Л.Л. Гольдин, Г.И. Новикова - Квантовая физика. Вводный курс (1129347), страница 61
Текст из файла (страница 61)
11олная энергия звуковых колебаний решетки равна, следовательно, 'р~ ° ° 12 1 Е = Ео+, 3.4к ' з . (11.39) ехр(Ег'йТ) — 1 (2л.г»)з о 9 о?. Теплоемкость кРистдллических Решеток 295 Е 3 = )г,:р(. (11.40) Формула (1!.39) в атом случае дает Е -- Ео =, / Е йЕ. (11.41) 2пейззз У охр(Е/)сТ) -- 1 о Вводя вместо Е безразмерную переменную ап Е/йТ = т, найдем Мыта у' Узах Е-Ео= азз/' 2тглйг з',/ о Как мы уже знаем, входящий в зту формулу интеграл равен пл/1ос. Следовательно, Š— Ео = †' ,, (низкие Т). тг2 )сата 10 йзкз (11.42) 'р„, определяется нз условня, ято 4)аяр~, равно объему зоны Брнллюзна. Член Ео характеризует энергию нулевых колебаний, которая в данном случае не представляет интереса, так как не вносит вклада в теплоемкость. Рассчитывая знергию теплового излучения, мы получали очень похожую формулу.
Отличие состояло в том, что в ней стоял множитель 2 вместо 3, а интегрирование производилось не до р1яею а до бесконечности, поскольку импульс фотонов может быть сколь угодно большим'. Наиболее просто производится расчет при низких температурах. В зтом случае возрастание стоящего в знаменателе зкспоненциального множителя ехр(Е/ЙТ) делает несущественным вклад, который вносит в интеграл область больших ~р~, так что интеграл можно распространить до бесконечности.
Связь ш и ~р у звуковых волн не так проста, как у световых, но при малых ~р~, как мы видели, скорость звука постоянна, что существенно упрощает расчеты. Пренебрежем, наконец, различием скоростей продольных и поперечных волн. Обозначая скорость звука через з, найдем 1ллВА 11 Соответственно теплоемкость кристалла, точнее его р е ш е т о ч н а я тепловы кость", равна с .= — тг (низкие Т). 2 а каТз (11.43) кз з Последние две формулы очень похожи на формулы для теплового излучения и получаются из них путем замены скорости света с на скорость звука а и умножения на 3/2 (отношение числа возможных поляризаций). Как следует из вывода, они определяют тепловую энергию и теплоемкость кристаллической решетки, отнесенные к е д и н и ц е о б ъ е м а. Если учесть различие скоростей поперечной зт и продольной в) звуковой волны, формула (П,43) переходит в несколько более точную: (низкие Т).
(11.44) Перейдем теперь к теплоемкости при высоких температурах. Естественцо ожидать, что при повышении температуры должны становиться справедливыми классические формулы и на каждую колебательную степень свободы должна приходиться энергия йТ (по И"/2 на кинетическую и на потенциальную энергии). Число степеней свободы решетки равно 3Лг, где тт' — число атомов в единице объема. Отнесенные к единице объема внутренняя энергия и теплоемкость твердого тела должны поэтому стремиться к значениям Š— г 3зкт)сТ (высокие Т), с — 3тт')г (высокие Т). ( П.45) Эти классические формулы носят название з а к о и а Д ю л о н г а и П т и. Опыт показывает, что они выполняются не слишком хорошо, хотя при оценках ими вполне можно пользоваться. Основная причина неточного соответствия с экспериментом заключается в том, что температуры, при которых сохраняется кристаллическое состояние, «недостаточно высокиь, так что многие кристаллы плавятся до того, как наступает область хорошей применимости классических формул.
Рассчитанные по формуле (П.45) и измеренные значения теплоемкости приведены в таблице. зОитнческяе ветви колебаний, в особенности при низких температурах, почти ничего не вносят в теолоемкосгь кристалла. У металлов вклад в теилоемкость создактг свободные электроны. Этот вклад мы рассмотрим в гл. 12. з 5?. Твплоемкость кгисталличвских Решеток Таблица 6. Теплоемкость некоторых элементов 297 Справедливая при всех температурах формула для теплоемкости должна основываться на (11.39). При этом следует правильно выбирать ~р,„„х и, более того, правильно учитывать анизотропию кристалла, что приводит к изменению структуры подынтегрального выражения (оно записано для изотропной среды) и к появлению своего верхнего предела для каждого направления вектора р.
Такое рассмотрение должно проводиться заново для каждого кристалла. Точное вычисление тсплоемкости представляет собой поэтому крайне неблагодарную задачу. Существеннос упрощение проблемы было найдено Дебаем. Он предложил не учитывать анизотропию и не рассчитывать;р~м,„, а выбирать верхний предел интегрирования в (!1.39) таким образом, чтобы получать правильное значение теплоемкости (11 45) при высоких температурах. Получаемая при этом формула нестрога, но приводит к правильному результату как при низких, так и при высоких температурах.
Она позволяет получать вполне приемлемые количественные оценки и в промежуточной области температур, где формулу Дебая можно рассматривать как интерполяционную. Вычисление интеграла (11.39) можно произвести только после установления закона связи между р~ и Е. Для этого мы снова воспользуемся (11.40), которая при невысоких температурах хорошо выполняется.
Погрешности, возникающие при высоких температурах, мы учтем автоматически, когда потребуем, чтобы полученная формула при повышении температуры переходила в (11.45). Действуя указанным образом, мы снова придем к (!1.41), но верхний предел интегрирования должен быть теперь разумно выбран. Решение этой задачи потребует некоторых усилий. Переходя в (11.4!) от энергии 1ллвл 11 к частоте, получим Š— Ео=, з . ~ дго.
