Л.Л. Гольдин, Г.И. Новикова - Квантовая физика. Вводный курс (1129347), страница 68
Текст из файла (страница 68)
В электрическом поле потенциальная энергия электронов возрастает при уменыпении, а энергия дырок — при увеличении электрического потенциала. Поэтому эти энергии отсчитываются в разные стороны. Легче всего образовать дырку, перебросив в зону проводимости электрон, находящийся у потолка валентной зоны: для такого переброса нужна наименыпая энергия. Чем ближе ко дну валентной зоны расположена дырка, тем больше энергии нужно для ее образования. Значит, энергия дырки возрастает при ее перемещении от потолка ко дну валентной зоны, т.е.
в направлении обратном направлению роста энергии для электронов. Определим, какую эффективную массу следует приписать дырке. Для этого рассчитаем величину электрического тока, связанного с движением дырки: 333 $65. Элвкпоны и дыяки При написании этой цепочки равенств мы снова предполагали, что в зоне не хватает одного электрона — электрона, движущегося со скоростью мы Буквой е обозначена абсолютная величина заряда электрона, его заряд равен — е. р~ 3 Валентиая зона Рис. 135. Образование дырки яри переходе электрона из валеитиой зоны в зону проводимости. 11унктиром обозначены границы зоны Бриллюэна. Как мы уже знаем, дырке следует приписывать заряд — 'е. Из 113.5) следует, что в электрическом поле дырка приобретает ту же скорость чы что и недостающий электрон.
Проанализируем полученный результат. При удалении электронов из валентной зоны первыми освобождаются высоко расположенные уровни. Эти уровни находятся вблизи границы зоны Бриллюзна грие. 135), где кривая потенциальной энергии электрона имеет форму «перевернутой параболы», ветви которой уходят вниз. Движение электронов в этой области происходит так, как если бы их масса была отрицательной. Электрон, обладающий отрицательным зарядом и отрицательной эффективной массой, движется по направлению электрического поля, т.е.
ч~ направлено по Е. Значит, и дырка движется по направлению поля, так что ей следует приписать п о л о ж и т е л ьп у ю э ф ф е к т и в ну ю массу, равную по модулю отрицательной эффективной массе и еда с та ю щ е г о 1! ) электрона. Полученный результат заключается, таким образом, в том, что движение ансамбля электронов, почти заполняющих зону, можно представить как движение квазичастиц — дырок, несущих заряд +е и и,яеющих положительную эффективную массу.
При переходе от рассмотрения совместного движения огромного ГЛАВА 13 числа электронов в почти заполненной зоне к исследованию движения немногочисленных дырок возникает, конечно, колоссальное упрощение — как качественное, так и количественное. В полупроводниках электрический ток переносят электроны в зоне проводимости и дырки в валентной зоне. И тс и другие принято называть носителями электрического тока или просто н о с и т е л ям и.
Величины, связанные с электронами, снабжают индексом и (от английского слова педа11ме — отрицательный); величины, связанные с дырками, снабжают индексом р (от английского слова роз111ме— положительный). Эти индексы применяют и в названиях примесных полупроводников: полупроводники с электронной проводимостью относятся к п-типу, а полупроводники с дырочной проводимостью к р-типу'. Имея в виду, что электрический ток создается как электронами, так и дырками, нетрудно понять, почему при изучении эффекта Холла в полупроводниках и в металлах измеряемая экспериментально разность потенциалов может иметь как еправильныйв (соответствующий движению свободных электронов в электрических и магнитных полях), так и обратный знак.
Обратный знак эффекта Холла (наблюдаемый, например, в цинке и кадмии) долгое время представлял большие трудности для теории. Мы видим теперь, что его появление вполне естественно. В настоящее время эффект Холла широко применяется для изучения концентрации и динамических свойств носителей электрического тока— электронов и дырок.
Знак эффекта позволяет определить, какие из носителей являются основными. ф 66. Концентрация электронов и дырок. Энергия Ферми Электроны и дырки в полупроводниках в большинстве случаев ведут себя как обычные классические частицы. Их концентрации в соответствующих зонах невелики, так что нет необходимости учитывать ограничения, налагаемые принципом Г!аули.
