М.Г. Иванов - Как понимать квантовую физику (1129349), страница 81
Текст из файла (страница 81)
к. спин 12 ), то волновая функция должна быть нечётной (менять знак)относительно перестановки двух частиц:ψ(r1 , σ1 ; r2 , σ2 ) = −ψ(r2 , σ2 ; r1 , σ1 ).Мы можем отделить спиновую волновую функцию от координатной, есливолновая функция факторизуется:ψ(r1 , σ1 ; r2 , σ2 ) = φ(r1 , r2 ) · χ(σ1 , σ2 ).Условие нечётности принимает видφ(r1 , r2 ) · χ(σ1 , σ2 ) = −φ(r2 , r1 ) · χ(σ2 , σ1 ).Таким образом, еслиχ(σ1 , σ2 ) = ±χ(σ2 , σ1 )(«+» для спина 1, «−» для спина 0), тоφ(r1 , r2 ) = ∓φ(r2 , r1 ).То есть в данном случае чётность координатной части волновой функции двух тождественных частиц соответствует чётности суммарного спина(«+» для спина 0, «−» для спина 1). Подробнее этот вопрос разобран в следующем разделе15.5.2.
Чётность при сложении двух одинаковых спиновПусть складываются два одинаковых момента импульса s1 = s2 = s.Введём оператор перестановки спинов P̂s :P̂s |m1 |m2 = |m2 |m1 .450ГЛАВА 15Оператор обратим и сохраняет скалярное произведение, т. е. он унитаренP̂s† = P̂s−1 . Кроме того, оператор совпадает со своим обратным P̂s = P̂s−1 ,следовательно, он одновременно эрмитов. Унитарный эрмитов оператор может иметь собственные числа только ±1.Состояние с максимальной проекцией момента оказывается чётным,относительно их перестановки:|2s, 2s = |s|s.Оператор Ŝ− = ŝ1− + ŝ2− переводит чётные состояния снова в чётные,а нечётные — в нечётные, т.
е. Ŝ− сохраняет чётность:[Ŝ− , P̂s ] = 0.Таким образом, все состояния с максимальным спином|2s, M ,M = −s, . . . , +sоказываются чётными.Состояние с суммарным спином 2s − 1 строится как ортогональноек состоянию|s − 1|s + |s|s − 1|2s, 2s − 1 =,√2т. е.|s − 1|s − |s|s − 1|2s − 1, 2s − 1 =.√2Таким образом, состояние |2s − 1, 2s − 1 оказалось нечётным. ПосколькуŜ− сохраняет чётность, все состояния|2s − 1, M ,M = −s + 1, .
. . , +s − 1,оказываются нечётными.Вообще, из того, что Ŝ− сохраняет чётность, следует, что все состояния с одинаковым суммарным спином имеют одинаковую чётность (есличётность определена).Покажем по индукции, что и далее чётные и нечётные состояния будутчередоваться по мере уменьшения суммарного спина.Предположим, что для наибольших K значений спина (2s до 2s − K ++ 1) чётность чередуется (для K = 1 мы это уже доказали)P̂s |2s − k, M = (−1)k |2s − k, M ,k = 0, . . .
, K − 1.15.5. С ЛОЖЕНИЕМОМЕНТОВ *451Обозначим HK (K = 0, . . . , 2s) — (K + 1)-мерное подпространствосостояний, для которых M = 2s − K.Состояние |2s − K, 2s − K находится из условия ортогональностисостояниям |S, 2s − K (S = 2s, . . . , 0).1. Покажем, что состояние |2s − K, 2s − K должно иметь определённую чётность:S, 2s − K|P̂s |2s − K, 2s − K = ±S, 2s − K|2s − K, 2s − K = 0,S = 2s, . . . , 2s − K + 1.Состояние P̂s |2s−K, 2s−K ортогонально K базисным векторам из K +1,таким образом оно обязано быть пропорционально оставшемуся базисномувектору |2s − K, 2s − K, т. е. оно имеет определённую чётность.+2. Вычислим размерность подпространства чётных состояний HK⊂⊂ HK . В подпространстве HK имеется K + 1 базисное независимое состояние вида |m1 |m2 (m1 + m2 = M = 2s − K).
