М.Г. Иванов - Как понимать квантовую физику (1129349), страница 57
Текст из файла (страница 57)
По этой причине квантовыйпараллелизм оказывается не столь эффективным, как это может показатьсяна первый взгляд.10.6. Логика и вычисления10.6.1. Логика классическаяКлассическая логика изучает функции двоичных переменных (классических битов): каждый аргумент такой функции пробегает два значения(0 и 1, «да» и «нет», «ложь» и «истина»), и значение самой функции такжеможет принимать те же два значения. Такие функции могут также называться логическими операциями.5 Дэвид Дойч утверждает в своих статьях и книгах, что многомировая интерпретация квантовой механики является стандартной для физиков, работающих в области квантовых вычислений. Д. Дойч также является автором философской книги «Структура реальности», рассматривающей современную науку с точки зрения квантовой механики по Эверетту, эволюции поДарвину и теории познания по Попперу (познание как естественный отбор среди научныхтеорий).10.6.
Л ОГИКА301И ВЫЧИСЛЕНИЯЛогические операции удобно изображать графически в виде блокас несколькими входными линиями (входами), соответствующими аргументам, и одной выходной линией (выхода), соответствующей значению функции. Логические операции в графическом представлении мы будем называть логическими вентилями.Любое численное или логическое вычисление может быть представлено как комбинация логических операций или в виде графической схемы (логической схемы), состоящей из нескольких логических вентилей, соединённых между собой линиями: у части вентилей выходы соединеныс входами других вентилей. При этом линия, идущая от выхода, может разветвляться.
Графическая схема может иметь несколько внешних входныхлиний, на которые подаются входные данные и несколько выходных — накоторые выдаётся результат вычисления. Входные линии схемы (они также могут разветвляться) могут подключаться к выходным линиям схемы,а также к входным линиям логических вентилей.Доказано, что для описания любого вычисления достаточно применить конечное число разновидностей логических вентилей, например, «и»,«или», «не»:0001«и»:1011→→→→00,010001«или»:1011→→→→01,11«не»:0→1.1→0Более того, достаточно одного универсального вида логических вентилей«не-и»:0001«не-и»:1011→→→→11,10«не-и»(•, •) = «не»(«и»(•, •)).10.6.2. Вычисления и необратимостьОписанные выше логические схемы представляют собой графическоеописание процесса вычислений, который может быть реализован на некотором классическом вычислительном устройстве.
То есть логические схемы — описания физических процессов, которые реализуют данное вычисление.Поскольку линии логической схемы могут разветвляться, произвольная информация в логических схемах может копироваться. Согласно теореме о невозможности клонирования квантового состояния, возможность302ГЛАВА 10копирования означает, что информация не может задаваться произвольным квантовым состоянием, в частности, она не может быть квантовойсуперпозицией двух логически различных входов. Поскольку число входовлогического вентиля больше, чем число выходов, число входных состояний больше, чем число выходных, и работа такого вентиля необратима.Физически из этого, в частности, следует, что работа соответствующегофизического устройства генерирует энтропию: потеря одного бита информации порождает не менее одного бита энтропии, как меры недостаткаинформации о микросостоянии системы.Поскольку квантовая теория замкнутых систем всегда порождает обратимую (унитарную) эволюцию, необратимые логические вентили не могутбыть смоделированы как замкнутые квантовые системы.10.6.3.
Обратимые классические вычисленияУнитарная квантовая эволюция, в отличие от классических алгоритмов, полностью обратима. Тем не менее любое классическое вычислениеможет быть модифицировано так, чтобы каждый шаг выполнялся обратимым образом, и всё вычисление в целом также было обратимым.Для обратимых классических вычислений вход и выход всегда содержат одинаковое количество бит L и любое вычисление можно рассматривать как некоторое взаимно-однозначное отображение (перестановку) множества всех входов (состоит из 2L элементов) на себя.Такую перестановку можно представить матрицей 2L × 2L , в каждойстроке и в каждом столбце которой имеется ровно одна единица, а остальные элементы — нули.
Такая матрица является унитарной (обратима и сохраняет скалярное произведение), а значит может быть реализована как оператор эволюции некоторой квантовой системы с пространством состоянийLHL = C2 (см. рис. 10.1).10.6.4. Обратимые вычисленияДля записи обратимых вычислений удобно использовать обратимые логические операции (они не подпадают под определениеAлогической операции, данное выше). Обратимые логические операции являются взаимноРис.
10.1. Обратимый логи- однозначными отображениями множества вхоческий вентиль, действую- дов (множество состояний l битов, котороещий на два (ку)бита.имеет 2l состояний) на множество выходов,10.6. Л ОГИКАИ ВЫЧИСЛЕНИЯ303которое также имеет 2l состояний и может быть записано как множествосостояний l битов.Обратимая логическая операция может быть изображена графически(рис. 10.1) в виде обратимого логического вентиля: блока, имеющего равное число входов (однобитных аргументов) и выходов (битов для записи значения функции).
Такая картинка полностью аналогична графическому представлению квантового оператора, действующего на сложнуюсистему (см. 4.4.4 «Сравнение разных обозначений*»), и, действительно,действие такого вентиля на квантовую систему соответствует действиюсоответствующего унитарного оператора.Доказано, что любое классическое вычисление может быть сделано обратимым. При этом достаточно применить конечное число разновидностейобратимых логических вентилей, например, достаточно одного универсального вентиля «управляемое не»:0001«управляемое не»:1011→→→→0001.1110В операции «управляемое не» первый бит определяет применять ли операцию «не» ко второму биту, сам первый бит передаётся со входа на выходбез изменений.Обратимые вентили типа «управляемое не» могут быть реализованыв виде классических, или квантовых устройств.
