Л.Л. Гольдин, Г.И. Новикова - Квантовая физика. Вводный курс (1129347), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Разрешенные и запрещенные зоны В твердых телах атомы близко подходят друг к другу и не могут рассматриваться как независимые. Задача о положении уровней взаимодействующих атомов очень сложна и нс может быть исследована простыми методами. Основные эффекты, которые возникают при таком взаимодействии, близки к эффектам, происходящим при взаимодействии классических колебательных систем. Рассмотрим две одинаковые классические колебательные системы Х и У, например, два маятника или два колебательных контура. В отсутствие взаимодействия их движение описывается обычными уравнениями (12.1) х- ок х =О, у+щ у=О. Переменные т и у в этих уравнениях определяют характерные для системы изменяющиеся величины — отклонение маятников или напряжение в электрических контурах и т.д. Частота колебаний гп у обеих колебательных систем одинакова.
«Включим«взаимодействие между системами (наприьтер, свяжем маятники слаоой пружинкой или сблизим колебательные контуры). Сила, действующая на первую систему, начнет после этого зависеть нс только от координаты х этой системы, но и от координаты у другой системы. В силу одинаковости систем влияние системы У на систему Х равно влиянию системы Х на систему У. В присутствии взаимодействия уравнения движения примут поэтому вид' х — щ х+ оу = О. у+ щзу -, ап: = О, (12.2) 'Равенство ковффипиептов при перекрестных членах докааываетск в Приложении П). аПри написании (!2.2) предполагалось, что,о) « ька.
959. СвязАнные колеБАтельные системы зоз Чтобы решить эту систему, следует перейти к координатам и и ш и = к+ у, ш = (и+о)У2. о = ш — у, у = (и — тг)гг2. (!2.3) Складывая и вычитая уравнения (12.2), с учетом (12.3) найдем й+ (оз + а)и = О, О+ (ага — а)о = О. (12А) Вводя обозначения 2, 2 'Зт ОЗ Гхг ОГ2 (12.5) найдем 'и — Аг з122( ~гг-, газ)г и = Аззш(ш21 — , '922).
(12.6) Ат и А2 — амплитуды колебаний,:дт и гдз — их начальные фазы. Возвращаясь с помощью (12.3) к переменным л и у, найдем, что колебания наших систем складываются из двух гармонических колебаний и и о, несколько различающихся по частоте'. Константы Аз, А, гдт и р зависят от начальных условий. Рассмотрим, например, случай, когда в момент а =-- О колебалась только система Х.
Нетрудно убедиться, что в этом случае Аз = Аз — А и грз =.газ = = пгг2. Тогда ю = — (сов шг1 р созоз21), д .= —,(созиггг — созог21). А А 2 ' 2 С течением времени различие между штг и иг21 постепенно увеличивается. При о 21 — нг21 = я колебания в системе Х затухают, а в системс 1" доходят до максимума. Затем снова вся энергия колебаний сосредотачивается в системе Х и т.д.
Главный результат, который следует отметить, заключается в том, что две одинаковые системы с равными собственными частотами после «включения» взаимодействия характеризуются двумя коллективными колебаниями и и и со слегка ярасщепившимися» частотами ~т и В квантовой механике уровни энергии осциллятора квантуются, причем расстояние между уровнями равно энергии перехода й ~. Изменение частоты колебаний нг приводит к изменению расстояния между уровнями. Расщепленные уровни энергии, соответствующие колебаниям и и о, являются коллективными уровнями и характеризуют не атомы порознь, а систему из двух взаимодействующих атомов.
гВ теоретической механикс гарлюннческне саставляющне и н о носят название нормальных колебаний. зол ГЛАВА 12 Подобное «расщепление» частот происходит и в кристаллах, состоящих не из двух, а из большого числа взаимодействующих между собой одинаковых атомов. Наиболее сильно выражено расщепление «верхних» уровней, связанных с движением электронов, слабее всего связанных со «своими» атомами и ближе всего подходящих к «чужим» атомам'. Рассмотрим для примера кристалл, содержащий грамм-атом нещества. Каждый из уровней в этом случае расщепляется на 6 10зз подуровней.
