3 , то каждое минимальное инвариантное подпространство группы симметрий обязано быть собственным подпространством гамильтониана, обладающегосоответствующей симметрией. Таким образом, если мы разложили нашепредставление группы симметрий на неприводимые и показали единственность разложения, то большая часть работы по диагонализации гамильтониана уже выполнена: уже найден базис (т. е. набор стационарных состояний, годится любой базис, полученный объединением базисов в минимальных инвариантных подпространствах), осталось только найти собственныечисла.14.4.4.
Умножение представлений (лф*)Помимо суммы представлений вводится также операция умножения.Умножению представлений соответствует тензорное умножение соответствующих линейных пространств и операторов:[f1 (g) ⊗ f2 (g)]( ψ1 ⊗ ψ2 ) = (f1 (g)ψ1 ) ⊗ (f2 (g)ψ2 ) . ∈H1∈H2∈H1∈H2При сложении представлений их размерности складываются, а приумножении — умножаются.(ф) Физически умножение представлений соответствует объединениюподсистем, на которые действуют преобразования симметрии. Например,если в центральном поле ядра имеются два электрона, то мы можем написать два представления f1 и f2 группы вращений, соответствующих вращениям первого и второго электронов соответственно. Одновременному одинаковому вращению обоих электронов будет соответствовать произведениепредставлений f1 ⊗ f2 .
Взаимодействие между электронами нарушает вращательную симметрию отдельного электрона, но сохраняет вращательнуюсимметрию системы в целом, поэтому и законы сохранения оказываются связанными с одновременным поворотом обоих электронов (сохранениесуммарного момента импульса). Как всегда, разделение системы на подсистемы не обязательно связано с пространственным разнесением компонент,например вместо орбитального движения двух электронов мы можем рассматривать орбитальное движение и спин (собственный момент импуль3 Пример неединственности разложения представления на неприводимые — представлениегруппы {−1, +1} на пространстве одномерных волновых функций L2 (R) операторами Iˆ (инверсия по координате) и 1̂.414ГЛАВА 14са) одного и того же электрона.
Например, далее (см. 15.5 «Сложение моментов*») мы составим таблицы умножения неприводимых представленийквантовой группы вращений SU(2).При изучении конкретной группы симметрий помимо составленияклассификации неприводимых представлений полезно также составитьтаблицу умножения представлений: произведение каждой пары неприводимых представлений снова разлагается в сумму неприводимых представлений.(ф) После разложения произведения представлений на неприводимыеслагаемые мы, как правило, уже не можем связать отдельное слагаемоес той или иной подсистемой. Практически всегда каждое из слагаемыхпредставлений действует на обе подсистемы одновременно.ГЛАВА 15Вращения и моментыС главе 14 «Симметрии-2» мы обсудили применение теории групп и ихпредставлений для описания симметрий в квантовой механике.
Данная глава иллюстрирует «Симметрии-2», но может читаться и независимо. Здесьразбирается конкретный важный пример симметрии относительно поворотов и соответствующих этой симметрии операторов момента импульса.15.1. Группа вращенийВ данном разделе мы выясним некоторые свойства поворотов, которые зависят от того, как повороты комбинируются друг с другом. Действиеповоротов на состояния квантовых систем здесь обсуждаться не будет. Тоесть мы обсуждаем абстрактную группу вращений, но не касаемся её представлений.15.1.1. Что такое поворот (л)Вращения собственные и несобственные (л)Поворот — преобразование координат, которое оставляет неподвижным начало координат и сохраняет расстояние в трёхмерном евклидовомпространстве:x = Rx,∀x ∈ R3 ,(x , x ) = (x )T x = xT RT Rx = xT x = (x, x).Поскольку вектор x ∈ R3 произволен, мы получаем условие на матрицу R:RT R = E.(15.1)Такие матрицы называются ортогональными.
Множество ортогональныхматриц 3×3 обозначается O(3), имеет структуру группы и называется группой вращений.416ГЛАВА 15Если взять определитель от равенства (15.1), то получится условие(det R)2 = 1⇔det R = ±1.Это условие разбивает все повороты R на два класса, в зависимости от знака определителя.
Повороты с определителем +1 называются собственнымивращениями. Множество собственных вращений обозначается SO(3), является нормальной подгруппой O(3) и называется группой собственных вращений. Собственные вращения — обычные повороты, которые можно выполнить, непрерывно поворачивая тело вокруг некоторой оси.
Несобственные вращения, для которых det R = −1, выполнить непрерывно, вращаятело, нельзя, т. к. при непрерывном вращении матрица R меняется непрерывно, непрерывно меняется и det R, а значит определитель не сможет перепрыгнуть от значения +1 = det E к значению −1. Несобственные вращения представляют собой комбинации собственных вращений и зеркальныхотражений.Топология вращений (л)Группа O(3) состоит из двух связных кусков: SO(3) — группа собственных поворотов, и P̂ SO(3) (напомним, P̂ — оператор пространственной инверсии 11.4.2 — отражение по всем трём осям, здесь пока можно считать,что P̂ = −E) — несобственные повороты (группу не образуют, т.
к. (−1)2 == +1 произведение двух несобственных поворотов всегда даёт собственный).Группы O(3) и SO(3) трёхмерны: их можно параметризовать тремянепрерывными параметрами.SO(3) параметризуется заданием вектора вдоль оси поворота (направление вектора выбираем по правилу правого винта), длина которого равнауглу поворота. Углы поворота можно брать в диапазоне [0, π].
