Л.Л. Гольдин, Г.И. Новикова - Квантовая физика. Вводный курс (1129347), страница 66
Текст из файла (страница 66)
При этом уравнение (12.33) приобретает вид пг'г' = —; (чВ1 (12.37) Для кохгнонент ч имеем б, =- швпю ба = — ывюк, б- = О, где еВ Оу т'с (12.38) Решение этих уравнений имеет вид ов = по з1п ш,1, па — — по сов ш,1, пх = сопзс. (12.39) Электроны движутся по спирали, ось которой совпадает с направлением вектора В. Направление вращения определяется знаками е и т'. Частота (12.38) называется циклотронной частотой. Электронный циклотронный резонанс можно наблюдать на электронах, располагающихся как у нижнего, так н у верхнего краев зоны. Величину т' и знак ег'т* можно определить с помощью простого эксперимента.
Для этого достаточно вдоль вектора В направить на кристалл циркулярно поляризованную электромагнитную волну. При частоте, равной ш,, наступает сильное поглощение вследствие циклотронного резонанса. Поглощение наблюдается лишь при одном из двух возможных направлений циркулярной поляризации. По найденной частоте из (12.38) можно определить эффективную массу электронов.
321 з 62. ДинАмикА электРОнОВ В кРистАлле т р о н а' и: Е:-6 112.41) 'Термином подвижность» в липературе называют две разные по размерностям величины; коаффициент пропорциональности между скоростью дрейфа частиц и детзствуюптей на них силой и между скоростью дрейфа и напряженностью злектрического поля. Мы здесь применяем этот термин во взорам смысле. Рнс. 129. Схемы рассеяния электронов на фононах. На динамику электронов в кристалле оказывают существенное влияние дефекты кристалла и примесные атомы, на которых может рассеиваться электронная волна.
Не меньшее значение имеет рассеяние на фононах. Особенно сильно оно проявляется при высоких температурах, когда фононов много. Характерные графики рассеяния приведены на рис. 129. На рис.!29а изображено рассеяние электрона, приводящее к возникновению фонона. Возможен и обратный процесс — поглощение фонона электроном.!.1а рис. 129 б приведена схема рассеяния фопона на электроне. Во всех этих процессах сохраняются энергин и импульс (с учетом явлений переброса). Как всегда, процессы рассеяния характеризуются длиной Л и временем т свободного пробега (это время часто называют в р е м е н е м р е л а к с а ц и и).
С их помощью можно рассчитать электропроводность и электронную теплопроводность кристаллов. Расчеты особенно просты в тех случаях, когда электронов мало и их движение рассчитывается с помощью эффективной массы. Рассчитаем для примера электропроводность металлов. Нод действием электрического поля Ь" электроны, находящиеся В зоне проводимости, приобретают ускорение еЕ/т* и скорость етзу,Ут*.
Производя усреднение по всем электронам, найдем Е, т' 112,40) где т — среднее время свободного пробега. Среднюю скорость электронов о„, обычно называют с к о р о с т ь ю д р е й ф а. Как мы видим, скорость дрейфа пропорциональна напряженности поля Е. Их отношение называется и о д в и ж н о с т ыо э л е к- ГЛАВА 12 322 Используя (12.40), можно получить формулу для электропроводности металлов. В соответствии с законом Ома удельная проводимость гг связана с плотностью тока 1 соотношением гг =- т'УŠ—.— иев, (Е, где и— концентрация электронов. С помощью (12.40) и (12.41) найдем (12.42) Как мы видим, столкновения электронов приводят к тому, что под действием постоянной силы электроны приобретают некоторую постоянную среднюю скорость.
В этом смысле поведение э л е к т р о ив н о г о г а з а в кристалле не отличается от поведения обычного газа и описывается привычными формулами кинетической теории. Различие состоит только в том, что в формулы входит не обычная, а э ф ф е к т и в н а я масса электрона (если концентрация свободных электронов невелика и можно вообще пользоваться понятием массы). В заключение рассмотрим влияние температуры на электропровод- ность.
Это влияние может проявляться через изменение п и изменение т. В металлах проводимость связана с присутствием электронов в зоне проводимости. Их плотность п мало зависит от температуры. Основную роль играет уменьшение г при нагревании. Время релаксации т с температурой уменьшается из-за увеличения числа фононов. 1!риведем таблицу с экспериментальными данными, иллюстрирующими зависимость электрического сопротивления от температуры, для двух металлов— алюминия и меди.
Таблица 8. Удельное электрическое сопротивление (10 ~ Ом см) для А1 и Си при раз- ных температурах В полупроводниках, т.е. в кристаллах, бедных электронами, решающую роль играет увеличение и (свойствам полупроводников посвящена гл. 13). з 63 ЭлектРОны В метАллАК 323 963. Электроны в металлах До сих пор мы исследовали явления, которые могут быть поняты путем анализа движсния «одиночных» электронов, не оказывающих существенного влияния друг на друга. Во многих практически важных случаях такое влияние, однако, играет важную или даже определяющую роль. Взаимное влияние электронов прежде всего сказывается через принцип Паули. Начнем с оценки.
