М.Г. Иванов - Как понимать квантовую физику (1129349), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Волны де Бройля. Фазовая и групповая скоростьНа заре квантовой теории в 1923 году Луи де Бройль предложил рассматривать частицу как волну с волновым вектором, выражаемым черезимпульс и циклической частотой, выражаемой через энергию:k=p,h̄ω = E.h̄364ГЛАВА 13Постоянная Планка h̄ является размерной константой, а следовательно может быть приравнена единице, выбором соответствующих единиц измерения. Таким образом, мы можем считать, что импульс и энергия — это и естьволновой вектор и циклическая частота, просто выраженные в других единицах измерения.В 1927 году гипотеза де Бройля была подтверждена в экспериментахпо дифракции электронов на кристалле.Волна де Бройля имеет видei(kr−ωt) .Её фазовая скорость — vф = ωk . Однако фазовая скорость волны де Бройляне имеет физического смысла.
В частности, при сдвиге нулевого уровняэнергии меняется фазовая скорость. Более того,для релятивистского соотношения между энергией и импульсом E = p2 c2 + m2 c4 фазовая скорость обратно пропорциональна классической скорости и превышает скорость света:2p 2 c2 + m 2 c4vф == vc > c.pклЭто и понятно: фаза волновой функции не влияет на вероятность обнаружения частицы.Естественно попытаться отождествить классическую скорость с групповой скоростью, т. е. со скоростью, с которой перемещается волновой пакет:1vгр = ∂ω .∂kДанное выражение уже не меняется при сдвиге нулевого уровня энергии,а движение волнового пакета соответствует смещению места наиболее вероятного обнаружения частицы, что уже может быть наблюдаемо на опыте.Если теперь переписать выражение для групповой скорости черезэнергию и импульс (умножить числитель и знаменатель на h̄), то мы получим∂H(x, p)vгр = ∂E ,.v α = ẋα =∂p∂pαВ последнем выражении, переписанном через компоненты, легко узнатьклассические уравнения Гамильтона.
Это позволяет определить область1 Одномерные волновые пакеты и их групповая скорость уже рассматривались в разделе 6.3.6 «Волновые пакеты».13.2. Ч ТОТАКОЕ ФУНКЦИЯ ОТ ОПЕРАТОРОВ ?365применимости классической механики как область применимости приближения волновых пакетов.Следует, однако, отметить, что простая замена частицы волновым пакетом в обычном пространстве, или даже замена системы волновым пакетом в конфигурационном пространстве, не описывает исчерпывающимобразом перехода от квантовой механики к классической. Для большинствасистем волновой пакет за конечное время расплывётся до макроскопических размеров. Например, можно было бы ожидать, со времени своего возникновения планеты существенно «размазались» по орбитам вокруг Солнца, что плохо соотносится с классической картиной.
Чтобы предотвратитьэто расплывание, следует время от времени включать какую-то процедуруизмерения.Расплывание волновых пакетов имеет свой аналог и в классическоймеханике (расплывание облака вероятностей), понимаемой как теория эволюции распределений вероятностей для классической системы (см. раздел 2.5.1 «Вероятностная природа классической механики (ф)»).13.2. Что такое функция от операторов?При рассмотрении соответствия между квантовой механикой и классической часто встречаются выражения типа «классический гамильтониан, в который в качестве аргументов подставлены квантовые операторы».С точки зрения строгого математического понятия функции такое выражение бессмысленно: функция — это правило, которое ставит в соответствиеобъекту из области определения функций объект из области её значений.Для классической наблюдаемой мы можем записать:F :RNобл.
определения→R.обл. значенийПри этом конкретный способ описания соответствия значения функциизначению аргумента может быть различен: явная алгебраическая формула,неявная формула (значение функции — корень алгебраического уравнения),задание в квадратурах (через определённые интегралы), задание функциикак решения дифференциального уравнения, задание функции таблицейзначений, или графиком.Поскольку набор операторов, который нам надо подставлять в функцию числовых аргументов, не входит в область определения (не являетсянабором чисел), то, строго говоря, вычислить функцию с такими аргументами невозможно.366ГЛАВА 13Тем не менее, в некоторых случаях мы можем обобщить (доопределить) функции числовых аргументов на операторные аргументы определённого вида, хотя такое соответствие часто не будет взаимнооднозначным.13.2.1.