Линейно независимыесостояния вида|m1 |m2 + P̂s |m1 |m2 = |m1 |m2 + |m2 |m1 образуют базис в подпространстве чётных состояний. Состояния, отличающиеся перестановкой m1 и m2 , попарно совпадают, так что!K++ 1,dim HK =2где квадратные скобки обозначают взятие целой части.−Для подпространства нечётных состояний HK⊂ HK!−dim HK=K− K .23. Покажем, чтосостояния |2s − K,)2s −*K будет (−1)K .) чётность*У нас уже имеется K−1+1чётныхи K − 1 − K−1нечётных состо22яний, полученных с помощью понижающего оператора Ŝ− из состояний±±HK−1.
Чтобы получить правильные размерности пространств HK, нам надо, чтобы состояние |2s − K, 2s − K имело подходящую чётность. Если Kнечётно, то нам надо добавить одно нечётное состояние. Если K чётно, тонадо добавить одно чётное состояние.С учётом того, что оператор Ŝ− сохраняет чётность, получаем, чточётность состояния |2s − K, M равна (−1)K .452ГЛАВА 15Тождественные частицыЕсли рассмотренные выше частицы со спином s являются тождественными, тоψ(r1 , σ1 ; r2 , σ2 ) = (−1)2s ψ(r2 , σ2 ; r1 , σ1 ).Мы можем отделить спиновую функцию от координатной, если волноваяфункция факторизуется:ψ(r1 , σ1 ; r2 , σ2 ) = φ(r1 , r2 ) · χ(σ1 , σ2 ).Мы только что определили чётность спиновой волновой функции, присложении двух спинов s:χ(σ1 , σ2 ) = (−1)K χ(σ2 , σ1 ) = (−1)2s−S χ(σ2 , σ1 ).Таким образом, чётность координатной волновой функции определяетсясуммарным спином системы из двух тождественных частиц:φ(r1 , r2 ) = (−1)S φ(r2 , r1 ).15.5.3.
Сложение моментов j +12При сложении моментов j и 12 суммарный момент пробегает два значенияJ = j ± 1,211|j + 2 , j + 2 = |j|+.Действуя на это равенство понижающим оператором Jˆ− = ĵ− + ŝ− , получаем2j + 1|j + 12 , j − 12 = 2j|j − 1|+ + |j|−,√2j|j − 1|+ + |j|−11|j + 2 , j − 2 =.√2j + 1Из ортогональности находим|j −12, j−12√|j − 1|+ − 2j|j|−.=√2j + 1Остальные состояния находятся действием оператора Jˆ− N на состояния|j + 12 , j + 12 и |j − 12 , j − 12 . Поскольку для спина 12 выполняется условиеŝ− 2 = 0, от бинома Ньютона остаются только два первых члена:Jˆ− N = (ĵ− + ŝ− )N = ĵ− N + N ĵ− N −1 ŝ− = (ĵ− + N ŝ− )ĵ− N −1 ,15.5. С ЛОЖЕНИЕC|j + 12 , j +12МОМЕНТОВ *453− N = Jˆ− N |j + 12 , j + 12 = (ĵ− + N ŝ− )ĵ− N −1 |j|+ == C (ĵ− + N ŝ− )|j − N + 1|+= C ( (2j − N + 1)N |j − N |+ + N |j − N + 1|−).Нормируя на единицу (с учётом того, что C, C > 0), получаем√√2j − N + 1|j − N |+ + N |j − N + 1|−11|j + 2 , j + 2 − N =.√ 2j + 1MАналогично (либо из ортогональности) получаем√√N |j − N |+ − 2j − N + 1|j − N + 1|−11|j − 2 , j + 2 − N =.√ 2j + 1M15.5.4.
