М.Г. Иванов - Как понимать квантовую физику (1129349), страница 76
Текст из файла (страница 76)
(Мыподразумеваем, что эти наблюдатели ничего не измеряют, а лишь переписывают со своей точки зрения состояние системы.)Таким образом, экспериментальная реализация вращения задаётсяне одной точкой пространства собственных поворотов (группы SO(3)),а непрерывной кривой R(l) от тождественного преобразования E, до конечного поворота Rn (ϕ):R(·) : [0, 1] → SO(3),R(0) = E,R(1) = Rn (ϕ).И если мы задаём вопрос о преобразовании состояния системы приреальном, проведённом экспериментально, повороте, то это преобразование должно непрерывно зависеть не только от конечного поворота Rn (ϕ),но и от всей последовательности промежуточных поворотов R(l). Такимобразом, мы имеем новый набор преобразований, связанных уже не с вращениями, а с траекториями R(l).Тем не менее, обращаясь к нашей картине ряда наблюдателей, мы можем утверждать, что физически значимые выводы последнего наблюдателя не должны зависеть от ориентации промежуточных наблюдателей.
Этоозначает, что каков бы не был ряд промежуточных наблюдателей, преобразование от первого наблюдателя к последнему может меняться не болеечем на фазовый множитель.Примем следующее упрощающее предположение: пусть конечное преобразование не меняется при непрерывных деформациях с фиксированными концами траектории R(l). Другое предположение, приводящее к тому жерезультату: пусть группа преобразований квантовых состояний, связанных420ГЛАВА 15с путями в пространстве вращений R(l) локально (когда траектория R(l)не выходит из малой окрестности единицы E) устроена так же, как группаSO(3), т. е. алгебра генераторов (алгебра Ли) новой группы должна совпадать с алгеброй Ли группы SO(3).Итак, в окрестности единицы преобразования однозначно определяются конечной точкой траектории R(l).
Однако глобально одному элементу SO(3) может соответствовать несколько разных преобразований волновых функций. Число таких преобразований для данного элемента SO(3) неболее числа различных способов (с точностью до непрерывных деформаций), которыми можно провести путь до данного элемента из единицы.Если два пути R(l) с фиксированным концом деформируемы другв друга, то, пройдя из единицы до конечной точки по первому пути, а вернувшись по второму, мы получим замкнутый путь (петлю) из E в E, который может быть непрерывно стянут в точку. Если две траектории с фиксированным концом не деформируемы друг в друга, то полученная из нихпетля не может быть стянута в точку.
Таким образом, изучение различныхпутей R(l) ведущих, в данную точку, сводится к изучению петель, из Eв E, проходящих через данную точку R(1).Однако на связном пространстве (а SO(3) связно) при изучении стягиваемости петель в точку нам не важно в какую точку петля стягиваетсяи через какую точку проходит начальная петля. Мы можем любую петлюс помощью непрерывной деформации пропустить через любую точку, если,прежде чем проходить саму петлю, сходим в эту точку и вернёмся обратнопо тому же пути (эта добавка, очевидно, стягиваема в точку).
Таким образом, нам достаточно исследовать непрерывные замкнутые петли, проходящие через E (или любую другую точку), не накладывая дополнительныхусловий.Классы эквивалентности таких петель (эквивалентны петли, которыенепрерывно деформируемы друг в друга) образуют фундаментальную группу пространства. Единичная петля — петля, стягиваемая в точку, обратная петля — прохождение петли в обратном направлении, произведениепетель — петля, образованная последовательным проходом сперва первой,а потом второй петли.Для пространства SO(3) (проективного пространства) фундаментальная группа состоит из двух элементов: Z2 = {+1, −1}.
Элементу −1 этойгруппы соответствует петля, которая нечётное число раз пересекает поверхность поворота на угол π (см. 15.1.1 «Топология вращений (л)»). Другимисловами, поворот на 2π не стягивается в точку, а потому может давать преобразование состояний, отличное от тождественного, а поворот на 4π в точку стягивается и должен соответствовать тождественному преобразованию.15.2. П РЕДСТАВЛЕНИЯВРАЩЕНИЙ421Повороту на 2π может соответствовать умножение на фазовый множитель P .
Поворот на 4π получается двухкратным повторением поворотана 2π, т. е. соответствовать умножению на P 2 , но поворот на 4π долженбыть тождественным преобразованием, т. к. соответствующая петля стягивается в точку. ПоэтомуP 2 = 1,P = ±1.Выбор P = +1 соответствует исходной группе SO(3). Выбор P = −1соответствует квантовой группе поворотов, различающей повороты на 2πи 4π. Как мы увидим далее, при изучении спина 12 , квантовые поворотыописываются группой SU(2).15.2. Представления вращенийТеперь, получив некоторое представление о том, что такое «поворотвообще», т. е. обсудив группу вращений как абстрактную группу, посмотрим как вращения действуют на те или иные квантовые системы, т.
е. обсудим конкретные представления группы вращений.15.2.1. Орбитальные моментыРассмотрим момент импульса, связанный с движением точечной частицы. В классической механике момент импульса частицы задаётся как⎛⎞ypz − zpyL = [r × p] = ⎝ zpx − xpz ⎠.zpy − ypzПоскольку во всех компонентах L все перемножаемые координаты и импульсы относятся к разным осям, то проблем с упорядочением множителейне возникает, и квантовые операторы проекций момента импульса получаются из классических формул приписыванием шляпок.