Однако такой вентиль переводит базисное состояние (в котором состояние всех битов задаётся как 0или 1 и биты не зависят друг от друга) снова в базисные состояния.То есть в процессе таких вычислений (вычислений в базисных состояниях) нигде не появляются квантовые суперпозиции и квантовая запутанность.
Единственное преимущество квантовой реализации таких вычислений — теоретическая возможность вычисления без генерации энтропии, т. е.без диссипации энергии. Генерация энтропии и нагрев будут обязательнопроисходить только при необратимой очистке памяти и приготовлении исходного состояния компьютера.10.6.5. Вентили сугубо квантовыеЧтобы построить универсальный квантовый в смысле приведённоговыше определения необходимо дополнить описанный выше вентиль «управляемое не» несколькими сугубо квантовыми вентилями. Обычно берут304ГЛАВА 10однобитовые вентилиeiασx ,⎛eiασy ,eiασz ,⎞11√√⎜ 22⎟H=⎝ 1.1 ⎠−√√22Доказано, что, используя перечисленные вентили, можно воспроизвестилюбое унитарное преобразование на пространстве состояний входа (пространстве состояний L кубитов) с любой наперёд заданной точностью.10.6.6.
Обратимость и уборка «мусора»Переписывание какого-либо необратимого алгоритма в обратимом виде может привести к тому, что в схеме появятся дополнительные выходные биты, которые будет нести дополнительную информацию, которая ненужна для вычислений, но которая необходима, чтобы сделать вычисленияобратимыми.То есть результат вычисления можно записать так:Û |вход, 0 .. . 0, 0 ..
. 0 = |вход, выход, вспомогательная информация.выходдоп. ячейки«мусор»Вспомогательная информация может мешать интерференции квантовыхсостояний, поэтому предпочтительно было бы иметь процесс видаÛ |вход, 0 .. . 0, 0 .. . 0 = |вход, выход, 0 . . . 0.выходдоп. ячейкиЭто не нарушает обратимости оператора Û , т. к.
вся информация, необходимая для обращения вычисления, уже содержится в подсистеме ячеек«вход».Доказано, что любое классическое вычисление всегда можно провестиобратимым образом так, чтобы все дополнительные ячейки памяти, которые не используются для записи входа и выхода, в начале и конце процессабыли в состоянии 0 («ложь», «нет», «спин вниз» и т. п.).Как правило, мы не можем «подсматривать» за промежуточными состояниями квантового компьютера, работающего в суперпозиции базисныхсостояний, чтобы не разрушить суперпозицию и не испортить вычисления. Однако, если мы заранее знаем, что на каком-то этапе вычисленийв определённой ячейке обязательно должен быть 0, мы можем это проверить, и состояние квантового компьютера от этого не изменится.10.6.
Л ОГИКАИ ВЫЧИСЛЕНИЯ305Если квантовые вентили реализуются не идеально точно, реальное состояние может чуть-чуть отличаться от желаемого, и мы можем вместо 0обнаружить 1. Это будет означать ошибку квантового компьютера. Если мыв самом деле обнаружим 0, то «неправильная» часть волновой функции системы обнулится и мы, убедившись что ошибки пока нет, увеличим вероятность успешного завершения вычисления. По существу, это разновидностьквантового эффекта Зенона.ГЛАВА 11Симметрии-1 (теорема Нётер)Наиболее естественно строить квантовую механику, основываясь, понятии симметрии.
Выше(5.1 «Квантовая механика замкнутой системы») временная эволюция была описана как преобразованиесимметрии, порождённое оператором энергии (гамильтонианом). Следуя за классической теоретической механикой, в которой теорема Эммы Нётер устанавливает связь между симметриями и законами сохранения, мы должны ожидать, что и другим преобразованиям симметрии будут соответствовать свои сохраняющиеся величины, причём сдвигу по координате должен соответствовать импульс.Рис. 11.1. Эмма НётерКак мы увидим далее, квантовая теорема Нётер(1882–1935).
Wдаже проще классической. Мы воспользуемся ей,чтобы ввести в квантовую механику ряд наблюдаемых, как имеющих классические аналоги (импульс, момент импульса), таки не имеющих (чётность, квазиимпульс).11.1. Что такое симметрия в квантовой механикеСимметрия физической системы — это некоторое преобразование, которое переводит одни решения уравнений эволюции в другие решения тогоже уравнения1 . В частности стационарные состояния должны переходитьв стационарные с той же энергией2 . Стационарные состояния образуют ба1 Рассматривавшийсявыше сдвиг нулевого уровня энергии (5.13) не подпадает под данноеiE0 tопределение, поскольку преобразование ψ(t) → ψ(t)e− h̄ переводит решения уравненияШрёдингера с гамильтонианом Ĥ в решения другого уравнения Шрёдингера, с гамильтонианом Ĥ = Ĥ + E0 1̂.2 Если симметрия не зависит от времени.
В данном разделе мы ограничимся этим случаем,хотя возможны и иные случаи, например, переход от одной инерциальной системы отсчёта11.1. Ч ТОТАКОЕ СИММЕТРИЯ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ307зис, поэтому достаточно проверить симметрию только для стационарныхсостояний.Симметрии должны удовлетворять следующим условиям:• пространство чистых состояний имеет структуру линейного пространства =⇒ симметрии описываются линейными операторами;• симметрия должна обладать свойством рефлексивности (если ψ симметрично φ, то и φ симметрично ψ) =⇒ для всякого оператора симметрии существует обратный оператор, который тоже является симметрией;• пространство чистых состояний наделено структурой скалярного произведения =⇒ операторы симметрии должны сохранять скалярноепроизведение (а значит и вероятность).Перечисленные три условия означают, что симметрии описываютсяунитарными операторами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
