Л.Л. Гольдин, Г.И. Новикова - Квантовая физика. Вводный курс (1129347), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Волны Блохх Уравнения (12.8) и (12.10), таким образом, идентичны. Это означает, что их решения можно выбрать так, чтобы они отличались только числовым множителем. Обозначим его С (величина множителя, вообще говоря, зависит от вектора трансляции а). Имеем, следовательно, (12.1Ц ф(г - а) = С„из(г). Самый общий вид функции, удовлетворяющей (12.11), имеет вид Ю(г) = ия(г)е (12. 12) где ия(г) — периодическая (с периодом решетки) функция г. Убедимся в том, что функция (12.12) действительно удовлетворяет уравнению (12.11).
При замене г на г -, 'а функция ия не меняется, а функция е'"" приобретает множитель Ся = е'Як, который является числом, зависящим от а. Если повторить трансляцию т раз, то уравнение (!2.12) приобретает множитель (е" )™, как и должно быть. Наше утверждение, таким образом, доказано. Функции (12.12) носят название ф у и к ц и й Блоха. Экспоненциальный множитель функции Блоха соответствует обычной плоской волне. Эта волна модулирована периодической функцией ия(г), которая зависит от структуры кристаллической решетки, от волнового вектора 1« и, вообще говоря, от некоторых других параметров (например, от поляризации волны).
Поянление периодической функции ия(г) в (!2.12) является вполне естестненным, так как электроны кристалла распространяются не в однородной среде, а н среде с периодически изменяющейся потенциальной энергией. К одним областям они притягиваются, а от других отталкиваются. Поэтому плотность электронной волны в кристалле периодически меняется (пропорционально ия(г) ). Она велика в «ямах» и мала «на холмах» потенциальной энергии. Как мы уже знаем, в кристаллах все физические величины являются периодическими функциями волнового вектора (и импульса).
Значения )с принято приводить к первой зоне Бриллюэна. В этой зоне следует выбирать как значение волнового числа, так и импульса — точнее говоря, квазиимпульса — электрона. Как показывает более подробное рассмотрение (см., например, ниже текст, набранный петитом), решения уравнения (12.7), удовлетворяющие всем необходимым требонаниям (однозначности, непрерывности, гладкости и конечности), могут быть найдены не при всех значениях Е.
Те значения Е, при которых уравнение Шредингера имеет такие решения, ГЛАВА 12 312 Исследуем функции Блоха более подробно. Рассмотрим уравнение Шредингера (12.?) Для простаты ограничимся одномерным случаем Как обычно, умножив уравнение на 2аг/й~ и введем обозначение 2гп г/г 1-( )1 /Л( (12. 13) Уравнение Шредингера примет вид ,/г / ' ., — ' /лг(г)Ф = О, г/х (12.14) Входящая в это уравнение функция я~(х) л|ожет, вообще говоря, сложным об- разом зааисеть от х.
Важно, однако, что в силу периодичности кристалла /с (х+ а) = я (х) (12.15) для всех х. Здесь а — период кристаллической решетки. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с периодическими коэффициентами носят название уравнений Матье и, вообще говоря, аналитически не решаются. Некоторые важные их свойства, однако, легка могут быть установлены. Покажем прежде всего, что среди решений (12.14) всегда имеются два независимых решения Фг(х) и Фг(х), которые при смешении на х, = а не меняют своего вида, а просто умножаются на некоторое число.
Так как при замене х на х г- а уравнение (12.14) не изменяется, для доказательства до с тат очно показать, что сушествуют два решения, у которых нач а л ь н ы е ус л о в и я, т.е. значения самой функции и ее первой производной, одновременно умножаются на некоторое число. При доказательстве будем вначале исходить из двух произвольных независимых решений этою уравнения фг(х) и Фг(х), которые, вообще говоря, указанным свойством не обладают. Искомые решения, как и всякие решения нашего уравнения, могут быть представлены в виде линейной комбинации этих двух решений Опуская индекс при искомом решении, запишем поэтому Ф( ) —..
Ьгфг(х)+бата (х). (12. 16) Для упрощения расчетов выберем в качестве мг(х) и фг(х) решения, обладаю- щие тем свойством, что в начальной точке г'а Фг(хо) = 1, Фг(ха) =- О, ~г(та) =- О., г/г(ха) =' 1. (1'2. 17) образуют области, называемые разрешенными зонами, а области, в кото- рых решений нет, называются запрещенными зонами энергии. К этому результату мы уже приходили с другой та1ки зрения. 361. Волны Блоха 313 Здесь и ниже штрихами обозначены производные по х. Подставляя эти значения в (!2.16), найдем начальные значения Ф(х): Ф(хо) = Ь„Ф'(хо) = Ьг.
