М.Г. Иванов - Как понимать квантовую физику (1129349), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Сведение к задаче о радиальном движенииТеперь мы рассматриваем гамильтониан для относительного движениячастицp̂2Ĥ1 =+ U (|r|).(16.3)2μОбезразмеренный орбитальный момент импульса имеет видl̂ = 1 [r̂ × p̂].h̄В силу сферической симметрии орбитальный момент сохраняется,а значит мы имеем три взаимно коммутирующих оператора, которые могут быть одновременно приведены к диагональному виду:ˆl2 ,ˆlz ,Ĥ1 .16.3. С ВЕДЕНИЕК ЗАДАЧЕ О РАДИАЛЬНОМ ДВИЖЕНИИ459Далее нам удобно перейти к сферическим координатам, потому чтов них повороты влияют только на углы θ и ϕ, оставляя радиальную координату r неизменной и позволяя разделить переменные.
Гамильтониан Ĥ1в координатном представлении имеет вид2Ĥ1 = − h̄ + U (|r|).2μЛапласиан в произвольных криволинейных координатах имеет вид ∂ = 1|g| g ab ∂ b ,a∂x|g| ab ∂xгде g ab — обратный метрический тензор (метрический тензор удобно выражается через элемент длины dl):1, a = cabag gbc = δc =,dl2 =gab dxa dxb ,0, a = cbabа |g|d3 x — инвариантный элемент объёма, который выражается черезопределитель метрического тензора:g = det(gab ).Метрический тензор для сферических координат мы уже вводили ранее (15.5).
Лапласиан в сферических координатах удобно записывается через оператор ˆl2 :$%2∂11∂∂1∂12 ∂sin θ= 2+.r+∂r r 2 sin2 θ ∂ϕ2sin θ ∂θ∂θr ∂rθϕ =−l̂2В гамильтониане из кинетической энергии выделяется центробежный член,2полностью аналогичный классическому L 2 :2μr2Ĥ1 = − h̄ 12 ∂ r 2 ∂ +2μ r ∂r∂rh̄2 ˆl22μr 2 центробеж. энерг.+ U (r).460ГЛАВА 16Мы ищем общие собственные функции для операторов l̂2 и Ĥ1 . Поскольку l̂2 действует только на угловые переменные, будем искать волновуюфункцию в видеψ1 (r) = ψ1 (r, θ, ϕ) = R(r) · Yl (θ, ϕ),где Yl — собственная функция оператора ˆl2 :l̂2 Yl = l(l + 1)Yl .Будет ли Yl также собственной функцией оператора ˆlz нам пока (покане нарушается сферическая симметрия) совершенно не важно, но желающие могут заменить Yl на Ylm , потребовавˆlz Ylm = mYlm ,l̂2 Ylm = l(l + 1)Ylm .Тут важно только число линейно независимых функций Yl при фиксированном l.
В качестве таких линейно независимых функций могут быть выбраны, например Ylm , которых имеется (поскольку m = l, l − 1, . . . , 0, . . . , −l)2l + 1 штука.Из стационарного уравнения Шрёдингера сокращаем Yl , получаемĤ1 (RYl ) = E1 (RYl ) ⇒ ψ1$ψ1%2h̄2 l(l + 1)h̄∂12 ∂−+ U (r) R(r) = E1 R(r).r+2μ r 2 ∂r∂r2μr 2(16.4)Выражение в квадратных скобках отличается от гамильтониана Ĥ1 толькотем, что оператор l̂2 заменился на собственное число l(l + 1).(ф) Мы видим, что происходящий от угловой части кинетической энергии членh̄2 l(l+1)2mr 2h̄2 l̂22μr 2теперь переписался как функция от радиальной координатыи может трактоваться как центробежная потенциальная энергия.То же самое мы имели и в классике, при рассмотрении задачи движениячастицы в центральном потенциале.h̄2 1 ∂2 ∂(ф) Оператор радиальной кинетической энергии − 2μr 2 ∂r r ∂r отличается от обычной кинетической энергии при одномерном движении.
