Л.Л. Гольдин, Г.И. Новикова - Квантовая физика. Вводный курс (1129347), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Проводники и изоляторы Применим представление о зонах к объяснению электропроводности твердых тел и для выяснения причин, приводящих к тому, что одни из них являются проводниками, а другие — изоляторами. Мы уже знаем, что энергия электронов в твердых телах может принимать значения, заключенные в разрешенных энергетических зонах. Мы отмечали, далее, что соединение атомов в твердое тело не меняет числа квантовых состояний. Так, в любом атоме есть два !з-состояния; после объединения Х таких атомов в твердое тело зона 1з содержит 2йГ-состояний. В атоме лития (рис. 123) оба состояния 1з заняты, !з-зона в кристалле лития поэтому полностью заполнена.
В других твердых телах заполнена не одна, а несколько нижних зон. Электроны нижних зон не участвуют в проводимости по двум причинам, из которых каждая является достаточной. Первая из них заключается в том, что электроны, находящиеся в этих зонах, эпривязаныя к своим атомам (их волновая функция мала в промежутке между атомами), вторая — в том, что эти зоны з а п о л н е н ы. Электроны заполненных зон нс могут участвовать в электропроводности, даже если эти зоны лежат высоко и электроны обобществлены. Чтобы разобраться в этом важном вопросе, рассмотрим. как кванту- ются уровни в обобществленных зонах.
В изолированных атомах уровни кваптуются по энергии, угловому моменту и его проекции. Такое квантование уровней естественным образом следует из сохранения вектора углового момента в центральном электрическом поле атома. Потенциальная энергия электрона в кристалле сложным образом зависит от координат (рис. 108). Электрическое поле в кристалле нецентрально; угловой момент обобществленных электронов при движении не сохраняется и, конечно, не может служить основой для квантования.
Применяя для зон обозначения 1з, 2з, 2р и т.д., следует помнить, что буквы з и р здесь служат указанием на соответствие между положением зон и уровнями изолированных атомов и не характеризуют угло- $60. Проводники и изоляторы 30? вой момент электронов (если не говорить о самых внутренних электронах, на поведении которых объединение атомов в кристалл сказывается очень мало). Рассмотрим верхнюю из нарисованных на рис. 108 энергетических линий.
Электрон, энергия которого лежит выше максимумов потенциальной энергии, свободно перемещается по кристаллу, отражаясь от его краев. Движение электрона в этом случае очень напоминает обычное движение в потенциальной яме (9 9). Роль краев ямы играют границы кристалла. В отличие от простого случая, рассмотренного в 9 9, дно ямы имеет сложный рельеф, наличие которого вносит в явление некоторые новые черты. На первых порах отвлечемся от наличия этого рельефа, т.е. перейдем к приближению свободных электронов. Мы видели (з 9), что энергия электрона в потенциальной яме квантуется. Волновая функция электрона имеет вид (3.10): кг — -- сц =-.
А зшйю. Заменяя в этом выражении гйпйж с помощью мнимых экспонент, представим тр-функцию в виде ту= те" зе у=С е'"+С е Таким образом, волновые функции электрона в рассматриваемом приближении представляют собой совокупность двух волн, движущихся налево и направо'. Их волновые числа служат основой для квантования движения обобществленных электронов. Вернемся к электропроводпости твердых тел.
Наличие электрического тока означает, что число электронов, движущихся, например, направо, превышает число электронов, движущихся налево. Но количества квантовых состояний, отвечающих движению направо и налево, всегда равны друг другу. Если все квантовые состояния заняты, не может возникнуть никакого преимущественного направления движения, не может быть, следовательно, и электрического тока.
Иначе обстоит дело в частично заполненной зоне, где состояния с разными направлениями движения могут заполняться одинаково или по-разному. В качестве примера вернемся к кристаллу лития (рис. 123). Зона 2а в твердом литии заполнена лишь наполовину: в зоне существует 2Х-состояний 2н, а у каждого из ут' атомов лития имеется всего один 2а-электрон; их полное число равно поэтому (тг. 'Напоминаем читателям, что мы, как обычно, опускаем множитель е ' ', так что полная запись имеет аиа ~,' = Сг ехр[г(кл — мб)) — .
'Са ехр[ — г(ал -~- ыт)]. ГЛАВА 12 В отсутствие электрического поля количество электронов, находя- шихся в состояниях, отвечающих движению в противоположные стороны, одинаково, и тока нет. Если приложить электрическое поле, то движение электронов в частично заполненной зоне меняется: состояния, отвечающие движению по полю, становятся энергетически более выгодными и потому более плотно заполняются. Кристалл проводит электрический ток.
