Л.Л. Гольдин, Г.И. Новикова - Квантовая физика. Вводный курс (1129347), страница 17
Текст из файла (страница 17)
В сторону коротких длин волн линии сгущаются к г р а н и ц е серии, которой соответствует пз = оо. Серия с и! = 1 называется серией Лаймана. Она Гллвл 4 86 находится в ультрафиолетовой части спектра. Серия с п,т = 2 носит название серии Бальмера; четыре линии этой серии находятся в видимой части спектра; головная линия обозначается Н„, следующие линии— Нгь Нт и Н;, Серия с пэ —..
3 называется серией Пашена; следуюшие серии названы именами Брэкета (и~ = 4) и Пфунда (пт = 5); эти серии расположены в инфракрасной части спектра. Интересно отметить, что часть линий в спектре водорода обнаружена и измерена не с помощью лабораторных источников, а в спектре Солнца. Найдем теоретическое значение постоянной Ридберга В. Согласно (4.22') и (4.!9) те' 1 тсу~е')' 1 ~а 4яйзс 4л й 1,6с/ 4л~,' Подставляя сюда значения комптоновской длины волны электрона л, и постоянной тонкой структуры сг, найдем — ( ) см" '. 4л ~1371 3,86 10 " Точный расчет дает  — -- 109737,3 см '. Мы получили числовое значение В, почти совпадающее, но все-таки не равное значению В = = 109677,6 см ', определенному для водорода экспериментально. Исследуем причину этого расхождения.
При составлении уравнения Шредингера для водородоподобных атомов мы считали, что электрон находится в кулоновском поле неподвижного ядра. На самом же деле следовало рассматривать движение электрона и движение ядра вокруг их общего центра масс. Как известно из классической механики, в уравнение движения в таких случаях вместо масс взаимодействующих тел входит приведенная масса р, обеих частиц. Этот вывод сохраняется и в квантовой механике.
В нашем случае тЛХ„л ц (4.23) гп-ь М„1 —, гл7'Ы, ' где тп — масса электрона, М,х — масса ядра. Из (4.23) видно, что д = гп только при условии, что М„, = ж. Следовательно, при расчете мы получили значение постоянной Ридберга не для реального, а для некоторого мысленного бесконечно тяжелого ядра: В, = 109737,3 см т.
Воспользовавшись числовым значением В, э !4. Спкк?Ры ВодОРОДО|юдОвн|ых АтОмОВ 8? легко получить величину Л для любого конкретного ядра. В частности, для водорода тп/М„, = 1|1836,1 и Лн —.-, = 109677,6 см 1 — 1?'1836, 1 (4.24) Превосходное согласие вычисленного из теории значения Лн и значе- ния Л, полученного для водорода экспериментально, является блестя- щим подтверждением правильности применения квантовомеханических представлении к атомам.
В таол. 1 приведены Л„,, и Л„,, вычисленные по форму- Таблица 1, Теоретические и экспе- ле (4.22) с учетом (4.24) для пер- риментальные значения Л для трех вых трех линий серии Бальмера'. первых линий серии Бальмера Изотопический сдвиг. Кроме легкого изотопа водорода ' Н, су- Линия Л„с,„ нм Л„„, нм ществуют два тяжелых изотопа во- Н„6, ,47 дорода: дейтерий Р и тритий зТ. Нз 486,13 486,2? Ядро дейтерия, кроме протона, со- Н 434,05 434,17 держит один нейтрон, а ядро трития — два нейтрона. Спектры тяжелых изотопов водорода описываются, конечно, той же формулой (4.22), но в качестве Л следует брать Лр для дейтерия и Лт для трития. Расчет по формуле (4.24) дает Ло =109707,4 см ', Лт =109717,5 см Различие Лн, ЛО и Лт приводит к различию длин волн одних и тех же линий в спектрах различных изотопов водорода.
Ниже приведены для сравнения длины волн первых трех линий серии Лаймана в спектрах водорода и дейтерия. 'Ешс лучшее согласие с опытом получается нри расчете с иомошвю Уравнения Дирака, учитыва|ошего релятивистские аффекты Еще большее различие наблюдается в спектрах водорода и дейтерия для длин волн серии Бальмера. Например, линии Н и Р различаются на 0,17 нм. Глхвд 4 88 Различие в длинах волн идентичных линий в спектрах различных изотопов одного и того же элемента называется и з о т о п и ч е с к и м с д в и г о м. Изотопический сдвиг в спектрах водорода и дейтерия настолько велик, что отчетливо обнаруживается с помощью обычных спектральных приборов.