Степенные ряды и полиномы коммутирующих аргументовПростейший случай, с которым мы можем столкнуться, — доопределение числовой функции на наборе взаимнокоммутирующих операторов.Порядок умножения таких операторов не имеет значения. Так что если исходная функция задаётся полиномом или степенным рядом (хотя бы формальным рядом), мы можем определить оператор, являющийся значениемфункции как ряд (полином) по степеням соответствующих операторов.Таким образом мы определяем, например, такие операторы, как• K(p̂) =p̂2— кинетическая энергия,2m• U (x̂) — потенциальная энергия (если функция U (x) может быть заданарядом или полиномом),i• eap̂h̄— оператор сдвига по координате,−ibq̂h̄−itĤh̄• e• ei• e— оператор сдвига по импульсу,— оператор эволюции (сдвига по времени),a(p̂ +p0 l̂z )h̄ z— оператор винтового сдвига.13.2.2.
Функции одновременно диагонализуемых операторовИногда операторные аргументы задаются коммутирующими операторами, которые при этом ещё и одновременно диагонализуемы выбором соответствующего базиса. Это относится к набору Âk взаимнокоммутирующих эрмитовых, антиэрмитовых и унитарных операторов2 .2 Взаимнокоммутирующие нормальные операторы не всегда можно одновременно диагонализовать.
Например, [x̂ + iŷ, p̂x + ip̂y ] = 0, но операторы x̂ + iŷ и p̂x + ip̂y одновременно недиагонализуются. Для нормальных операторов как достаточное условие одновременной диагонализации можно дополнительно потребовать коммутируемость сопряжённых операторов,или эрмитовых и антиэрмитовых частей.13.2. Ч ТОТАКОЕ ФУНКЦИЯ ОТ ОПЕРАТОРОВ ?367Для такого набора операторов мы можем доопределить более широкийнабор функций.Разбиваем пространство состояний H в сумму максимальных собственных подпространств нашего набора операторов Âk :3HiH=i(индекс i может быть как дискретным, так и непрерывным).При этом любой вектор из Hi является собственным для всех операторов Âk :∀ψ ∈ Hi ,Ak ψ = αki ψ.Максимальность собственных подпространств означает, что любойобщий собственный вектор операторов Âk попадает в одно из подпространств.Мы определяем оператор-функцию F (Âk ) так, что все подпространства Hi являются для него собственными, с собственными числами, вычисляемыми по собственным числам операторов Âk с помощью исходнойфункции F :F (Âk )ψ = F (αki )ψ.(13.1)∀ψ ∈ HiЕсли функция представляет собой степенной ряд или полином, то этоопределение согласуется с приведённым выше определением через формальные ряды (полиномы), но на одновременно диагонализуемых операторах мы можем определять функции, не разложимые в ряд, включая разрывные, например, θ-функцию (ступеньку).Условие максимальности подпространств нужно только если мы имеемдело с неоднозначными функциями (корень, логарифм и т.
п.). Оно гарантирует, что все общие собственные векторы операторов Âk будут собственными для оператора F (Âk ), какие бы ветви мы не выбирали на каждомподпространстве.Мы можем использовать это определение функции от оператора дляопределения разрывных потенциалов, проекторов на собственные подпространства и для проекторнозначных мер (5.3.1 «Проекторнозначная мера**»). Условие максимальности собственных подпространств было важнопри определении квазиимпульса (11.4.3 «Квазиимпульс*»).13.2.3.
Функции некоммутирующих аргументовФункции от некоммутирующих аргументов не могут быть доопределены однозначно. Результат доопределения всегда зависит от того, какой368ГЛАВА 13именно формулой представляется исходная функция.
Например, если к исходной формуле прибавить член, пропорциональный коммутатору аргументов, то формула будет давать те же значения на коммутирующих (в томчисле числовых) аргументах, но значение на некоммутирующих аргументах изменится.Функция, доопределённая на эрмитовых аргументах, может не бытьэрмитовой. Обычно для того, чтобы избежать этого вводится симметризованное произведениеâ ◦ b̂ =âb̂ + b̂â,2(13.2)которое по двум эрмитовым операторам снова даёт эрмитов.
Однако и симметризованное произведение не устраняет неоднозначности: оно неассоциативно, т. е. возможна ситуация, когдаâ ◦ (b̂ ◦ ĉ) = (â ◦ b̂) ◦ ĉ,(13.3)поэтому результат доопределения функции может зависеть от расстановкискобок, которые были неважны для коммутирующих аргументов.Функции от некоммутирующих аргументов мы будем определять какнекоторую комбинацию, построенную с помощью операций сложения,умножения на число, операторного умножения функций от коммутирующих аргументов (их мы обсудили выше в разделах 13.2.1 и 13.2.2).13.2.4.