Сложение моментов 1 + 1Суммарный момент пробегает значения 2, 1, 0. Состояния для моментов 2 и 0 чётные, а для момента 1 нечётные.Процедура получения новых базисных состояний полностью стандартная. Выкладки облегчаются тем, что для момента 1 ненулевоймножитель√при действии оператором ĵ− всегда одинаков: ĵ− |m = 2|m − 1 при m == 1, 0.Сделав эти замечания, сразу (выкладки вполне можно проделать в уме)выпишем новый базис:|2, 2 = |1|1,|2, 1 =|0|1 + |1|0,√2|2, 0 =| − 1|1 + 2|0|0 + |1| − 1,√6| − 1|0 + |0| − 1,√2|2, −2 = | − 1| − 1,|2, −1 =|1, 1 =|0|1 − |1|0,√2454ГЛАВА 15|1, 0 =| − 1|1 − |1| − 1,√2|1, −1 =| − 1|0 − |0| − 1,√2|0, 0 =| − 1|1 − |0|0 + |1| − 1.√3ГЛАВА 16Задача двух телКак и в классической теоретической механике, в квантовой механике ставится и решается задача двух тел.
В этой задаче изучается движение двух точечных частиц, взаимодействие которых задаётся потенциаломU (|r1 −r2 |), зависящим только от расстояний между частицами |r1 −r2 |. Соответствующий квантовый гамильтониан совпадает с классическим с точностью до шляпок:Ĥ =p̂21p̂2+ 1 + U (|r1 − r2 |).2m12m1(16.1)В случае электрона и атомного ядра, взаимодействующих по закону2Кулона U (|r1 − r2 |) = − |r1Ze−r2 | , мы получаем задачу об атоме водородаили водородоподобном ионе (в нерелятивистском пределе, без учёта спиновчастиц и их размеров).Как мы увидим, задача двух тел в квантовой механике и в классической решается во многом аналогичными методами, поскольку обе задачиимеют практически одинаковые симметрии, а симметриям соответствуютзаконы сохранения, которые позволяют проводить разделение переменныхкак в классическом, так и в квантовом случае.16.1.
Законы сохраненияПеречислим законы сохранения, которые могут возникать в задаче двухтел.• Закон сохранения энергии выполняется, поскольку гамильтониан независит от времени.• Закон сохранения суммарного импульса выполняется, поскольку гамильтониан не меняется при сдвиге системы как целого.• Закон сохранения суммарного орбитального момента импульса выполняется, поскольку гамильтониан не меняется при повороте системыкак целого.456ГЛАВА 16• Закон сохранения пространственной чётности выполняется, посколькугамильтониан не меняется при зеркальном отражении.2|• Для специальных видов потенциала (U (|r1 − r2 |) = k|r1 −r— гармо22нический осциллятор, U (|r1 − r2 |) = − |r1Ze—кулоновскийпотен−r2 |циал) могут возникать дополнительные симметрии, законы сохраненияи соответствующее им вырождение уровней энергии (часто называемое «случайным»)1 .• Если частицы имеют спин, то при гамильтониане (16.1), который недействует на какие-либо спины, спин каждой частицы сохраняется.В этом случае спин влияет только на кратности вырождения уровней,а для тождественных частиц см.