Поэтому частично заполненные зоны называются з о н а м и проводимости. Отличие проводников от непроводников, таким образом, сводится к наличию или отсутствию частично заполненной энергетической зоны. Из сказанного выше ясно, почему все твердые тела, состоящие из одновалентных атомов (ьй Ха, К, Сп и др.), являются проводниками. Обратимся теперь к двухвалентным атомам (Ве, МК и др.), у которых оба з-состояния заняты. Рассмотрим в качестве примера энергетические зоны бериллия, изображенные на рис. 124. Зона 1з у бериллия очень узка и полностью занята.
Зона 2з также заполнена, так как оба состояния 2з в атоме бериллия заняты. На уровне 2р у атома бериллия нет электронов (в основном состоянии). Можно было бы поэтому ожидать, что твердый бериллий окажется изолятором. Но из рисунка видно, что у бериллия зона 2р (с 6Л' свободными состояниями) перекрывается с зоной 2з и, таким образом, из двух зон 2з и 2р образуется одна общая зона с 8Х-состояниями, из которых занято только 2Ж-состояний. Поэтокзу бериллий оказывается проводником. Лнализ расположения зон в твердых телах показывает, что все атомы с одним, двумя и тремя валентпыми электронами (сверх оболочки инертного газа) образуют твердые тела с хорошей проводимостью, характерной для металлов.
Рис. 124. Энергетические зоны бериллия. Косой пприхоикой указаны заполнен- ные электронами уровни. $61. Волны Блохх 309 Валентная зона ф 61. Волны Блоха Исследуем движение обобществленных электронов в кристалле более внимательно. Энергетические уровни электронов определяются из уравнения Шредингера лв — — Ььз(г) + И(г)Яг) = ЕЮ(г),. 2пт (12. 7) Рассмотрим теперь структуру зон у и з о л я т о р о в.
У изоляторов последняя из занятых зон — валентная зона — полностью занята, а зона проводимости совершенно пуста. Схема расположения зон у изоляторов изображена на рис. 125. В качестве примера рассмотрим структуру зон у КаС1. На рис. 126 изображены зоны кристалла ХаС!, получающиеся при расщеплении уровня Зз натрия и уровня Зр хлора.
Ьолее низкие зоны не представляют интереса, так как они заполнены. Кристалл МаС! состоит из ионов Ха и С( При образовании ионов энергия Зз-уровня натрия повышается (затрачивается энергия на от- Зона рыв электрона), а энергия Зр-уровня хлора пони- проводи- масти жается (выделяется энергия при присоединении электрона). Поэтому уровни Зз и Зр пересекаются и электроны уходят из зоны Зз натрия в зону Зр хлора, где есть бтУ свободных мест. Зона Зр оказывается до конца заполненной, а зона Зз — совсем пустой. Расстояние между зонами велико (10 эВ), и спонтанный переход электронов с нижней зоны в верхнюю при обычных тем- пературах очень мало вероятен.
Поэтому гчаС! Ряс. 125, Расположение оказывается хорошим изолятором. энергетических зон Изоляторы представляют собой системы, у у изолятора. которых число электронов в точности равно числу квантовых состояний в заполненных зонах. На примере (х!аС1 было показано, что такое равенство автоматически выполняется в некоторых кристаллах. На электропроводность кристаллов сильно влияют примеси. Атомы примесей могут отдавать свои электроны в незаполненную зону или поглощать их из заполненной. В обоих случаях возникает проводимость.
Таким образом, хорошими изоляторами оказываются лишь достаточно чистые кристаллы. ГЛАВА 12 С! 'на гь Рнс, 126. Картина расположения верхних энергетических зон в кристалле МаСК где ф — волновая функция электрона, 1'(г) — его потенциальная энергия в электрическом поле решетки, а Š— его полная энергия. Рассмотрим свойства этого уравнения в декартовой системе координат.
Оператор Лапласа, стоящий в первом члене формулы, является дифференциальным оператором и от выбора начала координат не зависит. Потенциальная энергия, входящая во второй член левой части уравнения, представляет собой периодическую функцию координат, поскольку 1'(г — а) =- г'(г), (12.8) где а — любой целочисленный вектор трансляции. Введем новую систему координат, смещенную относительно старой на — а. Векторы р (с проекциями Г, г1, с) в новой системе координат получаются из старых некторов г с помощью очевидной формулы р =- г -Г а.
(12.9) е~ — функция электрона в новой системе координат может быть получена с помощью уравнения Шредингера, записанного в этой системе координат: — — гхьь(р) + !'(р)гл(р) = Еф(р) (12.10) Легко видеть, что уравнения (12.8) и (12.!О) не отличаются одно от другого, поскольку +, =,, л=~Л дэ дэ дт д2 дэ дз дюз дуя д а дьлз ' дг!и дьла 1'(р) = 1'(г+ а) = 1х(г). $61.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