Производная по операторному аргументуДля того, чтобы взять производную от функции, надо, чтобы аргументу функции можно было дать бесконечномалое приращение, т. е. аргументфункции должен непрерывно меняться. Когда мы доопределяем функциюна фиксированном наборе операторов, то процедура доопределения зависитот того, какие именно операторы мы взяли в качестве аргументов, кроме того, эта процедура может зависеть от нашего произвола (часто дискретногопроизвола).
В таких условиях правильнее считать, что мы имеем не операторную функцию операторнозначных аргументов, а один-единственныйоператор F (Âk ), который выражен через фиксированный набор операторов Âk . Говорить о производной от операторнозначной функции по операторному аргументу в данном случае, строго говоря (используя обычныйсмысл понятия производной), нельзя.Прежде чем определять производную по операторному аргументу, полезно понять, зачем вообще нам такая производная может понадобиться.13.2. Ч ТОТАКОЕ ФУНКЦИЯ ОТ ОПЕРАТОРОВ ?369В первую очередь такая производная нужна нам для того, чтобы записатьквантовое обобщение уравнений Гамильтона:dpi= {pi , H} = − ∂H ,dt∂qidqi= {qi , H} = + ∂H ,dt∂pi(13.4){qi , pj } = δij , {qi , qj } = {pi , pj } = 0.Мы знаем, что в квантовом случае скобка Пуассона выражается через коммутатор:1{·, ·} → ih̄[·, ·].И мы хотим, чтобы квантовые уравнения Гайзенберга записывались аналогично:dp̂i=dt − ∂ Ĥ ,∂ q̂i 1ih̄ [p̂i , Ĥ] =знаемdq̂i=dt знаемхотим1ih̄ [q̂i , p̂j ]= δij ,+ ∂ Ĥ ,∂ p̂i 1ih̄ [q̂i , Ĥ] =(13.5)хотим[q̂i , q̂j ] = [p̂i , p̂j ] = 0.Причём, если гамильтониан представим в виде суммы кинетическойи потенциальной энергии Ĥ = K(p̂) + U (q̂), которые записываются черездифференцируемые функции от координат и импульсов, то мы можем ихпросто формально продифференцировать (по обычным правилам дифференцирования).Это возможно потому, что для коммутатора, как для производной, у насесть линейность[x̂, α + B̂] = α[x̂, Â] + [x̂, B̂]и некоммутативное (порядок сомножителей имеет значение!) «правилоЛейбница» (5.21):[x̂, ÂB̂] = [x̂, Â]B̂ + Â[x̂, B̂].Таким образом, если у нас есть набор пар операторов Âk и B̂l , коммутатор которых даёт ненулевое число для операторов одной пары и нульв противном случае[Âk , B̂l ] = ck δkl ,[Âk , Âl ] = [B̂k , B̂l ] = 0,то для функции этих операторов F̂ = F (Âk , B̂l ) мы можем определитьпроизводные по ним:∂F (Âk , B̂l )∂ Âk=1ck [F̂ , B̂k ],∂F (Âk , B̂l )∂ B̂k=1ck [Âk , F̂ ].(13.6)370ГЛАВА 13Эти производные линейны∂(α + B̂)= α ∂  + ∂ B̂ ,∂x∂x∂xудовлетворяют некоммутативному правилу Лейбница∂ ÂB̂ = ∂  B̂ +  ∂ B̂∂ x̂∂ x̂∂ x̂и соответствуют обычным формальным производным благодаря свойству∂ x̂i= δij .∂ x̂jЕсли функция задана как ряд или полином от своих аргументов, тотакие производные можно брать как формальные производные по правилу(проверьте через коммутаторы!)∂ x̂n = nx̂n−1 .∂ x̂Если задана функция F (Âk ) одновременно диагонализуемых аргументов Âk , то дифференцирование снова может быть выполнено формально, ноуже по другому правилу: дифференцируется по соответствующему (числовому) аргументу xk исходная (числовая) функция F (x):Fk (x) =∂F (x).∂xkПосле чего в производную подставляются (в прежнем смысле) операторныеаргументы:∂F (Â)= Fk (Â).∂ ÂkДля функции некоммутирующих аргументов дифференцирование также может выполняться формально, при условии, что применяется некоммутативное правило Лейбница (с учётом порядка сомножителей).Такого рода производные по операторному аргументу могут применяться не только по координатам и импульсам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
