М.Г. Иванов - Как понимать квантовую физику (1129349), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Например, осцилляторныеоператоры подходят ничуть не хуже[âi , â†j ] = δij ,[âi , âj ] = [â†i , â†j ] = 0,13.3. Т ЕОРЕМА Э РЕНФЕСТА∂F (â, ↠)= [F̂ , â†i ],∂âi∂F (â, ↠)∂â†i= [âi , F̂ ].371(13.7)Формально дифференцирование операторных функций создаёт соблазн применять его без должного обоснования, однако для произвольныхоператоров оно может быть определено неоднозначно, возьмём, например,произвольный оператор, удовлетворяющий условию Iˆ2 = 1̂, Iˆ = 1 (инверсия, зарядовое сопряжение и т. п.). Следующая функция может быть определена разными способами:ˆ = 1̂ = Iˆ2 .F (I)Тогда формальная производная даёт разные ответы, в зависимости от способа определения функции:ˆ∂F (I)= ∂ 1̂ = 0,ˆ∂I∂ Iˆлибоˆˆ2∂F (I)= ∂ I = 2Iˆ = 0.∂ Iˆ∂ Iˆ13.3.
Теорема ЭренфестаВ соответствии с данным выше определением производной по операторному аргументу (13.6) уравнения Гайзенберга для операторов координат и импульсов могут быть переписаны в виде, с точностью до шляпок аналогичном уравнениям Гамильтона:dp̂i= − ∂ Ĥ ,dt∂ q̂idq̂i= + ∂ Ĥ .dt∂ p̂i(13.8)И хотя мы сами вложили это свойство (13.5)в определение производной по операторномуаргументу, возможность выполнять дифферен- Рис. 13.1. Эренфест Павелцирование формально приводит к тому, что Сигизмундович (1880–1933).производные с точностью до шляпок и ком- Wмутаторов (если аргументы не коммутируют)совпадают с классическими выражениями.Для сравнения с классическими уравнениями Гамильтона, возьмём отобоих частей уравнений (13.8) средние.
С учётом того, что взятие полной372ГЛАВА 13производной от оператора по времени по определению (5.19) перестановочно с квантовым усреднением, мы получаем теорему Эренфеста:dp̂i =dt#"∂Ĥ,−∂ q̂idq̂i =dt#"∂Ĥ.+∂ p̂i(13.9)Можно сказать, что согласно теореме Эренфеста для систем, имеющихклассические аналоги, уравнения Гамильтона выполняются в среднем.При обсуждении уравнений Гамильтона (раздел 5.2.6) на примере движения (5.24) и расплывания (5.25) волнового пакета мы уже сравнивалиэволюцию средних значений координаты и импульса с классической эволюцией и получили полное соответствие. Для гармонического осциллятора мы также получили, что средние координаты и импульсы ведут себяклассическим образом (12.39).Для того, чтобы эволюция средних значений соответствовала классической динамики, должно выполняться условиеdp̂i = − ∂ Ĥ (q̂, p̂),dt∂ q̂idq̂i = + ∂ Ĥ (q̂, p̂).dt∂ p̂i(13.10)Оно выполняется только для квадратичных гамильтонианов (производныеот которых линейны).
В случае общего положенияF (q̂, p̂) = F (q̂, p̂).Уравнения (13.10) могут выполняться приблизительно, если неопределённости координат и импульсов достаточно малы по сравнению с харак∂Hтерным масштабом изменения функций ∂H∂qi и ∂pi . Более точное по сравнению с классическим приближённое описание может быть получено введением в правую часть поправок, учитывающих неопределённости координати импульсов.13.3.1. Отличие от классического случая*Негамильтонова эволюция средних координат и импульсов, котораяможет показаться особенностью квантовой теории, на самом деле, как отметил И. В.
Волович, появляется уже в классической динамике, если рассматривать не отдельную фазовую траекторию (классическое чистое состояние),а распределение вероятностей по координатам и импульсам (классическоесмешанное состояние).13.4. Т ЕОРЕМА Г ЕЛЛМАНА – Ф ЕЙНМАНА373Усредняя классические уравнения Гамильтонаdpi= − ∂H ,dt∂qidqi= + ∂Hdt∂pi(13.11)по классическому смешанному состоянию (по распределению вероятностейпо начальным координатам и импульсам), мы получаем классический аналог теоремы Эренфеста (здесь и далее до конца раздела усреднение уже неквантовое, а классическое):##""dpi dqi ∂H∂H,.(13.12)= −= +dt∂qidt∂piКак и в квантовом случае, в случае общего положения (для нелинейнойфункции)F (q, p) = F (q, p).Поведение средних координат и импульсов описывается классическими уравнениями Гамильтонаdpi = − ∂H (q, p),dt∂qidqi = + ∂H (q, p)dt∂pi(13.13)для квадратичных гамильтонианов, либо в пределе узкого распределения по координатам и импульсам.Как в квантовом, так и в классическом случае мы можем, разлагая правую часть формулЭренфеста в ряд оценивать поправки к классической эволюции средних координат и импульсов,возникающие за счёт неопределённости (конечной дисперсии) координат и импульсов, а такжемоментов (средних отклонений переменных, возведённых в степень) более высоких порядков.Рис.