также следующий пункт.• Для двух тождественных частиц система должна быть симметричнойотносительно их перестановки. При этом соответствующая чётностьдолжна быть +1 (волновая функция с учётом спинов при перестановкечастиц не меняется) для бозонов и −1 (волновая функция с учётомспинов при перестановке частиц меняет знак) для фермионов.216.2. Сведение к задаче одного телаКак и в классической механике, мы можем разделить переменные, расписав энергию (гамильтониан) через движение центра масс и относительное движение частиц. Соответствующие выкладки с точностью до шляпоктакие же, как в классике.Суммарный импульс и суммарная масса системы, радиус-вектор центра масс:P̂ = p̂1 + p̂2 ,M = m1 + m 2 ,R=r 1 m1 + r2 m2.m1 + m2Относительный импульс и приведённая масса системы, относительный радиус-вектор:v1v2 p̂p̂2 m1 m2p̂1 m2 − p̂2 m1m1 m 21p̂ = m − m=, μ=, r = r1 −r2 .12m1 + m2m1 + m2m1 + m2 vотн.μ1 На самом деле такие законы сохранения обеспечиваются замкнутостью классических траекторий (эллипсов) при финитном движении.
В случае общего положения вместо замкнутогоэллипса классическая частица будет рисовать «розочку» (прецессия перигелия).16.2. С ВЕДЕНИЕК ЗАДАЧЕ ОДНОГО ТЕЛА457Легко видеть, что для новых переменных выполняются каноническиекоммутационные соотношения:[R̂α , P̂β ] = ih̄δαβ ,[r̂α , p̂β ] = ih̄δαβ ,[R̂α , p̂β ] = [r̂α , P̂β ] = [R̂α , r̂β ] = [p̂α , P̂β ] = 0.Также легко проверить, что замена (r1 , r2 , p1 , p2 ) → (r, R, p, P) сохраняет объём в координатном и импульсном пространстве. Покажем этодля x-компонент:1−1 D(rx , Rx )m2= m1 = 1,D(r1x , r2x ) m1 + m2 m1 + m2 m2− m1 D(px , Px ) m +m m +m= 1212 = 1.D(p1x , p2x ) 11Это позволяет записывать волновые функции в новых переменных, не думая об элементах объёма, просто подставляя в старые волновые функциивыражения старых переменных через новые.В новых переменных гамильтониан (16.1) переписывается так (проверку, полностью аналогичную классическому случаю, предоставляем читателю):2p̂2Ĥ =(16.2)+ U (|r|) + P̂ .2μ2MĤ1Ĥ0Гамильтониан распался на два члена, один из которых Ĥ0 действуеттолько на движение центра масс, а другой Ĥ1 — только на относительноедвижение частиц.
Таким образом, мы представили систему из двух взаимодействующих частиц как объединение двух невзаимодействующих подсистем: движение центра масс и относительное движение частиц.Это позволяет провести разделение переменных. Если в начальный момент времени волновая функция может быть записана в видеψ(r1 , r2 ) = ψ(r, R) = ψ1 (r) · ψ0 (R),то поскольку каждый член гамильтониана действует только на свой множитель(Ĥ1 + Ĥ0 ) ψ1 · ψ0 = (Ĥ1 ψ1 ) · ψ0 + ψ1 · (Ĥ0 ψ0 ), Ĥ458ГЛАВА 16то и в последующие моменты времени волновая функция разлагается надва множителя, каждый из которых эволюционирует сам по себе:ih̄∂ψ1= Ĥ1 ψ1 ,∂tih̄∂ψ0= Ĥ0 ψ0 .∂tМы свели задачу двух тел к двум задачам:• Задача о свободном движении частицы массы M описывает движениецентра масс.• Задача о движении частицы массы μ в потенциале U (|r|) описываетотносительное движение частиц.Если мы ищем энергетический спектр системы двух тел, то собственные состояния могут искаться в виде произведений собственных состоянийдля Ĥ1 и Ĥ0 :Ĥψ1 ψ0 = (E1 + E0 )ψ1 ψ0 ,Ĥ1 ψ1 = E1 ψ1 ,Ĥ0 ψ0 = E0 ψ0 .Для свободной частицы (движения центра масс) собственные состояния могут быть заданы, например, волнами де Бройля:2 2E0k = h̄ k .2Mψ0k = eikr ,Задачу одного тела в центральном поле U (|r|) мы рассмотримв следующих разделах.16.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
