Л.Л. Гольдин, Г.И. Новикова - Квантовая физика. Вводный курс (1129347), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Первое из них состоит в том, что электронная волна, распространяющаяся в кристалле, описывается не простой плоской волной, а волной, модулированной по амплитуде (и по фазе). Этот результат является вполне естественным, н его можно было предугадать заранее. Второе утверждение состоит в том, чта энергия электронов, распространяющихся в кристалле, может принимать не любые значения, а лишь значения, лежащие в области разрешенных зан. Исследуем границу между разрешенными и запрещенными зонами. Как ясно из (!2.26), такие переходы происходят в точках Сз = 1. Это означает, что при движении через разрешенную зону С меняется от — 1 до .!1 или от +1 до - 1, а н, в соответствии с (12.27), от -тг да +тг или от я до -.тг.
Сопоставляя этот результат с (12.30), мы приходны к еще одному важному вгяваду. Переходы между запрещенными и разрешенными зопамн происходят на границах зоп Бриллюэн а, т.е, при волновом числе, соответствующем границе зон Бриллюэна, полны перестают распространяться в кристалле-. Аналогичная ситуация имеет место при отражении рентгеновских лучей.
В самом деле, из оптики рентгеновских лучей известно, что электромагнитные волны плохо проходят через кристалл (отражаются от него) при выполнении условия Брэгга — Вульфа 2оЬвш0 = пЛ. (12.31) В одномерном случае каждая кристаллическая плоскость изображается точкой и распространяющаяся вдоль линии точек волна движется вдоль этой линии, так что д = пу'2.
Заме!шя ог на и и Л па 2х,гк, найдем, что отражение волн наступает при (12.32) й —.-. — ' 'п, р = — 'и, ' а ' о т.е. как раз на границах зон Бриллюэна. 'Периодические функция ггье, воофде говоря, комплексны. Их амплитуда определяет изменение электронной плотности, з фаза — отклонение реальной фазы электронной волны от равномерно меняющейся фазы плоской волны.
Содержащееся в иь периодическое изменение фазы нас в дальнейшем интересовать не будет -Все сказанное оолносшю применимо только к одномерному случаю. В трехмерном случае картина усложняется. 3!6 ГЛАВА 12 Полученные соотношения справедливы не только для электромагнитных, но и для любых волн. В самом деле, из (12.32) следует, что а —.— ЛЛ72.
Разность хода между волнами, отраженными от соседних кристаллических плоскостей, равна 2а = иЛ. Иначе говоря, все отраженные волны находятся в фазе и усиливают друг друга. Ясно, что это условие является вполне общим и не предполагает, что рассматриваемая волна является имеьшо электромагнитной. При сильном отражении волна не может распространяться в кристалле, что характерно для запрещенной зоны.
Каждая запрещенная зона соответствует некоторому диапазону изменения энергии и одному — брэгговскому — значению импульса. Проследим связь между импульсом электрона и его энергией. — 2 — 'й — — Л , я г а а О ал 2лдл а а Рис. 127. Энергия и импульс почти свободного электрона в кристалле. На рис. 127 изображена обычная параболическая зависимость энергии от импульса, характерная для свободного электрона.
При наличии периодического поля в точках, удовлетворяющих соотношению (12.32), возникают запрещенные полосы (рис. 127 характеризует случай очень слабого периодического поля, когда изменяется не вся кривая Е = Е(р), а только участки, прилежащие к границам зон Бриллюэна).
Зависимость энергии от импульса в этих точках искажается (разрывы в сплошной кривой), причем никаких запрещенных областей импульса не возникает, а запрещенные энергетические зоны соответствуют границам зон Бриллюэна. Участки параболической кривой, соответствующие второй зоне Бриллюэна, можно сместить в первую зону (как мы уже знаем, закон сохранения импульса в кристалле выполняется с точностью до 2п1т~2).
з 62. ДинАмикА электРОнОВ В кРистАлле 31Т ф 62. Динамика электронов в кристалле. Электропроводность кристаллов Как мы уже могли убедиться, энергия и импульс электронов в кристаллах, вообще говоря, связаны между собой сложным з а к о н о м д и с п е р с и и, а не привычным соотношением Е =. рз(2»п, характерным для классической физики. При расчете движения электронов нужно исходить непосредственно из закона дисперсии.
Основной закон движения электрона, записанный в ньютоновской форме, имеет вид П (12.33) Это уравнение позволяет находит импульс (вернее — квазиимпульс) электрона, если известны действующие на него силы (магнитные и электрические). Вычисление импульса является первым шагом в решении задачи о движении электрона. Следующий шаг состоит в том, чтобы по найденному импульсу рассчитать скорость и координату. Знание координат позволяет найти силы и, таким образом, замкнуть решение.
Скорость электрона равна групповой скорости соответствующей волны Блоха. Переходя от гц и )с к Е и р, найдем (12,34) Такая процедура проделана на рисунке (штрихпунктирная кривая). Та же операция может быть проведена и с участками кривой, расположенными в следуюших разрешенных зонах. Кривая зависимости энергии от импульса при этом целиком умешается в первой зоне Бриллюэна, но содержит несколько Ветвей.
Мы видим, таким образом, что два совершенно разных подхода — теория, основанная на исследовании поведения электронов, которые сильно связаны в своих атомах Я 60), и теория «почти» свободных электронов, движушихся в периодическом поле (настояший параграф), — приводят к одинаковым выводам. Это совпадение заставляет думать, что полученные результаты имеют очень общий характер и должны выполняться в любых кристаллах. В частности, формулы, связывающие энергию и импульс электронов, и вся динамика электронов в кристалле совершенно не похожи на соответствующие формулы— и динамику — свободных электронов.