Этосвязано с тем, что волна, распространяющаяся по r, — это не плоская волна, а сферическая. Решение обычного одномерного уравнения Шрёдингера16.3. С ВЕДЕНИЕ461К ЗАДАЧЕ О РАДИАЛЬНОМ ДВИЖЕНИИпри нулевом потенциале даёт плоскую волну, амплитуда которой постоянна, а решение радиального уравнения Шрёдингера должно давать сферическую волну, квадрат амплитуды которой (плотность вероятности) спадаеткак r12 , а амплитуда как 1r .Попробуем ввести другую параметризацию волновой функции:R(r) = 1r φ(r),ψ1 (r, θ, ϕ) = 1r φ(r) Yl (θ, ϕ).Вероятность dP попадания в заданные интервалы dr, dθ, dϕ:dP = |ψ1 |2 d3 r = |R(r)Yl (θ, ϕ)|2 r 2 sin θ dr dθ dϕ =элемент объёма= |φ(r)Yl (θ, ϕ)| sin θ dr dθ dϕ.2При переписывании dP через φ(r) исчезает вес r2 , и интегрирование по rидёт точно так же как по обычной декартовой координате, если движениеограничено положительной полуосью.Теперь действие радиальной части лапласиана упрощается:1 ∂ r 2 ∂ φ(r) = 1 ∂ r 2∂r rr 2 ∂rr 2 ∂rφφr − r2φ= 12 ∂ (rφ − φ) = r .r ∂rПодставляя R = φr в уравнение (16.4) и сокращая во всех членах общиймножитель 1r , получаем уравнение, которое выглядит в точности как обычное стационарное одномерное уравнение Шрёдингера для волновой функции φ:$%22h̄2 l(l + 1)h̄∂−++ U (r) φ(r) = E1 φ(r).(16.5)2μ ∂r 22μr 2Ĥr(ф) Эффективный одномерный гамильтониан Ĥr содержит совершен22h̄ ∂но обычный одномерный оператор кинетической энергии K̂ = − 2μ∂r 2 ,а потенциальная энергия состоит из собственно потенциальной энер2;2l(l+1)Lгии U (r) и центробежной энергии h̄ 2μr= 2μr22 .
Мы переписали числитель как среднее значение оператора квадрата размерного момента импульса, чтобы продемонстрировать, что центробежная энергия с точностьюдо шляпок совпадает с классическим случаем.462ГЛАВА 16Получившаяся одномерная задача отличается от стандартной тем, чтокоордината r определена на положительной полуоси 0 r < ∞, причёмиз непрерывности R = φr следует граничное условие на φ, которое можнотрактовать как наличие в нуле бесконечновысокой стенкиφ(0) = 0.(16.6)16.3.1. Асимптотика r → 0Исследуем асимптотику радиального уравнения Шрёдингера (16.5)при r → 0:%$22l(l+1)h̄h̄φ(0) = 0. (16.7)+ U (r) − E1 φ(r) = 0,−φ (r) +2μ2μr 2Главный член при r → 0 в квадратных скобках зависит от того, как ведётсебя при в этом пределе потенциальная энергия U (r).Предположим, что при r → 0 потенциал U (r) ограничен, либо растётне слишком быстро:r→0r 2 U (r) −−−→ 0.Тогда при малых r получаем2− h̄ φ (r) +2μh̄2 l(l + 1)φ(r) 0,2μr 2r2 φ (r) = l(l + 1) φ(r),r → 0,φ(0) = 0,φ(0) = 0.Линейное однородное уравнение второго порядка имеет два линейно независимых решения, которые легко подбираются в виде степенных функцийот r:r l+1 , 1l .rГраничному условию φ(0) = 0 удовлетворяет только первое решение, такчто для не слишком быстро растущего в нуле потенциала получаем асимптотикуφ(r) ∼ r l+1 , r → 0⇒ψ1 (r, θ, ϕ) ∼ r l Yl (θ, ϕ), r → 0.1r2 ,(16.8)то его надо буЕсли потенциал содержит член, пропорциональныйдет учитывать наравне с центробежным потенциалом и в результате асимптотика (16.8) собьётся: изменится степень и вместо r l получится r l , где l —некоторый «эффективный момент» (как правило, дробный).16.3.
