М.Г. Иванов - Как понимать квантовую физику (1129349), страница 58
Текст из файла (страница 58)
φ симметрично ψ относительно симметрии Û ,записывается как ψ = Û φ, где Û — унитарный оператор данной симметрии.Пусть задан некоторый гамильтониан, для которого задан спектр:ĤψE = EψE .Если унитарный оператор Û является симметрией данного гамильтониана, то состояние Û ψE также является собственным для того же гамильтониана с тем же собственным числом:(Ĥ Û )ψE = Ĥ(Û ψE ) = E(Û ψE ) = Û (ĤψE ) = (Û Ĥ)ψE .Вычитая из первого выражения в цепочке равенств последнее, получаем:(Ĥ Û − Û Ĥ)ψE = 0.Состояния ψE образуют базис.
Таким образом, все базисные состояния обнуляются под действием оператора [Ĥ, Û ] = Ĥ Û − Û Ĥ, а значит данныйоператор является нулевым:[Ĥ, Û ] = Ĥ Û − Û Ĥ = 0.(11.1)Равенство нулю коммутатора (11.1) является необходимым и достаточнымусловием того, что унитарный оператор Û является симметрией данногогамильтониана Ĥ.к другой, движущейся относительно исходной равномерно и прямолинейно, является симметрией для свободной частицы, хотя и меняет уровни энергии.308ГЛАВА 11Из условия (11.1) следует, что эрмитов оператор Ĥ и унитарный оператор Û могут быть диагонализованы одновременно, т.
е. может быть построен базис, все элементы которого являются собственными функциями дляобоих операторов. Следует иметь в виду, что не всякая функция, собственная для одного оператора, также является собственной для другого (такоевозможно для собственных чисел, которым соответствуют несколько линейно независимых собственных функций).11.2. Преобразования операторов «вместе» и «вместо»Мы можем применять преобразования симметрии не только к состояниям, но и к операторам. Мы можем выполнять преобразования двумя способами:• Преобразование «вместе»: операторы преобразуются вместе с состояниями, так, чтобы изменение операторов компенсировало изменениесостояний и все матричные элементы оставались теми же, что и допреобразования:ψ → Û ψ, → Û ÂÛ † ,††φ|Â|ψ → φ| Û Û Â U Û |ψ = φ|Â|ψ.1̂1̂• Преобразование «вместо»: операторы преобразуются вместо состояний, так, чтобы изменение операторов и изменение состояний давалоодинаковое преобразование матричных элементов:ψ → Û ψ,ψ → ψ, → Â,илиφ|Â|ψ → φ|Û † ÂÛ |ψ, → Û † ÂÛ ,φ|Â|ψ → φ|Û † ÂÛ |ψ.Таким образом, преобразования операторов «вместе» и «вместо» осуществляются с помощью обратных операторов.Преобразования «вместе» естественно применять для описания пассивных преобразований, когда преобразования состояния системы трактуются как замена базиса.
В этом случае преобразование операторов вместес состояниями соответствует их переписыванию в новом базисе.Преобразования «вместо» естественно применять для описания активных преобразований, когда преобразования состояния системы трактуются11.3. Н ЕПРЕРЫВНЫЕ309СИММЕТРИИ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯкак изменение физического состояния системы. В этом случае преобразование операторов вместо состояний даёт альтернативное описание тогоже самого преобразования. Например, преобразование операторов от представления Шрёдингера к представлению Гайзенберга — это преобразованиеоператоров «вместо» преобразования состояний, задававшего унитарнуюэволюцию в представлении Шрёдингера.11.2.1.
Непрерывные преобразования операторов и коммутаторыПусть оператор Â подвергается однопараметрическому преобразованию «вместе» Ûα :Â → Âα = Ûα ÂÛα† ,Ûα = eiαB̂ .Дифференцируя Âα по параметру α, получаем коммутатор оператора Âα и генератора преобразования B̂:dÂα= (iB̂)Ûα ÂÛα† + Ûα ÂÛα† (−iB̂) = i[B̂, Âα ].dα(11.2)Положив α = 0, получаем необходимое и достаточное условие инвариантности оператора при однопараметрическом преобразовании («вместе»или «вместо» — не важно):[Â, B̂] = 0.11.3. Непрерывные симметрии и законы сохраненияВ классической механике каждой симметрии, параметризуемой непрерывным параметром, в соответствии с теоремой Эммы Нётер соответствует закон сохранения.