(1'2. 18) Г!ри переходе через период функция Ф и ее производная равны Ф(хо ч-а) = Ьггггг(хо+ а)+ Ьгфг(хо+ а), Ф (хо- а) = ЬгФг(хо —, а) +Ьггдг(хо+а). (12.19) Функция Ф будет обладать необходимым свойством, если Ф(хо+ а) = ЛФ(хо), Ф'(хо -1- а) = ЛФ'(хо), (12.20) где Л вЂ” некоторое число (в общем случае комплексное). Подставляя (12.!8) и (12.19) в (12 20), найдем Ьдач(то+ а) х Ьгфг(хо а) =- Лбы Ьгагг(хо+ а) г- Ьг4,(хо '.
а) = ЛЬг. (12.21) Система (12.21) однородна относительно неизвестных коэффициентов Ьг и Ьг н имеет решение в том и только в том случае, если ее детерминант равен нулю. Ф (хо — а) —.Л, бм( о — 'а) 0 Фг(хода), Фг(хо — 'а) -Л( (12.22) Уравнение (12.22) является квадратнь1м уравнением относительно Л и определяет два решения Лд и Лг. Для каждого из ннх система (12.2!) может быть разрешена и определяет (с точностью до постоянного множителя) два набора решений Ь'„Ь~г н Ь",, Ь~г'. Подставляя эти значения в (12.16), получим функции Ф,(х) и Фг(х), определенные с точностью до постоянного множителя.
Это и есть искомые функции, существование которых мы, таким образом, доказали. Исследуем уравнение (12.22). Раскрывая детерминант, найдем Л -- Л[фг(хо Ф а) — ' Фг(хо а))-'г — [Фг(го а)ыг(хо — а) — М(хо+ а)фг(хо -1- а)1 = О. (12.23) Г'(х) = Фг(х)ь,"г'(х) — Фг'(х)фг(х) = Фг (х)!с "(х)фг(х) — й (х)1~"г(х)таг(х) = О. Покажем прежде всего, что стоящее во второй квадратной скобке выражение равно единице.
Это выражение равно значению, которое принимает в точке хо †' а функция гг(х) = Мх)тг'х — о'г(х) Ьг(х). Вычислим производную этой функции. Дифференцируя у(х), найдем 1ллвл 12 314 При вычислениях мы воспользовались тем, что функции вп(х) и Фг(х) являются решениями уравнения (12.14). Таким образом, функция 2(х) просто является константой. С помощью (12.7) нетрудно убедиться, что в начальный момент, а следовательно, и всегда она равна единице. Уравнение (12.23) принимает теперь окончательный вид Л вЂ” Л [~Ой (ха + а) ' Фг (хо т а)~ + 1 = О.
(12.24) Введем обозначение Фг(ха — и) + Фг(хо -' а) = 2С. (12225) Корни (12.24) равны Л,, = С~,УС'- — 1. (12.26) Рассмотрим прежде всего случай, когда [С > 1. При этом оба значения Л действительны, причем ни одно из них не равно единице. В этом случае решения Фг(х) и Фг(х) при переходе через каждый период решетки умножаются на действительное число, не равное единице, т.е. либо неограниченно убывают, либо неограниченно возрастают (что соответствует движению навстречу затухающей волне). Общее решение уравнения Шредингера может быть представлено в виде линейной комбинации Фг(х) и Фг(х) и обладает тем же свойством. В этом случае электронная волна не может беспрепятственно распространяться по кристаллу, что соответствует з а п р е щ е н н о й з о н е.
При С~ < 1 удобно положить (12.27) С =- соз и, где и — новая константа Имеем при этом (12.28) Лцг .— е В этом случае решения Фг(х) и Фг(х) при смещении на период решетки не изменяют своей величины и просто уыножаются на фазовый множитель (12.28). Случай ,'С~ < 1 соответствует р а з р е ш е н н ой з а н е. Функции Фг и Ф при переходе через период решетки умножаются соответственно на множители ехр(гь!м).
Запишем эти решения в виде Фг г = иьь(х)е ьгь (12.29) где й выбрано так, что ( ! 2.30) й = и/а. Найденные решения совпадают по форме с функциями Блоха (12.12) (в одномерной записи). Множитель ехр(=!йх) обеспечивает нужное изменение Ф при смещении на период. Функция иь(х) должна поэтому возвращаться к своему исходному значению, т.е. быть периодической.
Как уже отмечалась, эта функция (вернее, $61. Волны Блохл квадрат ее модуля) определяет изменение электронной плотности внутри ячейки кристалла. Она мадулирует по амплитуде н по фазе плоскую волну, которая описывается экспоненциальным множителем в (!2.29). Определенная формулой (12.30) величина й является с р е д н и и в оп н о в ы м ч и с л о м электронной волны. Произвольное решение уравнения (!2.!4) является линейной комбинацией волн Блоха Фт и Фз, движущихся в разные стороны (в трехмерном случае— наложением волн, распространяющихся во всевозможных направлениях). Полученный нами результат содержит, таким образом, два утверждения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