(146) 2ггавз У ехргГы~ИТ) — 1 о — 1 Здесь |ао определяет энергию фонона, а множитель ~ехр(Гко,гкТ).-1] число фононов в одном состоянии. Остальные члены этой формулы определяют, следовательно, число состоянии. Это число равно щз 3 Г З щггах зз / "~' зз. 2я в ./ 2я в о Полученное число нужно приравнять числу степеней свободы ЗУ. Поэтому ьъв„, = в(бтз11Г)~~з. (1. 47) где 1Ч вЂ” число атомов в единице объема.
Выразив в через чь„,„ и, введя его в П1.46), получим (11.48) „~з ~ ехр(йгв,гйТ) — 1 "'"' о Входящий в эту формулу интеграл в элементарных функциях не выражается. Чтобы его упростить, введем уже знакомую нам безразмерную переменную оч ю = —. кТ (11.49) Заменяя щ на л, получим (11.50) о Вместо го„м,, в формулу для энергии обычно вводят те м пер а т у р у Д е б а я, определяемую формулой (11.51) З О?.
ТСПЛОЕМКОСть КРИСтАЛан1ЧЕСКИХ РЕШЕТОК Нетрудно видеть, что вместо х „. можно писать тмах -- ~~ ~ххах()г™гза Т Формула для энергии тепловых колебаний принимает при этом вид (11. 52) где функция 1(Т/с!Аа) определяется выражением о ~т (11.53) Эта формула является окончательной. При желании из нес можно получить формулу для теплоемкости кристаллической решетки. График теплоемкости, рассчитанной по Дебаю, приведен на рис. 120. При высоких температурах отношение Т~Йо велико, а Йо)Т мало, так что ы„1т ваха а Т В этом случае формула (11.52), как и следует ожидать, переходит в (11 45).
График, представленный на рис. 120 показывает, что классическая формула для теплоемкасти применима не только при Т(Оо » 1, но и пРи Т,~ОАа - -1 (пРи Т = Ота теплоемкость кРисталла всего на 5% отличается от классического значения). При низких температурах интеграл (11.53) может быть распространен до бесконечности. Как мы знаем, он равен к"/15. Подставляя это значение в (11.52), найдем Š— -- -Х и'( ) ЬТ. Подстановка в эту формулу значений Нтт из (11.51) и ьа„„, из (11.47) приводит к (11,43), Мы убедились, таким образом, в том, что формула Дебая (11.52) правильно описывает энергию (и тсплоемкость) кристаллической решетки как при низких, так и при высоких температурах. 1ллвх 11 Скажем несколько слов о выборе ы,в„.
Мы произвели его из формальных соображений. Покажем, что к близким значениям щ,„,„ приводят соображения, основанные на представлениях о зонах Бриллюэна. Как мы знаем, предельное волновое число, соответствующее краю этой зоны, для линейной цепочки равно )гмья — и!гт. При кубической решетке это зна Об чение применимо и для трехмерноРис. 120 Зависимость теплоемкости го случая, а для кристаллов других кристалла от температуры по Дебаю. симметрий справедливо по порядку величины.
Мы вправе поэтому ожидать, что должны выполняться следующие оценочные формулы: (11.54) Сравнивая это выражение с (П,47), мы, действительно, наблюдаем их близкое согласие. Формула (П,51) позволяет перейти от оценочных формул для щвмх к соответствующим формулам для температуры Дебая, В табл. 7 приведены дебаевские температуры некоторых веществ.
Таблица?. Дебаевские температуры некоторых кристаллических веществ ф 58. Решеточная теплопроводность При наличии градиента температуры в кристаллах, как и во всех других телах, возникают тепловые потоки. Материальными носителями этих потоков являются фонопы. При полуколичественных оценках для фононной (решеточной) теплопроводности можно применять обычную формулу для теплопроводности газов м —.. свЛ73, (11.5о) Э 58 Ряшгточнхя тяплопговодность 301 где хг — теплопроводность, с — теплоемкостгч отнесенная к единице объема газа, а — скорость фононов, а Л вЂ” средняя длина их свободного пробега.
Теплоемкость решетки мы научились рассчитывать в предыдущем параграфе. Скорость звука следует считать известной. Обсудим причины, ограничивающие длину свободного пробега фононов. При низких температурах, когда тепловые колебания невелики и ангармоничность сил, связывающих атомы в решетке, еще можно не принимать во внимание, длина свободного пробега Л очень велика. При низких температурах ее величину ограничивают примеси, дефекты кристалла и размеры самих кристаллов. Длина свободного пробега фононов может равняться при этом нескольким миллиметрам. Рассеяние фононов на дефектах кристалла схематически изображено на рис. 121.
При рассеянии фонон меняет направление движения, не изменяя своей энергии. При повышении температуры на распРостРанении звУковых волн все больше Рис. 121. Схема рассеяния фо- начинает сказываться ангармоничность ко- ионов на дефекте решетки. лебаний. Соответствующие процессы изображены на рис. 122. При разделении, слиянии и столкновении фононов выполняется закон сохранения энергии, а закон сохранения импульса верен с точностью до Ьр = 2яйи(а (см.
П1.33) и следующий за ней текст). чь 1 Ът Рис !22. а — Распад одного фонона на два; б — слияние двух фононов в один; в — столкновение двух фононоз, приводящее к их рассеянию. Формула (11.55) позволяет оценивать теплопроводность кристаллов, если известна длина свободного прооега фононов, и может служить для определения этой длины, если сведения о ней отсутствуют.
При температурах, близких к абсолютному нулю, теплопроводность кристаллов возрастает с температурой вместе с его теплоемкостью, а затем быстро падает из-за уменьшения длины свободного пробега фононов. ГЛАВА 12 ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛАХ 9 59. Связанные колебательные системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
