Л.Л. Гольдин, Г.И. Новикова - Квантовая физика. Вводный курс (1129347), страница 67
Текст из файла (страница 67)
131. Поверхность Ферми для свинца. меди. Таким образолп доля электронов, участвующих в тепловом движении по порядку величины равна ЗИ'',Гр, т.е. при Т вЂ” 300 К составляет менее 1"т« от полного числа электронов. Именно поэтому при нормальных температурах электроны почти не вносят вклада в теплоемкость.
Ситуация кардинально меняется при низких температурах, когда теплоемкость решетки резко уменьшается. Произведем простые оценки. Теплоемкость, приходящаяся на один «полноправный» электрон, равна (3/2)1ъ Доля таких электронов, как мы выяснили, составляет ЗЙТ/1«. Концентрация электронов была обозначена ~ерез Х.
Таким образом, связанная с электронами теплоемкость, грубо говоря, ГЛАВА 12 326 равна с — Й»у ' , а электронная теплоемкость, рассчитанная на 1 моль (Х = Хл), равна 9 ВТ В литературе обычно приводится более точная формула для молярной теплоемкости электронного газа: к Р»Т », яа»»в (12.47) Эта формула совпадает с полученной выше с точностью до несущественного множителя и»'-г»9. Таким образом, теплоемкость электронного газа в металлах линейно зависит от температуры, в то время как теплоемкость решетки (теплоемкость фононного газа) пропорциональна Тз. Поэтому при достато шо низких температурах (порядка 1 К) электронная теплоемкость превышает решеточную. Вернемся к электропроводности металлов.
Формула (12.42) была выведена в предположении, что все электроны, находящиеся в зоне проводимости, принимают участие в электропроводности. Не следует ли в эту формулу внести поправочный фактор ЗАТ)ц, подобно тому как это делалось при расчете теплоемкости? Покажем, что в этом нет необходимости. На рис. 132 изображены две сферические поверхности Ферми — до и после включения электрического паля.
Четкие границы сфер характерРис. 132. К электропро- ны для низких температур. Результат включеводности металлов. ния поля можно рассматривать двумя способами. Можно считать, что сфера перемещается как целое (наша «старая» точка зрения), а можно говорить, что сфера осталась на месте и только левая заштрихованная лунка заменилась на правую, так что ток переносят только электроны, расположенные в лунках, т.е. вблизи поверхности Ферми («новая» точка зрения). Из рисунка ясно, что обе точки зрения в данном случае приводят к одному и тому же (по крайней мере, качественно) результату, так что формула (12.42) не нуждается в пересмотре. В заключение скажем несколько слов о роли столкновений в сильно вырожденном газе. Легко видеть, что такие столкновения в большинстве случаев «заканчиваются безрезультатно». Подавляющая часть состояний, в которые мог бы перейти электрон после столкновения, уже э 63 ЭлектРОны В метАллАх 32? занята, так что электрон может либо перейти в какое-либо из свободных состояний с энергией, большей и, что случается редко, либо остаться в своем первоначальном состоянии.
В этом случае говорить о столкно- вении не имеет смысла. ГЛАВА 13 ПОЛУПРОВОДНИКИ ф 64. Чистые и примесные полупроводники Пол у яр о води и ка м и на вы в а ются кр и с талл ы, которые при нормальных температурах проводят электрический ток, а при низких температурах являются изоляторами. Это означает, что у них при низких температурах самая верхняя из заселенных зон — валептная зона — до конца заполнена, а следующая за пей зона — зона проводимости — не содержит электронов. Между этими зонами расположена запрещенная зона, ширина которой часто называется шириной щели. В отличие от изоляторов, ширина запрещенной зоны у полупроводников невелика.
Так при комнатных температурах у германия ширина щели составляет всего 0,67 эВ, а у кремния — 1,11 эВ. Поэтому при нормальных температурах тепловое движение перебрасывает часть электронов из валентной зоны в зону проводимости и в обеих зонах появляется электропроводность'. Кроме германия, кремния и некоторых других элементов, к полупроводникам относится большое число химических соединений. Среди них важную роль играют бинарные соединения, составленные из двух атомов, принадлежащих разным группам периодической системы: баЛь, А166, 1п66 и многие другие.
Четкой границы между полупроводниками и изоляторами нет. Обычно к полупроводникам относят вещества с шириной щели меньше 3 эВ. Энергетическая схема расположения зон в полупроводниках приведена на рис. 1ЗЗ. На этом рисунке изображено положение зон и расположение энергии Ферми-' у чистых, или, как еше говорят, с о б— с т в е н н ы х, полупроводников, т.е. полупроводников, практически не содержащих примесей. Направление вверх соответствует возрастанию потенциальной энергии электрона. Электрический потенциал возрастает в обратном направлении. Как будет пояснено ниже Я 66), энергия 'Большую роль в проводимости играют примеси. ЗВ физике твердого тела энергию Ферми аам ~гго обозвачают Еи, а пе гг.
э 64. Чистые и ПРимеспыв полУИРОВОДники Зона =проводимости= .'Энергия Ферми Запрещенная зона Валенгнвя зона Рис. 1ЗЗ. Схема расположения энергетических вои у чистых полупроводников. Ферми у собственных полупроводников лежит вблизи середины: запрещенной зоны. Количество электронов в зоне проводимости !и свободных мест в валептной зоне) составляет у собственных полупроводников ничтожную долю < 1О 'о от числа атомов. Поэтому даже очень пеболыпие концентрации примесей, способных увеличивать или уменьшать количество электронов проводимости, существенно влияют на электрические свойства полупроводников.