При этом величина расщепления зависит не от числа атомов в кристалле, а от силы их связи. Поэтому все подуровни, на которые расщепляется один атомный уровень, находятся внутри некоторой полосы с.'»Е, ширина которой при не очень сильной связи оказывается существенно меньшей, чем расстояние между соседними невозмушенными уровнями. Ясно, что распределение расщепленных уровней в полосе тдЕ оказывается непрерывнымз. Уровни, образовавшиеся при расщеплении каждого атомного уровня, образуют свою р а з р е ш е н н у ю з о н у. Разрешенные зоны разделены между собой свободными от уровней энергетическими промежутками, которые называют з а п р е щ е н н ы м и з о н а м и. Зону, возникшую при расщеплении какого-либо уровня, принято обозначать также, как и сам уровень.
На рис. 123 изображено образование энергетических чон из атомных уровней 1з и 2з в кристалле лития. На рисунке видно, что зона 2з существенно шире зоны 1в, так как радиальная протяженность волновых функций, соответствующих уровню 2л, гораздо больше (рис. 107), чем их протяженность для 1л-уровня, и взаимодействие 2з-уровней проявляется существенно сильнее.
Рассмотренная картина расщепления характерна для всех твердых тел. В зависимости от свойств конкретного тела меняется число, ширина и распределение зон, но общий характер картины не изменяется. Низко расположенные атомные уровни переходят в твердом теле в очень узкие зоны, а высоко расположенные уровни образуют зоны большой ширины. Если в твердом теле имеется несколько сортов атомов (например, в случае МаС)), то возникиот зоны из уровней энергии всех компонент. Самыми широкими оказываются зоны, соответствующие уровням валентных электронов.
Именно поэтому у твердых источников излучения не обнаруживаются линейчатые оптические спектры, характерные для атомов, входящих в их состав. При нагревании твердых тел до высоких температур появляется лишь непрерывный спектр «черного 'Расо~воление нижних уровней крайне незна ~нтельно (волновые функнии внутренних электронов практически не перекрываются!) и не приводит к каким-либо новым физическим явлениям тслсдуе» иметь в виду, что уровни имеют конечную ширину и что расстояние между уровнями оказывается меньше их ширины.
э 59 СвязАнные колеБАтелы!ые системы 305 Зона проводимост Запрешенна~ зона Заполненная зона ~валентная Рис. 123. Образование разрешенных зон из одиночных уронней (литий). Горизонтальными линиями условно изображены квантовые состояния разрешенных зон.
Косая штриховка отмечает уровни, занятые электронами. тела» (гл. 9). В то же время характеристические рентгеновские спектры, возникающие при переходах между очень узкими внутренними зонами, превосходно наблюдаются при использовании твердых тел в качестве анодов в рентгеновских трубках. Связь атомов в кристалле на характеристических рентгеновских спектрах практически нс сказывается. Следует подчеркнуть, что образование зоп из атомных уровней происходит во всех кристаллах, независимо от их типа.
Различие между кристаллами состоит не в наличии или отсутствии зон, а в расположении зон и в характере их заполнения. Вопрос о заполнении энергетических уровней обобществленными электронами кристалла принадлежит к числу кардинальных. Как мы уже знаем, электроны являются фермионами и подчиняются принципу Паули. Число электронов в зоне не может превзойти числа имеющихся в ней квантовых состояний — «числа мест».
Поэтому важно понять, сколько «мест» имеется в той или иной зоне. Начнем с двух сближающихся колебательных систем, которые только что рассматривались. йлты выяснили, что одинаковые до сближения частоты после «включения» взаимодействия начинают расходиться. Однако число степеней свободы при этом не изменяется. До сближения имелись две тождественные степени свободы. При сближении систем частоты колебаний перестают совпадать, но число степеней свободы остается равно двум. Постоянство числа степеней свободы нетрудно понять, заметив, что это число дискретно.
Непрерывно производимое сближение приводит к столь же непрерывному изменению энергии уровней, но не ведет к изменению числа «мест», которое может меняться толь- 30б ГЛАВА 12 ко скачками. Этот вывод справедлив и для атомов в кристалле. Уровни в разрешенных зонах многократно перекрываются и образуют сплошной разрешенный энергетический интервал — зону. Однако число уровней — число электронов, которые могут помести ться в зоне, от взаимодействия не зависит и точно и з в е с т н о: оно равно числу атомов в кристалле, умноженному на число мест на том уровне, из которого — или из которых — образовалась зона. В 60.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