Если выбором координат свести такую симметрию к сдвигу по какой-то обобщённой координате (однородность пообобщённой координате), то такой сохраняющейся величиной можно выбрать обобщённый импульс вдоль этой координаты. Если функция Гамиль)тона H(Q, P ) не зависит от координаты Qi , то есть если ∂H(Q,P= 0, то∂Qi)= −Ṗi импульс Pi не зависит отв силу уравнения Гамильтона ∂H(Q,P∂Qiвремени.Получим квантовый аналог теоремы Нётер. Пусть имеется однопараметрическая группа симметрий гамильтониана Ĥ с непрерывным парамет-310ГЛАВА 11ром α ∈ R:Ûα1 Ûα2 = Ûα1 +α2 ,Ûα−1(11.3)= Û−α ,(11.4)Û0 = 1̂,(11.5)[Ĥ, Ûα ] = 0.(11.6)Частный случай однопараметрической группы симметрии сдвига по времени (5.4)–(5.6) уже рассматривался при выводе уравнения Шрёдингера.И подобно тому, как из сдвига по времени Ût получается оператор Гамильтона (оператор Гамильтона отвечает энергии, той самой величине, сохранение которой следует из однородности времени по теореме Нётер), изсимметрии Ûα получится эрмитов оператор некоторой сохраняющейся величины.Дифференцируя (11.6) по параметру α, получаем:%$∂ Ûα ∂ [Ĥ, Û ]= 0.= Ĥ,α ∂α∂α α=0α=0Обозначим∂ Ûα  = −ih̄∂α i⇒Ûα = e h̄αÂ(11.7)α=0(по сравнению с (5.9) здесь выбран другой знак).
Полностью аналогично (5.10)†††= 1̂ − dα  + o(dα) = 1̂ + dα  + o(dα),(11.8)Ûdαih̄ih̄−1†−1= Ûdα= 1̂ − dα  + o(dα)= 1̂ + dα  + o(dα),Ûdαih̄ih̄⇒ = † .Таким образом, мы получаем эрмитов оператор Â, для которого коммутаторс гамильтонианом обнуляется[Ĥ, Â] = 0.(11.9)Эрмитовы операторы Ĥ и  могут быть одновременно диагонализованы.То есть математически (11.9) не имеет преимуществ перед (11.1), но имеется преимущество с точки зрения физического смысла, поскольку эрмитовой11.3. Н ЕПРЕРЫВНЫЕСИММЕТРИИ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ311величине соответствует некоторая измеряемая величина.
Энергия и физическая величина, соответствующая оператору Â, могут быть одновременноизмерены.Далее мы рассмотрим ряд важных примеров квантовых законов сохранения.11.3.1. Сохранение единичного оператораЗаметим, что любой гамильтониан симметричен относительно одновременного умножения всех волновых функций на одинаковый фазовыймножитель eα = eiα , α ∈ R, |eα | = 1. Умножение на eα может рассматриваться как действие унитарного оператора êα = eα · 1̂ из группы U (1). Мыполучаем однопараметрическую симметрию, для которой сохраняющаясяêα физическая величина задаётся единичным оператором 1̂ = −i ∂∂α, коα=0торый, очевидно, коммутирует с любым оператором, а значит сохраняетсядля любого гамильтониана3.11.3.2.
Обобщённый импульсПусть симметрией системы является сдвиг вдоль обобщённой координаты Qi на произвольную величину a. То есть оператор симметрии T̂aдействует следующим образом:T̂a ψ(Qi , q) = ψ(Qi + a, q) = ψ(Qi , q) + a ∂ ψ(Qi , q) + · · · +∂Qinψ(Qi , q) + · · · .+1 a ∂n!∂Qi(11.10)Здесь состояние ψ записано как волновая функция, аргументами которойявляются координата Qi и некоторый набор физических величин q, образующий вместе с Qi полный набор независимых переменных. Далее мыразложили волновую функцию в степенной ряд по параметру a.
Сравнив T̂a ψ(Qi , q) с получившимся рядом, получаемT̂a = 1̂+a ∂ +· · ·+ 1∂Qin!n∂∂iia −ih̄aaP̂i∂∂Qih̄∂Qia+· · · = e=e= e h̄ .∂Qi(11.11)3 Описанная симметрия и отвечающий ей «закон сохранения» представляются тривиальными и малоинтересными, но после некоторой модификации они окажутся интересными длясистем с переменным числом частиц с точки зрения сохранения заряда.312ГЛАВА 11Здесь мы ввели обозначение для оператора обобщённого импульса вдолькоординаты Qi∂ T̂a ∂= −ih̄.(11.12)P̂i = −ih̄∂Qi∂a a=0Для обычной декартовой координаты в роли обобщённого импульсавыступает проекция обыкновенного механического импульса на выбранную ось. Для угла поворота вокруг некоторой оси в роли обобщённогоимпульса выступит проекция момента импульса на данную ось.Собственные функции для оператора (11.12) зависят от координаты Qiкак волны де Бройляiψp (Qi , q) = c(q) · e h̄p·Qi.(11.13)Если обобщённая координата Qi ∈ R, то спектр непрерывен, и собственное число p пробегает всю действительную ось p ∈ R.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