С ВЕДЕНИЕК ЗАДАЧЕ О РАДИАЛЬНОМ ДВИЖЕНИИ463При рассмотрении быстро растущих в нуле притягивающих (отрицательных) потенциалов следует проверить, попадает ли φ в пространствоквадратично-интегрируемых функций L2 (R+ ), т. е. φ(r) должно расти прималых r не быстрее, чем √1r . Также следует проверить ограничен ли энергетический спектр снизу, т. к. неограниченный снизу энергетический спектрозначает падение частицы на центр с выделением бесконечной энергии.Потенциал − constr 2 оказывается пограничным по обоим критериям.16.3.2. Асимптотика r → ∞При r → ∞ центробежный потенциал стремится к нулю, и главнымчленом оказывается либо U (r), либо E1 .В реальных (не модельных) случаях потенциал на бесконечности стремится к константе, которую можно положить равной нулю, переопределивнулевой уровень энергии.В этом случае получаем на бесконечности уравнение для свободнойчастицы:2− h̄ φ (r) E1 φ(r),2μr → ∞,φ(0) = 0.(16.9)Может показаться, что условие φ(0) = 0 (бесконечновысокая стенкав нуле) в данном случае не важно, но на самом деле оно допускает адекватную переформулировку.
Условие φ(0) = 0 означает равенство нулю потокавероятности jr (0) в нуле. При этом выполняется уравнение непрерывностидля одномерной радиальной задачи:∂(r) ∂jr (r)+= 0.∂t∂rДля стационарного состояния плотность вероятности не зависит от вре= 0 и уравнение непрерывности даёт нам условиемени, а значит ∂(r)∂tотсутствия радиального потока вероятности:∂jr (r)= 0,∂rjr (0) = 0⇒jr (r) ≡ 0.(16.10)Условие отсутствия потока можно переформулировать ещё одним способом. Для всякого решения уравнения (16.7) φ(r) его вещественная и мнимая части также являются решениями с тем же значением E1 . Однако граничное условие φ(0) = 0 из двух линейно независимых решений линейного однородного уравнения второго порядка (16.7) при данном E1 оставляет464ГЛАВА 16только одно, а значит решения φ(r), Reφ(r), Imφ(r) совпадают с точностьюдо постоянного множителя.Таким образом, условие отсутствия потока может формулироваться какусловие вещественности φ(r), т.
е. для уравнения (16.7) мы можем искатьтолько вещественные решения.Асимптотика (16.10) при отрицательных E1 < 0 (состояния дискретного спектра)√−2μE1φ(r) ∼ e−κr , κ =, r → ∞.(16.11)h̄При положительных энергиях (состояния непрерывного спектра)√2μE1φ(r) ∼ sin(kr + α), k =, α ∈ R, r → ∞.h̄(16.12)Фаза α не может быть зафиксирована исследованием потенциала при больших r.
Например, если U (r) — непроницаемый шарик радиуса a, что соответствует φ(a) = 0, то при l = 0 точное решение имеет видφ(r) = C sin(k r −ka),r a.αНа этом примере мы видим, что при одинаковом поведении U (r → ∞)фаза α может быть любой.Случай неограниченного потенциалаСлучай неограниченного потенциалаr→∞U (r) −−−→ ∞— это модельный случай, т. к. в реальной физике подобных потенциалов,неограниченно нарастающих на больших расстояниях, мы не наблюдаем.Для неограниченных потенциалов нам не надо специально оговариватьусловие отсутствия потока, т. к. это условие диктуется с обоих концов: нетолько условием φ(0) = 0, но и неограниченным ростом потенциала набесконечности.Конкретный вид асимптотики зависит от поведения U (r → ∞).
Например, для потенциала трёхмерного изотропного гармонического осциллятора2 2U (r) = ω r2μ16.4. АТОМ465ВОДОРОДАасимптотика совпадает с асимптотикой обычного одномерного гармонического осциллятора (см. главу 12 «Гармонический осциллятор»)−φ(r) ∼ er22x204,x0 =h̄μω ,r → ∞.16.4. Атом водородаГамильтониан для атома водорода соответствует потенциалу U (r) ==аналогично для водородоподобного иона (один электрон, обращаю2щийся вокруг ядра с зарядом Z) U (r) = − Zer . Таким образом, гамильтониан, описывающий движение электрона относительно центра масс (16.3),принимает вид2p̂2Ĥ1 =(16.13)− Ze ,2μ|r|2− er ,а одномерное уравнение Шрёдингера для радиального движения (16.5),(16.6) становится таким%$2h̄2 l(l + 1) Ze2h̄−φ(0) = 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