Динамические свойства электронов и дырок описываются постоянными положительными массами. Наконец, ширина запрещенной зоны Ь настолько превосходит тепловую энергию (! эВ по сравнению 0,025 эВ), что в распределении Ферми (ехр[()З вЂ” дуИ1 -1) можно пренебречь единицей по сравнению с экспонептой, после чего это распределение переходит в обычное распределение Больцмана. В результате этого возникают огромные 'Вели 1ины, связанные с дырками, нередко отмечают индексом Ь„а не р.
Это обозначение взято от слава Ьо1е — дырка. 366. Концьнтмция элвктгонов и дьшок Эннягия Фянми 335 упрощения, позволяющие решать большинство задач с помощью обычных методов и формул кинетической теории. Начнем с вычисления концентрации электронов в зоне проводимости. Принятые ниже обозначения пояснены на рис. 136. Пренебрегая единицей в знаменателе формулы Ферми, имеем у 2 Й -14ьн,.у~ьт 2И 4„„я,1 „-«+к,.уьт .Г (2яд) з (2яй) з,/ ля Р3 юсти Энергия Ферми м ьч Е м.д и и Рис.
136. К расчету плотности электронов и дырок в полупроводнике. Переходя от импульса к энергии с помощью формулы р, = ту2т,„'Ь'„ и от числа электронов Л„к их концентрации и,„=- Лну$', найдем (2т* ~зг'а — 4Уьт / Е1га — Б„Уьт4Е (13.6) 2 .звз о Интегрирование в (13.6), строго говоря, следует производить от дна до потолка зоны проводимости. Однако при увеличении Еи экспоненциальный множитель в подынтегральном выражении настолько уменьшается, что верхний предел можно заменить бесконечностью, что и было сделано в (13.6).
ГЛАВА 13 Произведя интегрирование, найдем ио = 1,)„е (13.7) ир = Я„е (13.9) Яр — -- 2.5 10 ( —,) (2 ) см (13.! О) В выражения для Я„и Я входят эффективные массы электронов и дырок. У германия и кремния значения масс зависят от направления движения электронов относительно осей кристалла (см.
(12.35м)), 1-!аибольшие значения эффективных масс (продольные массы) составляют для электронов 1,6кпе в германии и 0,98ш, в кремнии. Массы дырок соответственно равны 0,34т,„и 0,52впе Минимальные значения масс (поперечные массы) существенно меньше. Они составляют для электронов 0,08пт, у германия и О, 2т, у кремния. Соответствующие массы для дырок равны 0,04 и О,!6 масс электрона'. Остановимся сначала на собственных полупроводниках.
У таких полупроводников концентрации электронов и дырок равны друг другу. !!риравнивая правые части (13.7) и (!3.9), найдем ти„' 9 — 5 = 7с7' 1п — = — ' И' 1и —.. 1,)„2 т,', Естественным масштабом для величины т! — 5 является ширина щели (запрещенной зоны) тл.
Как мы видели, лТ « Ь. Приведенные массы 1 На самом деле сушестаует даа типа дырок — легкие и тяжелые. Множитель Яа в (13.7) играет роль эффективного числа уровней в зоне проводимости. Правая часть равенства (13.8) приведена в виде, удобном для численных оценок. Температура 293 К соответствует комнатной. Формула (13.8) показывает, что эффективная плотность уровней у полупроводников существенно меньше плотности ионов в решетке, тогда как у металлов зти плотности близки друг к другу. Причина различия заключается в том, что у полупроводников существенны только электронные уровни, расположенные в области дна зоны проводимости, где мал фазовый объем 4яр~г)р.
