М.Г. Иванов - Как понимать квантовую физику (1129349), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Формулу мы записалидля вращения оператора «вместе» с состоянием (для вращения «вместо»достаточно поменять знаки в показателях экспонент, см. 11.2 «Преобразования операторов “вместе” и “вместо”»).СкалярыСразу можно сделать вывод, что любой скалярный оператор (оператор,не меняющийся при поворотах) коммутирует со всеми компонентами ĵμ :[ĵμ , Â] = 0⇔Â — скаляр.В частности скаляром оказывается оператор Казимира ĵ 2 .ВекторыДля того, чтобы записать преобразование вектора при вращении, намнет необходимости знать, что это за вектор.
Само слово «вектор» подразумевает вполне определённые трансформационные свойства. (Так что сейчассамое сложное — не запутаться в знаках, определяя что относительно чеговращается.) Нам достаточно записать бесконечномалый поворот вокруг eλна угол α:Âμ → Âμ − α eλμν Âν + O(α2 ).Мы рассматриваем поворот «вместе», так что он осуществляется в противоположном направлении, по сравнению с тем, как поворачиваются аргументы волновой функции в разделе 15.1.1 «Генераторы вращений (л)»2i[ĵλ , Âμ ] =dÂμ= −eλμν Âν .dα2 Для проверки знака, с учётом того, что все векторы вращаются одинаково, можно, например, проверить коммутатор [x̂1 , l̂2 ] = ix̂3 .15.2.
П РЕДСТАВЛЕНИЯВРАЩЕНИЙ431Таким образом, компонента произвольного векторного оператора коммутирует с компонентой момента импульса по следующему закону:[ĵλ , Âμ ] = [Âλ , ĵμ ] = i eλμν Âν .(15.11)Эта формула обобщает коммутационное соотношение (15.3), которое воспроизводится, если подставить вместо Âλ компоненту момента импульса ĵλ . Это означает, что компоненты момента импульса, как и в классической механике, образуют вектор.Из формулы (15.11) следуют такие полезные коммутаторы:[Âz , ĵ± ] = [ĵz , ± ] = ±Â± ,(15.12)[Â+ , ĵ− ] = [ĵ+ , Â− ] = 2Âz .(15.13)Обратите внимание, что коммутатор [ĵz , ± ] = ±Â± (15.12) означает,что под действием оператора ± проекция момента импульса на ось zизменяется на ±1 (сравни с (15.10)), так же как под действием ĵ± .
Однако[Âλ , ĵ 2 ] = i eλμν (ĵμ Âν + Âν ĵμ ),[± , ĵ 2 ] = ±(Âz ĵ± + ĵ± Âz − ± ĵz − ĵz ± ).Если ± не коммутируют с ĵ 2 , то они не только сдвигают m на ±1, нотакже «портят» квантовое число j. Также могут «портится» другие квантовые числа, например состояния с определённым орбитальным моментом(заданы собственные числа для ˆl2 и ˆlz ) под действием l̂± меняют толькоугловую зависимость при фиксированном ˆl2 , а под действием x̂± изменится не только ˆlz , но также состояние перестанет быть собственным для ˆl2 ,и изменится зависимость волновой функции от радиальной переменной.Вместо операторов суммарного момента импульса ĵα мы можем братьоператоры момента импульса подсистемы при условии, что данный векторвращается при поворотах этой подсистемы, т. е.
что операторы Âα действуют на переменные, описывающие данную подсистему, и только на них, например орбитальный момент поворачивает импульс и мы имеем [p̂α , l̂β ] == [ˆlα , p̂β ] = ieαβγ p̂γ . Если же оператор действует на переменные другойподсистемы, то он коммутирует с моментом импульса данной подсистемы, например спин не поворачивает орбитальный момент и координаты[ŝα , l̂β ] = [ŝα , x̂β ] = 0.432ГЛАВА 1515.2.7. Лестничные операторы для осциллятора â± и моментаимпульса ĵ± **Очевидно сходство между лестничными операторами для осциллятора â± и операторами ĵ± для момента импульса. Это сходство не случайно,и мы можем построить операторы момента импульса из осцилляторныхоператоров.Рис. 15.1.
Связь чисел заполнения n1 и n2 с j и m.Введём гильбертово пространство H как тензорное произведение двухпространств H1 и H2 , на которых действуют два комплекта осцилляторныхоператоровH = H1 ⊗ H2 ,±â±1 = â ⊗ 1̂,±â±2 = 1̂ ⊗ â ,N̂1 = N̂ ⊗ 1̂ = ↠â ⊗ 1̂,N̂2 = 1̂ ⊗ N̂ = 1̂ ⊗ ↠â.Базис в пространстве H естественно нумеровать двумя числами заполнения:|n1 ⊗ |n2 ,n1 , n2 ∈ {0, 1, 2, 3, . .