Как и раньше, приобсуждении группы поворотов и её генераторов, сразу обезразмерим квантовые моменты импульса, поделив их на h̄ (по повторяющимся индексамснова подразумевается суммирование):l̂α = 1 eαβγ x̂β p̂γ = −i eαβγ xβ ∂γ ,h̄l̂x = 1 (ŷ p̂z − ẑ p̂y ) = −i(y∂z − z∂y ),h̄l̂y = 1 (ẑ p̂x − x̂p̂z ) = −i(z∂x − x∂z ),h̄422ГЛАВА 15ˆlz = 1 (x̂p̂y − ŷ p̂x ) = −i(x∂y − y∂x ).h̄Здесь мы сразу переписали операторы l̂α как дифференциальные операторыв координатном представлении, ∂α = ∂ α .∂xПроверим коммутационные соотношения для компонент орбитальногомомента импульса ˆlα :[ˆlx , l̂y ] = 12 [ŷ p̂z − ẑ p̂y , ẑ p̂x − x̂p̂z ] =h̄= 12 ([ŷ p̂z , ẑ p̂x ] − [ŷ p̂z , x̂p̂z ] − [ẑ p̂y , ẑ p̂x ] +[ẑ p̂y , x̂p̂z ]) = h̄00= 12 (ŷ [p̂z , ẑ] p̂x + x̂ [ẑ, p̂z ] p̂y ) = i 1 (x̂p̂y − ŷ p̂x ) = iˆlz .h̄ h̄(−ih̄)ih̄С помощью циклических перестановок x, y, z получаем коммутационныесоотношения, совпадающие с (15.3):[ˆlα , l̂β ] = i eαβγ ˆlγ .Сферические координатыОператоры ˆlα являются операторами производных вдоль векторныхполей1lx = −i(0, −z, y),ly = −i(z, 0, −x),lz = −i(−y, x, 0).Эти векторные поля с точностью до множителя −i представляют собой поля скоростей при вращении вокруг соответствующих осей координат с еди1 В дифференциальной геометрии принято считать, что вектор и производная вдоль этого вектора — один и тот же объект, т.
к. между ними естественным образом устанавливаетсявзаимно-однозначное соответствие: ∂v = v a ∂a . При этом операторы частной производной∂вдоль координат ∂a = ∂xa выступают в роли базисных векторов (координатный базис). Такой базис в общем случае не является ни ортогональным, ни нормированным. Компонентывектора, разложенного по координатному базису, при замене координат преобразуются по тому же закону, что и бесконечномалый радиус-вектор с компонентами dxa , соединяющий двебесконечноблизкие точки.15.2.
П РЕДСТАВЛЕНИЯВРАЩЕНИЙ423ничной угловой скоростью. Экспоненты от операторов ˆlα будут как разсоответствовать движению вдоль этих векторных полей ilα .При вращении вокруг координатных осей расстояние от точки до начала координат не меняется, поэтому может быть удобно выписать поля lαи операторы ˆlα в сферических координатах. Следует ожидать, что в сферических координатах орбитальные моменты могут быть выражены с использованием только угловых координат, без использования координаты r.Сферические координаты — это расстояние до начала координат r, широта θ (отсчитывается не от плоскости экватора, как в географии, а отоси z), долгота ϕ (отсчитывается от плоскости xz, направление отсчётасвязано с направлением оси z правым винтом):x = r sin θ cos ϕ,y = r sin θ sin ϕ,z = r cos θ.Базисные векторы в сферических координатах можно легко представить, определив как смещается точка при бесконечномалом изменении соответствующей координаты.
Вектор смещения при изменении координаты xa на величину dxa будет равен ea · dxa (индексы подчёркнуты, чтобыпоказать, что суммы по повторяющемуся индексу a в данной формуле нет).er = (sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ),eθ = (r cos θ cos ϕ, r cos θ sin ϕ, −r sin θ),eϕ = (−r sin θ sin ϕ, r sin θ cos ϕ, 0),|er |2 = 1,|eθ |2 = r 2 ,|eϕ |2 = r 2 sin2 θ.Матрица скалярных произведений векторов ea даёт метрический тензор,однако его проще определить через элемент длины, выраженный в новыхкоординатах:⎛⎞1 00⎠.
(15.5)0dl2 = dr 2 + r 2 (dθ 2 + sin2 θ dϕ2 ) ⇔ gab = ⎝ 0 r 20 0 r 2 sin2 θКомпоненты полей lα по векторам нового базиса определяютсякак(lα ,ea )e2a :ˆlx = −i (− sin ϕ ∂θ − ctg θ cos ϕ ∂ϕ ),ˆly = −i (cos ϕ ∂θ − ctg θ sin ϕ ∂ϕ ),ˆlz = −i ∂ϕ .424ГЛАВА 15Как и следовало ожидать, h̄ˆlz имеет стандартный вид импульса (генератора сдвига) по координате ϕ (долготе).Оператор ˆl2 в сферических координатах с точностью до знака совпадает с оператором Бельтрами – Лапласа (обобщением лапласиана) на единичной сфере:$%2∂1∂∂1ˆl2 = −sin θ= −θϕ .+sin θ ∂θ∂θsin2 θ ∂ϕ215.2.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