Рассуждая аналогичным образом (смысл величины г1 ясен из рис. 136), найдем $66. Концьгнтрхция элсктронов и дьшок Энвргия Фаями 33? электронов и дырок близки друг к другу, так что !п(тп„*,?ги,*,) обычно не превышает единицы. Поэтому с хорошей точностью можно считать (13. 12) ! =б. Уровень Ферми в собственных полупроводниках лежит вблизи середины запрещенной зоны (практически совпадает с пей). В полупроводниках и-типа концентрация электронов существенно превышает концентрацию дырок, а в полупроводпикахр-типа преобладает концентрация дырок. Уровень Ферм и в пол упр озоди иках и-типа смещен от середины запрещенной зоны вверх (к зоне проводимости), а в полупроводниках р-типа — вниз, к валентной зоне. Перемножим формулы (13.7) и (13.9): п,„пр — — Я„Яре -гг?ьт (13.13) При написании (!3.13) сумма б + г! была заменена шириной щели Л. Эта формула показывает, что п р о из в еде н и е ко н ц е н т р а— ций электронов и дырок не зависит от положения уровня Ферми, т.
е. от количества примесей в пол у п р о в о д н и к е. При внесении в полупроводник донорных атомов концентрация электронов увеличивается, а, следовательно, концентрация дырок уменьшается, а при увеличении числа акцепторных атомов концентрация дырок увеличивается за счет уменьшения концентрации электронов. Из (13.12) следует, что в собственном полупроводнике концентрации электронов и дырок равны друг другу. Обозначая эти концентрации и„ найдем (13.14) и формула (!3.!3) может быть записана в более простом виде а г~ьггр пг ' (13.15) Обратим внимание на показатель экспоненты в (13.14). Он равен — Ь?2йТ, а не — Ь,?йТ, как могло бы на первый взгляд показаться.
Эта особенность формулы связана с распределением энергии перехода между электроном и дыркой. Половина энергии перехода приходится на долю электрона, а половина — на долю дырки. ГЛАВА 13 ф 67. Электропроводность полупроводников Электропроводность полупроводников, как и любых других тел, определяется концентрацией носителей тока и их подвижностью. При переходе к полупроводникам формула П2.42) приобретает следующий вид: а Г77ртп 77рТр, 7т = е ) "„" + „) = п„еи„,(+ар'еггр1 (13.16) т*„7П„* В собственных полупроводниках электроны и дырки вносят сравнимый вклад в электропроводность. В полупроводниках и-типа основной вклад вносят электроны, а в полупроводниках Гртипа — дырки.
В соответствии с величиной вклада в электропроводность электроны в полупроводниках и-рипа и дырки в полупроводниках р-типа называются о с н о в н ы м и носителями в отличие от неосновп ых носителей, вносящих в электропроводность меньший вклад. Рассмотрим зависимость электропроводности от температуры. При изменении температуры злектропроводность меняется из-за изменения как концентрации носителей, так и времени релаксации. В металлах основную роль играет уменьшение времени релаксации с ростом температуры (с увеличением числа фононов, на которых, как мы знаем, рассеиваются электроны). В собственных полупроводниках этот эффект также присутствует, но перекрывается быстрым увеличением концентрации носителей, которая экспоненциально возрастает с увеличением Т. Поэтому с ростом температуры злектропроводность чистых полупроводников резко увеличивается.
Рис. 137. Зависимость удельной проводимости примесного полупроводника от концентрации электронов. Сложнее зависит от температуры концентрация носителей в примесных полупроводниках. Кривая зависимости концентрации от темпе- э б? ЭлектРОпРОВОДность пОлУпРОВОДникОВ пг т 2 2 г!2, 2 П,тр = 2е Йгг„пй тп„' (13.17) Вторая из полученных формул показывает, что кривизна кривой гг —. = гг(пи) является существенно положительной величиной, так что заВисимость гг = п(гг ) имеет один минимум, подобно тому, как это изображено на рис. 137. Положение минимума можно найти, приравнивая нулю производную г(гт(г)п, определенную выражением (13.17): т„гг, тр 2 гп„' пз тп„' Заменяя в этом соотношении ггзугг„через пр, найдем гг„г игпр пр,пр ~р 'и (13. 18) Сравнивая выражение, стоящее в правой части полученной формулы, с соотношением (12.41), найдем, что оно равно отношению подвижностей электронов и дырок и обычно отличается от единицы не более ратуры состоит у них из двух участков.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
