Л.Л. Гольдин, Г.И. Новикова - Квантовая физика. Вводный курс (1129347), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Рн! гл Оценка показателя экспоненты в формуле (3.22) дает значение, близкое к 60. Таким ооразом, проницаемость кулоновского барьера для о-распада оказывается очень малой, а периоды полураспада радиоактивных ядер, которые обратно пропорциональны коэффициентам прозрачности, наоборот, очень велики. ф11.
Линейный гармонический осциллитор. Колебательные уровни молекул На рис. 24 изображен классический гармонический осциллятор, представляющий собой шарик с массой т, прикрепленный к пружине. Если мы направим ось л вдоль оси пружины и за начало отсчета примем положение равновесия шарика, то сила Г, действующая на шарик, будет связана с координатой а: формулой Рис 24. Модель гармониче- ского осциллятора. (3.23) где й — жесткость пружины. !1отенциальная энергия шарика à — йлз/2. (3.24) Будучи выведенным из состояния равновесия, такой шарик совершает гармонические колебания с частотой шв — Хй,г т.
(3.2о) такой барьер складывается из ослабления волновой функции при движении на отдельных участках и из последовательных отражений от границ участков. Если барьер достаточно плавен (его высота мало меняется на расстоянии, равном длине волны), отражения не очень существенны, и ослабление волновой функции в основном определяется се затуханием при движении в областях с Е < 6г. В этом случае проницаемость всего барьера Р равна произведению проницаемости П, соответствующих участков. При перемножении показатели экспонент складываются, так 1ЛАВА 3 7О Из (3.24) видно, что потенциальная кривая гармонического осциллятора является параболой (рис. 25), Поэтому задача о гармоническом осцил- ляторе — это задача о поведении ~астицы в потенциальной яме парабо- лической формы.
Ь ~" ы, й 2 — — + — т б=Е1ц йгп г(тд 2 (3.26) Используя полученные выше выводы, мы можем предсказать, что решение будет удовлетворять всем необходимым условиям не при всех, а лишь при некоторых дискретных значениях энергии осциллятора, так как при удалении от положения равновесия потенциальная энергия быстро возрастает и колеблющаяся частица не может «уйти на бесконечность». Точное решение уравнения (3.26) приводит к следующему выражению для спектра возможных значений энергии осциллятора (математические выкладки слишком длинны, и мы их опускаем): Б'„= 1) — „, ь( — —,).
= О. 1, 2... Вводя обозначение ~о †-- хггй/т, найдем Е„.—.- йпо(п-, — ). (3.27) К задаче об осцилляторс всегда сводятся () задачи о малых колебаниях. В точке равновесия потенциальная энергия имеет минимум. Разложение потенциальной энергии в ряд Тейлора в окрестности точки равновесия начинается поэтому с квадратичных членов. При малых отклонениях всеми остальными членами можно пренебречь и колебания можно считать гармоническими.
В атомной физике к осциллятору сводит- Рнс 26, Уровни энергии сЯ задача о колебаниЯх молекУл и многие дРУ- и разрешенные переходы гие важные задачи. При решении таких задач для гармонического ос- следует, конечно, применять не классическую, цнллятора. а квантовую механику. Для решения задачи о квантовомеханическом осцилляторе необходимо найти конечное, однозначное, непрерывное и гладкое решение уравнения П!редингера при ст = ктз/2, т.е.
урав- нения з!1. ЛинейныЙ ГАРмоничесхиг! Осциллятог Выражение для шо совпадает с (3.25) для частоты классического осциллятора. Как и следовало ожидать, наименьшее значение энергии осциллятора не равно нулю: при и — —. 0 Ев .—... )коо/2. Значение Ео называется «нулевой энергией». Квантовомеханическая частица нс может «лежать» на дне параболической потенциальной ямы, точно так же как она не может лежать на дне прямоугольной или какой бы то ни было другой потенциальной ямы конечной ширины.