13.2. Игорь ВасильеТаким образом, с точки зрения теоремы вич Волович.Эренфеста и эволюции средних координат и импульсов, различие между классической и квантовой теорией состоитв некоммутативности квантовых переменных.13.4. Теорема Геллмана – ФейнманаТеорема Геллмана – Фейнмана связывает между собой производные попараметру для оператора наблюдаемой и его допустимого значения (собственного числа).374ГЛАВА 13Пусть эрмитов оператор Â(λ) (например, гамильтониан) зависит отнекоторого числового параметра λ.
Тогда от этого же параметра будут зависеть собственные числа a(λ) и собственные векторы |ψ(λ):Â(λ)|ψ(λ) = a(λ)|ψ(λ),ψ(λ)|ψ(λ) = 1.(13.14)Отметим, что параметр λ может быть связан с описанием квантовойсистемы, но не с её состоянием. Таким параметром может быть масса частицы, постоянная Планка, заряд электрона, какой-либо ещё численный коэффициент, но координата, импульс квантовой частицы или любая другаяхарактеристика состояния квантовой системы здесь не годятся. Но, например, координата потенциальной ямы или стенки может быть таким параметром, если они задаются как классические (бесконечно тяжёлые) объекты и не могут быть взяты как аргументы волновой функции.Продифференцируем тождество (13.14) по параметру λ:∂ Â |ψ + Â ∂|ψ = ∂a |ψ + a ∂|ψ .∂λ∂λ∂λ∂λ(13.15)Действуя слева бра-вектором ψ(λ)|, получаем:∂|ψ∂|ψψ| ∂ Â |ψ + ψ|Â= ψ| ∂a |ψ + ψ|a.∂λ∂λ∂λ ∂λ(13.16)ψ|aСократив повторяющийся слева и справа член, получаем теоремуГеллмана – Фейнмана: при условии (13.14) выполняется тождествоψ| ∂ Â |ψ = ∂a .∂λ∂λ(13.17)Теорема (13.17) полезна при вычислении средних значений от наблюдаемой, которая может быть получена как производная по параметру отдругой наблюдаемой, которая определена в рассматриваемом состоянии.При использовании этого метода полезно помнить, что если мы знаемспектр наблюдаемой Â, то мы знаем спектр всех наблюдаемых вида F (Â),например Â2 , Â3 и т.
д., и к наблюдаемым вида F (Â) можно применить туже теорему:∂F (Â)∂F (a)ψ||ψ =.(13.18)∂λ∂λ13.5. К ВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ375Если рассматриваемые наблюдаемые были определены в классическойтеории теми же формулами (с точностью до шляпок), то полученное квантовое соотношение между их средними значениями будет совпадать с классическим.13.5. Квазиклассическое приближениеИсторически квазиклассическое приближение («квазиклассика») предшествовало квантовой механике в её современном виде. В старых книгахещё можно встретить такие выражения, как старая квантовая механикаи новая квантовая механика.Первоначально старая квантовая механика «висела в воздухе», представляя собой набор постулатов Бора, которые предписывали правила,согласно которым из множества классических решений уравнений движения каким-то неведомым образом удавалось отбирать те решения, которыесоответствовали разрешённым состояниям электронов в атоме.После создания новой квантовой механики старая квантовая механикабыла выведена как предельный случай, отвечающий квазиклассическомуприближению.Нам редко удаётся точно решить уравнения Шрёдингера, поэтомубольшое значение имеют методы приближённого решения, к числу которых относится квазиклассика.
Важно и то, что квазиклассика позволяет использовать классическую интуицию для квантовых систем. С учётом целиданной книги (понимание квантовой механики) это особенно важно.13.5.1. Как угадать и запомнить квазиклассическую волновуюфункциюРассмотрим одномерное стационарное уравнение Шрёдингера в предположении, что на малых расстояниях справедливо приближение де Бройля, т.
е. волновую функцию можно записать какiψ(x) ≈ C e h̄p(x) x(13.19)при изменении координаты x на несколько длин волн де Бройля. Это означает, что длина волны, записанная как функция от x, мало меняется нарасстоянии порядка длины волны ∂λ ∂λ 1.(13.20)⇔ ∂x λ |λ| ∂x 376ГЛАВА 13Здесьλ(x) = 2πh̄ ,p(x)p(x) =2m(E − U (x)).То есть мы выражаем длину волны через классический импульс частицы.В формуле (13.19) «константа» C зависит от x, поэтому удобнее переписать формулу в другом виде:iψ(x + δx) ≈ ψ(x) e h̄p(x) δx.(13.21)Таким образом, мы получаемiψ(x1 ) ≈ ψ(x0 ) e h̄p(x0 ) δx⎛⎜⎜≈ ψ(x0 ) exp ⎜ i⎝ h̄⎛≈ ψ(x0 ) exp ⎝ ih̄ie h̄p(x0 +δx) δxx1 −x0δxn=0x1i· · · e h̄p(x1 −δx) δx⎞≈⎟⎟p(x0 + nδx) δx⎟ ≈⎠⎞p(x) dx⎠.x0Таким образом, произведение px в показателе экспоненты волныде Бройля в случае медленноменяющегося классического импульса p(x)заменилось на интегралp(x) dx:ψ(x) ≈ C expih̄p(x) dx .(13.22)Полученная нами формула (13.22), как мы увидим далее, совпадаетс первым квазиклассическим приближением.Заметим, что волновая функция, описывающаяся формулой (13.22)предполагает, что |ψ(x)|2 = |C|2 = const.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