Опыт хорошо подтверждает эти выводы. 3!8 ГЛАВА 12 Формулу (12.34), содержащую дифференцирование по вектору, нужно понимать как сокращенную запись формул ц = дЕ/дрт, и т.д. Координаты электрона находятся путем интегрирования (12.34). Формулы (12.33) и (12.34) возвращают нас от кристалла с его сложным устройством и волн Блоха к динамике одиночных электронов. Разберем некоторые простые примеры. —.
кдг'а 0 кГг/в Рнс. 128. Модельный закон дисперсии для электрона в кристалле. Пусть закон дисперсии электрона (т.е. зависимость его энергии от импульса) имеет вид, изображенный на рис. 128 (одномерная задача), и электрон находится в точке 1. В этой точке его импульс и энергия равны пулю и скорость ц .— —.
г1Е1др также равна нулю. Подействуем на электрон постоянной силой Е, направленной, например, вправо. Формула (12.33) показывает, что его импульс будет монотонно увеличиваться, а значит, электрон начнет смещаться вправо по кривой на рис. 128. Его энергия вначале возрастает. Вместе с ней увеличивается скорость. В точке 2 скорость (наклон кривой Е = Е(р)) достигает максимума. При дальнейшем действии силы электрон начнет приближаться к точке 3. Его импульс и энергия продолжают расти, а скорость (наклон кривой г(Е/др) падает. На границе зоны Бриллюэна (точка 4) электрон останавливается.
Фазовая скорость волны при этом остается положительной. Продолжим воздействовать на электрон той же силой. У правой границы зоны Бриллюэна происходит процесс переброса, и электрон «перескакиваеть к левой его границе — из точки 4 в эквивалентную ей точку 4' (напомним, что из импульса частицы всегда можно вычесть 2п11/а). При дальнейшем движении скорость меняет знак (движение направо сменяется движением налево), а энергия уменьшается. Электрон начинает все быстрее двигаться влево. В точке 5 он замедляет свое движение и, дойдя до точки 1, останавливается.
При изображенном на рис. 128 законедисперсиидвижение электрона под действием постоянной силы носит не равноускоренны й, а колебательны й характер. э 62. ДинАмикА электРОнОВ В кРистАлле На приведенном примере мы старались показать, какие кардинальные изменения вносит в динамику частиц кристаллическая решетка. Остановимся на их причинах. Переход от обычных уравнений Ньютона к уравнениям (12.33), (12.34) связан, конечно, не с тем, что кристаллическая решетка видоизменяет законы механики. Дело заключается в другом. Привычный метод решения сводится к тому, чтобы рассматривать движение электрона в суммарном поле, созданном как Внешними силами, так и зарядами электронов и ионов, входящих в состав кристалла.
Такой подход труден или даже невозможен. Однако оказывается возможным переписать уравнения Ньютона, оставив в их правой части одни только внешние силы. За это приходится расплачиваться изменением уравнений — переходом к уравнению (12.34). При таком подходе свойства кристаллической решетки включаются в уравнения движения. Это делается с помощью закона дисперсии Е = Е(р), форма которого, в принципе, может быть рассчитана, но, как правило, определяется экспериментально'. В окрестности точек Š†..Ем„ (точка !) и Е =.- Ео„„ (точки 4 и 4' на рис.
128) зависимость энергии от импульса в первом приближении носит квадратичный характер. В окрестности точки 1 она может быть изображена в виде Е = р~/2пт' (12.35) (коэффициент параболы 1г'2пт' ) О), а в окрестности точек 4 и 4' (12.35') (коэффициент параболы 1Г'2т* < О). В обоих случаях формула (!2.34) приобретает привычный вид (12.36) м =. р/тп если отсчитывать импульс от вершины параболы.
При таком отсчете импульса формулы (12.35), (12.35') и (12.36) совпадают с обычными формулами классической механики. Однако вместо массы свободного электрона т,„в них стоит его э фф е к т и ни а я масса пт', которая в центре зоны положительна, а у краев — отрицательна. При слабой связи, изображенной на рис. 127, эффективная масса электрона в центре зоны близка к массе свободного электрона. В реальных случаях связь не слаба, и эти массы могут отличаться в десятки и даже сотни раз. 'Мы отвлеклись сейчас от квантового характера движения алектрона (лифракция члектронной волны и т.д.) 320 глхвА 12 Формула (12.35) описывает зависимость энергии от импульса вблизи минимума потенциальной энергии лишь в изотропном случае. Если кристалл не изотропен (не обладает кубической симметрией), то эта зависимость имеет более сложный вид: 2 рз а (12.
35") 2т' 2т„* 2гп*. Эффективная масса электрона при этом зависит от направления. Вместо (12.36) имеем р =т г, р„=т*„ою р,=т"гц. (12.36') В качестве второго примера рассмотрим циклотронный резонанс. Исследуем движение электронов кристалла в постоянном однородном магнитном поле. Направим ось Я вдоль вектора магнитной индукции В. Будем считать, что электроны описываются приведенной массой т*. (Это заведомо так, сели кристалл принадлежит к кубической системе и число электронов в зоне невелико, так что все они умещаются вблизи дна зоны.) Вместо уравнения (12.34) можно в этом случае применять (!2.36).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