. }.15.2. П РЕДСТАВЛЕНИЯВРАЩЕНИЙ4332Перенумеруем базисные векторы новыми квантовыми числами j = n1 +n2n1 −n2и m = 2 (см. рис. 15.1):9|j, m = |j+m⊗|j−m, j ∈ 0, 1 , 1, 3 , 2, . . . , m ∈ {+j, +j − 1, . . . , −j} .22Новая нумерация базисных векторов сразу подсказывает, как определить операторы момента импульса:N̂1 − N̂2,2ĵ+ = ↠⊗ â,ĵz =ĵ− = â ⊗ ↠.Мы можем определить оператор ĵ с собственными числами j:N̂1 + N̂2,2ĵ 2 = ĵ(ĵ + 1).ĵ =Легко проверить, как действуют операторымомента на базисные сос: n + n2 n1 − n2= |j, m:,тояния |n1 ⊗ |n2 = 122n1 − n2|n1 ⊗ |n2 = m |n1 ⊗ |n2 ,2ĵ+ |n1 ⊗ |n2 = ↠⊗ â |n1 ⊗ |n2 = (n1 + 1)n2 |n1 + 1 ⊗ |n2 − 1 == (j − m)(j + m + 1) |j, m + 1,ĵ− |n1 ⊗ |n2 = â ⊗ ↠|n1 ⊗ |n2 = n1 (n2 + 1) |n1 − 1 ⊗ |n2 + 1 == (j + m)(j − m + 1) |j, m − 1.ĵz |n1 ⊗ |n2 =Мы представили гильбертово пространство как прямую сумму (2j + 1)мерных подпространств для всех возможных целых и полуцелых j:3H=C2j+1 = C1 ⊕ C2 ⊕ C3 ⊕ C4 ⊕ · · · .31j=0, ,1, ,2, .
. .22Каждое подпространство соответствует определённому значению j. Наязыке теории представлений каждое подпространство соответствует опре-434ГЛАВА 15делённому неприводимому представлению группы квантовых вращенийSU(2). Тем самым мы получили каждое неприводимое представление группы квантовых вращений SU(2) по одному разу.15.3. Спин12Волновая функция частицы со спином 12 может быть представлена какфункция ψ(r, σ) от координат r ∈ R3 и спиновой переменной (проекцияспина на ось z) σ ∈ {− 12 , + 12 }.
При этом удобно считать, что σ нумерует строки столбца из двух элементов. Можно также считать, что аргументу волновой функции по прежнему один — r, зато значением функции в точке считается не комплексное число, а комплексный столбец из двух строк:⎛⎞ψ(r, + 1 )2 ⎠ = ψ(r).ψ(r, ·) = ⎝ψ(r, − 1 )2Мы можем считать, что спиновая переменная — это такая координата, описывающая дополнительную дискретную спиновую степень свободы.Более того, часто удобно считать, что спин и движение частицы как целого — отдельные невзаимодействующие (или слабо взаимодействующие)подсистемы.
Отсутствие взаимодействия координат и спина — это отсутствие в гамильтониане слагаемых, которые действуют одновременно наспин и координаты.В пределе отсутствия взаимодействия, как и для любых других невзаимодействующих подсистем, если волновая функция факторизуется (разлагается на множители, зависящие от отдельных координат) в начальный момент времени, то она остаётся факторизованной и во все последующиемоменты времени, причём множители эволюционируют независимо.То есть если гамильтониан представим в видеĤ = Ĥr ⊗ 1̂s + 1̂r ⊗ Ĥs ,где операторы с индексом r действуют только на координаты частицы,а с индексом s — только на спин, то волновая функция может разлагаться на слагаемые видаψ(r, σ) = φ(r) · χ(σ),ih̄∂φ= Ĥr φ,∂tih̄∂χ= Ĥs χ,∂tφ(r) называют координатной волновой функцией, а χ(σ) — спиновой волновой функцией.15.3.
С ПИН12435В соответствии с процедурой, описанной выше (15.2.4 «Собственныевекторы операторов ĵz , ĵ 2 »), мы можем выписать операторы компонент дляспина 12 :0100ŝ+ =, ŝ− = ŝ+ † =,0010ŝ+ + ŝ− 1 0 1ŝ+ + ŝ−0 −i+1 0, ŝy =, ŝz = 1.ŝx === 10 −122 102 i 022iБазисные состояния с определённым значением σ (проекции на ось z)принято обозначать по-разному:# 1 11 ,+ 2 2 = 0 = | ↑ = |1,# 1 10 ,− 2 2 = 1 = | ↓ = |0.Последний вариант |0 и |1 обычно применяется в квантовой теории информации, когда спин используется в качестве квантового бита (кубита).15.3.1.
Матрицы ПаулиПространство эрмитовых матриц 2 × 2 четырёхмерно: два диагональных элемента вещественны, два комплексных элемента вне главной диагонали комплексно сопряжены друг другу. В качестве базиса в пространствеэрмитовых матриц 2 × 2 можно выбрать, например, три матрицы ŝα , дляспина 12 и единичную матрицу E.Однако матрицы ŝα имеют собственные числа ± 12 , что не слишкомудобно: удобнее чтобы собственные числа равнялись по модуле единице.Поэтому вместо спиновых матриц ŝα вводятся σ-матрицы Паули, отличающиеся от спиновых матриц умножением на 2. Иногда в качестве σ-матрицыномер 0 рассматривают единичную матрицу E:σ = (σx , σy , σz ),σα = 2ŝα , α ∈ {1, 2, 3},σ0 = E,10010 −i+1 0, σx =, σy =, σz =.σ0 =0110i 00 −1Матрицы Паули могут применяться не только для спинов 12 , но и длялюбых двухуровневых (с двумерным пространством состояний) систем,т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