Электроны подчиняются статистике Ферми. Распределение Ферми изображено на рис. 84 и описывается форму- лой (8.19); (12.43) ехр [(Š— Р) ( П'1 + 1 д(Е) ТИТЕ -- 2И вЂ” дЕ. (2яй)з г2Е (12.44) Число 2 заменяет для электронов множитель (22+ 1), определяющий число спиновых состояний. Найдем энергию Ферми при Т = 0 для металла, у которого в зоне проводимости имеется один электрон на атом. Приходящееся на единицу объема число атомов, а следовательно, и число электронов в зоне проводимости для всех металлов по порядку величины равно Х 10~~ см Из (12.43) следует, что при низких температурах заняты (и, =- 1) все уровни с Е < д и свободны (пь = О) все уровни с Е > д. Примем для оценки, что электроны в металле свободны (что их энергия и импульс связаны между собой обычной формулой Е .††рз/2т, где ги — масса электрона). Интегрируя (!2.44) от нулевой энергии до энергии Ферми, найдем, что концентрация электронов (1/1х) 1 д(Е)г1Е равна о Х = 2 — = —, (2тд)з~~.
з 3 (2яй)а 3 (2яй)з (12,45) Разрешим полученное выражение относительно д, и подставим в него Здесь я, — среднее число электронов в одном состоянии,Š— энергия состояния, д — константа (на самом деле — слабая функция температуры), носящая название з н е р г и и Ф е р м и. Число разрешенных состояний д(Е) пЕ в объеме И в интервале энергии г1Е можно найти с помощью формулы (8.9): 324 ГЛАВА 12 принятое значение дг: р =- 1 (3яздзКР 5 эв. 2т (12.46) Напомним, что энергии 5 эВ соответствует температура около 50 тысяч градусов Кельвина.
Таким образом, энергия Ферми во много раз превышает температуры, при которых существуют твердые тела. Наша оценка показывает, что сделанное в начале расчета предположение о том, что Т = О, на самом деле является лишним, так как и всегда много больше йТ. Таким образом, при любых температурах, при которых металлы существуют в твердом виде, э л е к трои н ы й га з в металлах сил ь но вы рожден: все нижние состояния зоны проводимости, вплоть до 1ь заняты, все более высокие — свободны, а между ними находится узкая область шириной порядка йТ, в которой имеются частично занятые состояния.
Электроны, занимающие эту область,— и толька они — перераспределяются при различных физических процессах. Из сказанного ясно, что в физике металлов важнейшую роль играют электроны, энергия которых близка к энергии Ферми. Эти электроны располагаются вблизи п о в е р х н о с т и Ф е р м и — поверхности Е = = и в 1с- (или р-) пространстве.
Поверхность Ферми сохраняет периодичность по волновому числу (или квазиимпульсу) и состоит из повторяющихся геометрических фигур, которые могут иметь самые разные формы. На рис.!30 изображена поверхность Ферми для меди. Элементы поверхности имеют почти сферическую форму. Намного более сложный вид имеет поверхность Ферми у свинца (рис. 131). Большая или меньшая сложность поверхности Ферми зависит от симметрии кристаллической решетки и от плотности электронов. Высокая концентрация электронов в зоне проводимости существенно сказывается на большинстве физических свойств металлов. Однако она почти не влияет на теплоемкость металлических кристаллов.
При достаточно высоких температурах теплоемкость как диэлектриков, так и металлов неплохо описывается формулой Дюлонга и Нти (11.45), в которой учтены только те степени свободы, которые связаны с движением атомов, и не принимаются во внимание электроны. По классическим представлениям их присутствие должно было бы, грубо говоря, удваивать теплоемкость, чего на самом деле не происходит.
Причина, меп~ающая электронам проводимости вносить вклад в теплоемкость, заключается в их в ы р о ж д е н и и. Подавляющая часть электронов никак не реагирует на нагрев или охлаждение кристалла, потому что их движение измениться не может. Повышение температуры 325 з 63 ЭлектРОны в метАллАК сказывается только на той части электронов, энергия которых близка к энергии Ферми. При повышении температуры эта область «размывается», а при понижении — сужается. Доля этих электронов, грубо говоря, равна отношению «приповерхностного» объема к полному, т.е. Ыре г«рм гфе -3 з рн' где урн — «область размытия» поверхности Ферми. Полагая для оценки Е = р~/2гп, г1ЕЛ - -2КТ, найдем 4 Г 1 МЕР И" РР 2 Р Р' Рис. 130. Поверхность Ферми для Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