1'1орядок величины для Ео может быть оценен из соотношения неопределенностей. Сравним (3.27) с (3.13) для возможных значений энергии в прямоугольной яме. В отличие от энергии уровней в прямоугольной яме, энергия осциллятора пропорциональна первой степени и, так что энергетические уровни находятся на равных расстояниях друг от друга (эквидистантны). Эти энергетические уровни изображены на рис. 25.
Осциллятор «может находиться» на любом из изображенных уровней энергии, но не между ними. Чтобы «раскачать» осциллятор, нужно добавить ему энергию, равную разности энергий соседних уровней: «'.ьЕ = Е ! — Е» = 6 'о. Если передача энергии осуществляется посредством фотона, то для частоты фотона имеем ~~ = !»Е,ГЙ = шо. (3.28) Остановимся на некоторых особенностях классического и квантовомеханического осцилляторов. У классического осциллятора зависимость амплитуды колебаний от частоты раскачивающей силы имеет резко выраженный резонансный характер; осциллятор реагирует лишь на одну частоту, равную частоте собственных колебаний шо .—, 47пт.
Квантовомеханический осциллятор на первый взгляд кажется способным поглощать целый набор частот, кратных частоте (3.28), и переходить при этом с пулевого на один из верхних уровней (пунктирные стрелки на рис. 2з). Чтобы выяснить, как обстоит дело с реальными микроскопическими осцилляторами, например с молекулами, необходимо изучить процесс взаимодействия света (фотонов) с молекулами и научиться писать и решать уравнения для систем, меняющих свое состояние во времени (в процессе взаимодействия). Такие задачи решаются, но находятся вне рамок данного курса. Точный расчет показывает, что у осциллятора, взаимодействующего со светом, могут осуществляться переходы только между соседними уровнями; остальные переходы «запрещены» и происходить не могут.
1ЛАВА 3 Этот результат можно понять и без расчета, с помощью принципа соответствия. Будем рассуждать так; при очень больших и квантовомеханическое решение должно совпадать с классическим, а классический результат приводит к единственному значению резонансной частоты ото =- „гь':у'т. Значит, по крайней мере для высоких уровней должны существовать правила, запрещающие протаскивание через несколько уровней. Так как картина уровней от величины и не зависит, то следует ожидать, что это правило справедливо для любых и. Здесь следует указать, что невозможность апрыжков» через несколько уровней связана не со свойствами осциллятора, а с особенностями его взаимодействия со светом1.
При других методах возбуждения, например при электронном ударе, такие переходы вполне возможны. Рис. 26. Волновая функция осциллятора при разных квантовых числах. Рис. 27. Распределение частицы при осцилляторном потенциале. На рис. 2б изображены графики рыфункций, являющихся решением уравнения (3.2б) при и, = О, 1, 2 и 6; вдоль оси х отложены отрезки, равные амплитудам колебаний классического осциллятора при Е, рав- 'Сформулированное здесь правило, на самом деле, не является таким жестким и справедливо только для дипольпых переходов, которые обычно и происходят в атомных системах.
Адультипольные переходы могут происходить между уровнями, которые не являются соседними. э!1. ЛинейныЙ ГАРмоническиГ! Осциллятог ных Е„. На рис. 27 сплошными кривыми изображены кривые распре- 2 деления плотности вероятности ~ф(л)( для тех же состояний квантового осциллятора, а пунктиром — плотность вероятности найти классический осциллятор в окрестности точки м. Мы видим, что при малых квантовых числах п квантовомеханический осциллятор ведет себя совершенно иначе, чем классический. Вероятность найти классический осциллятор всегда является наибольшей для точки поворота, так как в этих точках его скорость равна нулю, а для квантовомеханического осциллятора вероятность оказывается максимальной в точках, соответствующих «пучностям» и-функции.
При больших и усредненная кривая для распределения плотности вероятности квантовомеханического осциллятора хорошо согласуется с кривой для классического осциллятора. Отметим еще одну особенность квантовомеханического осциллято- 2 ра. Из рис. 26 и 27 видно, что ф(м), а следовательно, и ~ф(л)~ не равны нулю за точками поворота (т.е. вне пределов, ограничивающих движение классического осциллятора).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