Водородоподобные ноны. Напишем спектральную формулу для однократно ионизованного атома гелия 2Не': АН«» ~»З1 Нзт 1 т тцуз'»Н» ~111 П2У Эта формула, так же как и формула для спектральных серий водорода, была найдена эмпирическим путем и получила объяснение только в квантовой теории. Аналогичным образом могут быть написаны спектральные формулы для ионов з112 г, «Вез» и др. Первые члены серии Лаймана (п,т = 1) для этих ионов обнаружены; они находятся в далекой ультрафиолетовой части спектра. Познтроннй. Интересной системой, состоящей, как и атом водорода, всего из двух частиц, является п о з и т р о н и й.
Позитроний содержит две частицы, отличающиеся только зарядом: положительно заряженный позитрон и отрицательно заряженный электрон. При пропускании позитронов через газ позитроны захватывают электроны атомов, в результате чего и образуются «атомы» позитрония. В отличие от атомов водорода, «атомы» позитрония являются метастабильными и через довольно короткое время т после образования прекращают свое существование . Однако время существования «атомов» позитрония достаточно для их изучения. Измерение энергии ионизации позитрония показало, что она равна 6,8 эВ. Энергия ионизации равна взятой с обратным знаком энергии основного состояния и может быть вычислена по формуле 14.18) при ги = р и и = 1. Так как массы электрона и позитрона равны, то приведенная масса р, равна половине массы электрона: тпэзтппоз твэл )з зттм + Птгоз 2 гПозитронид может образовываться в двух состояниях, с направленными в одну сторону (ортопозитроний) или противоположно направленными спинами позитрона и электрона 1парапозитроний).
Эти состояния имекзт разные моды распада, соответственно, на три и на два фотона и разные времена жизни 1,4 10 ЗО и 1,2 10 т сек. Суммарная энергия фотовов Равна 2тпзсз. $15. Рдснреде'!ение электронной плотпОсти В АтОме ВОДОРОДА 89 Поэтому по формуле (4.18) для позитрония получаем Ен„.— —. ЛЕ,У2 =- 13, 6/2 —. 6, 8 эВ. ф15. Распределение электронной плотности в атоме водорода Распределение электронной плотности в атоме водорода определяется квадратом модуля ф-функции.
Вычислением ~-функции мы занимались в 8 12. Объединяя (4.6), (4.9) и (4. П), найдем Е(г) — — — е ' ~ ~асят 1 Для вычисления ам, следует применить рекуррентную формулу (4.14). Входящий в нее параметр Д определяется (4.5). Возможные значения и находятся по формуле (4.17). Найдем ф-функцию для и = 1, т, е. для основного состояния атома. Подставив и.
= 1 в (4.17), находим, что й1 = 81!2. Примем для простоты а! = 1.' Подставив и = 1 в (4.14), убеждаемся, что все члены ряда (4.11), начиная с ию обращаются в нуль; первый же член ряда оказывается равным г. Воспользовавшись соотношениями (4.6) и (4.9), получаем !81 (! ) .=- е (4.25) Здесь з 2 Аэ Л Пс где Ле — комптоновская длина волны электрона,о — постоянная тонкой структуры. Итак, !д-функция основного состояния является экспонентой с максимумом в начале координат (рис. 34). С точки зрения классической физики электрон обладает наименьшей энергией, находясь в начале координат. Квантовая механика, как мы видим, приводит к непрерывному распределению с максимумом в начале !На самом деле значение а! находнтсн из условии нормировки !т !з сп ' = 1.
Глдвд 4 00 —,г — гехт. „„0 'тттаахв 1т Птахи После сокращения получаем 2 1 'ха 2 са ' 1 т стая†йт (4. 26) Рис. 34. Пространственное распределение электрона в атоме водорода (основное состояние). Для водорода т'трах = Са~ о.
(4.27) Величину (427) принято называть радиусом первой борове ко й орбиты атома водорода. В действительности никаких орбит у электронов в атомах, конечно, не существует; название же это, как и некоторые другие, перешло в современную физику из полуклассической теории Бора строения атома'. Вычислим гт гсваах =- Лотто =" (3,66 10" см) 137 0,53 10 см; гн.„„определяет по порядку величины размер невозбужденных атомов водорода и обозначается обычно гхт, 'Более валробио теория Бора рвееислреиа в э 28. координат.
Однако из (4.25) не следует, что вероятность найти электрон на нулевом расстоянии от начала координат является максимальной. Вероятность того, что электрон находится в объеме сПг, как мы знаем, равна ~ф(г)~ сЛ'. В качестве элемента объема возьмем сферический слой толщиной Й. на расстоянии г от начала координат: Жг = 4ягг Й.. Вероятность найти электрон в шаровом слое, находящемся на расстоянии г от ядра, при и = 1 равна 4я с)г фа(г)( т е. определяется функцией г гг ~ ~сп(г) —. гге гь"; график этой функции также изображен на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