Полупроводниковая техника стала интенсивно развиваться лишь после того, как были найдены методы получения веществ исключительной чистоты. Оценим энергию связи электронов в полупроводниках. В водородоподобных атомах энергия связи электронов выражается формулой В атомах, не принадлежащих к числу водороподобных, эта формула может быть использована в качестве оценочной.
При определении л следует учитывать экранировку ядра внутренними электронами электронной оболочки атома. При оценках можно полагать л =" 1. Радиус боровской орбиты у водородоподобных атомов определяется выражением йг о = 7 ГГ1 е Е 11ри оценках и в этом случае можно полагать л = 1. Для кристаллов вместо массы электрона т„ следует подставлять эффективную массу т*, которая у полупроводников в несколько или даже во много раз меныпе тя, Рассчитанный по приведенной форму- 330 ГЛАВА 13 2евйз и" еа (13.1) =0,5.10 ае — ' см т*ее ш' (13. 2) Мы приходим, таким образом, к очень большим — по сравнению с атомными — расстояниям между внешними электронами и «свонмн» ионами и к очень мали»м энергиям связи. Обе эти причины приводят к тому, что внешние электроны в полупроводниках обобществляются'.
Кристаллы германия и кремния связаны ковалентными силами и имеют структуру алмаза (рис. 106). Для управления электрическими свойствами этих полупроводников в них вводят атомы донорных и акцепторных примесей. Донорными являются атомы»У группы таблицы Менделеева (Р, Аз, 3(»), имеющие 5 валентных электронов. Замещая в решетке четырехвалентные атомы германия или кремния, донорные атомы легко отщепляют от себя пятые электроны. Этим электронам не находится места в валептной зоне, и при нормальных температурах они населяют зону проводимости. Атомы элементов !11 группы (акцепторные атомы) отщепляют от себя три электрона вместо четырех.
В валентной зоне остаются пустые места (дырки, см. 365). При введении примесных атомов распределение электронов по энергии меняется (рис. 134). В области запрещенной зоны появляются так называемые л о к а л ь н ы е у р о в н и. Донорные локальные уровни располагаются вблизи дна зоны проводимости; чтобы отнять лишний электрон у донорного атома, требуется очень мало энергии, обычно несколько сотых долей злектронвольта. Акцепторные уровни находятся вблизи верхнего края валентной зоны. Чтобы освободить место в валентной зоне, переведя электрон на акцепторный уровень, нужна энергия, в десятки раз меньшая, чем для переброса в зону проводимости.
На рис. 134 изображено также положение энергии Ферми в примесных полупроводниках. Соответствующие пояснения приводятся в 3 66. 'Особенно аегко иониаируютсн атомы примесей. ле радиус орбиты внешних электронов оказывается существенно больше расстояния между атомами. Поэтому свойства среды для внешних электронов усредняются и в формулы должна быть введена электрическая проницаемость е, которая у германия равна !6, а у кремния 12. С учетом е формулы для оценки энергии и радиуса внешних электронных орбит в кристалле полупроводника приобретают вид $65. Элвктгоцы и дыгки 331 Зона =проводимости= Донорнью уровни Зона =проводимости= Е, Е Акцепторные уровни Валентная зона Рнс.
134. Зониая диаграмма прнмесных полупроводников а — с донорнымн примесями, б — с акцепторными примесями. $65. Электроны и дырки Как уже отмечалось, в зоне проводимости полупроводниковых кристаллов имеется мало электронов. Они расположены вблизи дна зоны, где кривая зависимости потенциальной энергии от импульса с хорошей точностью может быть заменена параболой. Мы уже выяснили (3 62), что в этих условиях электроны ведут себя как обычные «ньютоновские» частицы с некоторой эффективной массой. Обратимся к движению электронов в почти заполненной валентной зоне. Пусть для простоты в зоне не хватает всего одного электрона, т. е., как принято говорить, в ней имеется одна д ы р к а. Будем отсчитывать суммарную энергию и импульс всех находящихся в валентной зоне электронов от значения, достигаемого при полном их комплекте.
(При расчете импульса зто условие не вносит в расчет никаких изменений, так как суммарный импульс электронов в заполненной зоне равен нулю.) Найденные таким образом значения суммарной энергии и импульса всех электронов в зоне будем приписывать новой частице или, лучше сказать, квазичастице — дырке. Величи- При очень низких температурах примесные атомы ведут себя как основные: они отдают в валентную зону столько же электронов, сколько вносят в нее свободных мест.
Заполнение зон остается таким же, как у собственных полупроводников. Однако уже при очень небольшом повышении температуры — до нескольких десятков градусов Кельвина— донорные атомы отдают электроны в зону проводимости, а акцепторные — забирают электроны нз валентной зоны. ГЛАВА 13 ны, относящиеся к дырке, мы будем обозначать подстрочным индексом р. Пусть из валентной зоны удален электрон, обладающий импульсом р1 и энергией Е1. Тогда 113.3) (13.4) г~1 а Энергия и импульс дырки равны и противоположны по знаку энергии и импульсу недостающего электрона. Рассматривая движение электронов в кристалле, мы практически должны считаться только с электрическими и магнитными полями, поскольку силы тяжести исчезающе малы по сравнению с ними.
Противоположные значения энергии и импульса в электрических и магнитных полях приобретают частицы, обладающие обратным по сравнению с электроном электрическим зарядом. Следовательно, д ы р к е ел едует приписывать положительный электрический заряд, равный заряду электрона. После всего сказанного правила обращения с дырками становятся тривиальными: дырка ведет себя, как обычная частица с положительным зарядом и некоторой эффективной массой, которую мы вскоре найдем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