При этомповорот на π вокруг вектора n и вокруг вектора −n — это одинаковыеповороты, поэтому их надо отождествить.Таким образом, мы параметризовали все собственные вращения точками трёхмерного шара радиуса π, при этом диаметральные точки на поверхности сферы описывают одинаковые повороты и должны быть попарноотождествлены.Мы получили, что группа SO(3) имеет топологию проективного пространства — топологию трёхмерного шара, у которого склеены (отождествлены) диаметральные точки на границе.Топологически группа O(3) состоит из двух несвязанных кусков, каждый из которых устроен как SO(3).15.1. Г РУППАВРАЩЕНИЙ417Генераторы вращений (л)Собственные вращения могут быть представлены как матричные экспоненты от генераторов вращений. Поскольку пространство поворотовтрёхмерно, у нас есть три линейно независимых генератора, например, генераторы, отвечающие вращениям вокруг осей координат.Поворот на угол ϕ вокруг оси x может быть записан как действиематрицы на столбец:⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛x100xx = ⎝ y ⎠ = ⎝ 0 cos ϕ sin ϕ ⎠ ⎝ y ⎠ = Rx (ϕ) x = eiϕ jx x.0 − sin ϕ cos ϕzz Rx (ϕ)xh̄jx — генератор поворота вокруг оси x.
Как уже упоминалось ранее (см.11.3.2), поворот (сдвиг по обобщённой угловой координате) порождаетсяобобщённым импульсом по этой координате. Для угла ϕ это момент импульса в проекции на ось x. Таким образом, jx — проекция момента импульса, делённая на h̄ (измеренная в единицах h̄).Обратите внимание! Мы сейчас обсуждаем групповые свойства вращений, но не их представления! То есть мы обсуждаем, как повороты комбинируются друг с другом, но пока не интересуемся тем, как они действуютна волновые функции! Представления группы вращений мы обсудим позже.Матрицу ijx мы можем определить, продифференцировав Rx (ϕ) поуглу ϕ в нуле⎞⎛0 0 0dRx ijx == ⎝ 0 0 1 ⎠.dϕ ϕ=00 −1 0Мы можем легко проверить, что экспонента от ijx воспроизводит исходнуюматрицу поворота, если учтём, чтоjx3 = jx⇒∀n = 0, 1, 2, .
. .jx2n+2 = jx2 = jx0 = E,jx2n+1 = jx .(15.2)Это свойство относится только к представлению вращений матрицами 3×3!(См. также 15.4 «Спин 1».)Аналогично для других генераторов (проекций момента импульса)⎞⎞⎛⎛0 0 −10 10ijy = ⎝ 0 0 0 ⎠, ijz = ⎝ −1 0 0 ⎠.10 00 00418ГЛАВА 15Запишем теперь собственный поворот общего вида Rn (ϕ) — поворотвокруг оси, задаваемой единичным вектором n на угол ϕ:Rn (ϕ) = eiϕjn .Здесь jn = (j, n) = nx jx + ny jy + nz jz , где j — вектор с компонентами (jx , jy , jz ).Мы можем вывести коммутационные соотношения для компонентмомента импульса, просто посчитав коммутаторы соответствующих матриц 3 × 3:[jx , jy ] = ijz и циклические перестановки x, y, z.eαβγ(15.3)[jα , jβ ] = ieαβγ jγ , α, β, γ = 1, 2, 3.⎧⎨ 0, среди α, β, γ есть совпадающая пара индексов,= +1, (α, β, γ) — чётная перестановка (1, 2, 3),⎩ −1, (α, β, γ) — нечётная перестановка (1, 2, 3).По повторяющимся индексам в формуле (15.3) подразумевается суммирование, впрочем, в сумме здесь (при заданных α, β) не больше одного ненулевого члена.Найденные коммутационные соотношения не зависят от представления группы вращений, а характеризуют группу как таковую.
Символ eαβγзадаёт структурные константы группы SO(3).Используя коммутационные соотношения, легко убедиться, что оператор квадрата момента импульса ĵ 2 = ĵx2 + ĵy2 + ĵz2 коммутирует со всемигенераторами:[ĵ 2 , ĵα ] = 0.(15.4)В теории представлений такой оператор называется оператором Казимираи используется для нумерации представлений (для разделения переменных,путём разбиения пространства состояний на инвариантные относительнодействия ĵα подпространства).15.1.2.
Квантовые вращения**Данный раздел призван объяснить, почему при дальнейшем изучениивращений квантовых систем мы не будем беспокоиться о том, чтобы этивращения описывались группой собственных вращений SO(3), а будем следить лишь за тем, чтобы генераторы вращений вели себя как компонентымомента импульса (чтобы алгебра Ли совпадала с алгеброй so(3)).15.1. Г РУППАВРАЩЕНИЙ419До сих пор мы рассматривали вращение как математическое преобразование, связывающее начальное и конечное состояния системы. Былоупомянуто, что собственные повороты, в отличие от несобственных (содержащих нечётное число отражений), можно осуществить непрерывно,начиная с тождественного преобразования, т. е. это не просто преобразования описания системы, а преобразования, которые можно осуществить наэксперименте.Описывая последовательность, в которой мы совершаем собственноевращение на эксперименте, как непрерывное преобразование, нам мало задать конечное преобразование, а надо задать непрерывную последовательность всех промежуточных поворотов от тождественного преобразованиядо конечного поворота.Представим себе, что у нас имеется ряд одинаковых наблюдателей,каждый из которых повёрнут относительно предыдущего на малый угол(в пределе — бесконечномалый), и поворот осуществляется путём перехода от точки зрения одного наблюдателя к точке зрения следующего.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
