Л.Л. Гольдин, Г.И. Новикова - Квантовая физика. Вводный курс (1129347), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Вернемся теперь к опыту по измерению проекции углового момента на какую-либо ось. Формула (5.3) показывает, что при измерении всегда будут найдены целочисленные значения этой проекции и что, следовательно, любое состояние системы может быть представлено в виде ряда (5.4). Физическая ценность первого утверждения несомненна. Второе утверждение не имеет особой ценности и с точки зрения математики является очевидным, В самом деле, любая однозначная непрерывная функция азимутального угла зс периодична с периодом 2гтп Согласно теореме Фурье любая такая функция может быть разложена в ряд (5.4). Таким образом, формула (5.4) не накладывает никаких ограничений на вид ш-функции.
Здесь следует предостеречь читателя от поспешных выводов. Если в начале рассуждений могло показаться, что квантование проекции $18. У1ловой момн1п углового момента требует полного пересмотра всех представлений о пространстве, то недостаточно внимательное чтение этого параграфа может создать впечатление, что вообще ничего существенно нового как будто и не возникло. Оба вывода неверны. Смысл и важность полученных результатов огромны. Они будут обсуждаться на протяжении всей книги.
Квадрат углового момента. Найдем теперь возможные значения квадрата углового момента ЛХз. Прямой подход к решению этой задачи требует решения уравнения, получающегося при подстановке в (2.28) оператора квадрата углового момента ЛХз: ЛХ ф = ЛХ'ьч Однако оператор ГХЯ имеет громоздкий вид и решение задачи требует знакомства со специальными функциями (с полиномами Лежандра). Поэтому мы подойдем к задаче о нахождении возможных значений квадрата углового момента с несколько другой стороны. В классической механике квадрат углового момента равен сумме квадратов его проекций на координатные оси; Уя ЛХЯ + ЛХ2+ У2 В квантовой механике это равенство следует понимать как формулу, связывающую соответствующие операторы, ЛХ2 ЛХз + (Хз ЛХ2 и средние значения, (Ма) = (ЛХз) — (ЛХ„') + (И„').
(И,'.) = (ЛХ„') = (ЛХ') ( ') =-8( Хз). и, следовательно, (5.5) Рассмотрим частицу, движущуюся в сферически-симметричном поле. Пусть квадрат ес углового момента имеет некоторое определенное значение. Задание квадрата углового момента определяет состояние частицы не полностью, так как при этом проекция углового момента на ось з может принимать разные значения. Нас будет интересовать сферически-симметричное состояние частицы с заданным значением квадрата момента. Так как ось з ничем не выделена из остальных координатных осей, то при сферически-симметричном состоянии частицы 1ЛАВА 5 1О2 Симметричное решение, конечно, не обладает какой-либо определенной проекцией углового момента, так как все такие состояния ограничивают область углов, в которых может находиться вектор М.
Оно является суперпозицией решений со всеми возможными проекциями ЛХ,. Более того, в симметричном решении все проекции на любую ось, в том числе и на ось, равновероятны и потому представлены с одинаковым весом. Поэтому (ЛХ~) равно среднему из всех возможных значений ЛХз. Согласно (5.3) возможные значения ЛХ. равны целому числу постоянных Планка 6: ЛХ, = О, ЛЛ6, Хь26, ..., -.спи „,6.
Максимальное значение проекции момента ЛХ. по модулю не может превышать!ЛХ~. Обозначим максимальное значение т через 1, так что т„,, = 1. Мы уже знаем, что 1 — целое положительное число. Выпишем полный набор возможных значений ЛХ, и ьи ЛХ, =16, (1 — 1)6...., ( — 1)Хц т = 1, (1 - Ц, ..., 1, О, -.1,..., --1,. (5.6) Мы видим, что при всяком данном 1 проекция момента ЛХ„может принимать 21+ 1 различных значений: одно нулевое, 1 положительных и 1 отрицательных.
Среднее значение (ЛХ~а) равно поэтому 1'+(1 1)а, ( 1) 1з, 2з, (ЛХз) = 6з = 26з 21 — 1 21 ч- 1 26~ 1(1 = Х)(21 Х) 6а 1(1 - 1). 21-1 б 3 Подставив полученное значение (ЛХз) в (5.5), получим Д,Х2 621(1 1) (5.7) где 1 — целое положительное число (или нуль). Формула (5.6) перечисляет все значения ЛХ,, возможные при данном 1. Равенство (5.7) определяет закон квантования квадрата углового момента. Сравнение формул (5.6) и (5.7) показывает, что ЛХ,,„< ЛХв при любом значении 1 > О, так как ЛХз,„,х =.
6з1з, а ЛХз — -- 6 1(1+ 1). Этот результат, непонятный в рамках классической физики, легко объясняется в квантовой механике. Исследование показывает (мы примем этот э!9 ВРАШАтелъные УРовни молекул. МолекУлЯРныь спектРы !03 результат на веру), что проекции момента ыа две различные оси, например М„и ЛХи, не могут бь|ть одновременно известны; для них существует соотношение неопределенности, аналогичное соотношению неопределенности для координаты и импульса.
Зафиксировав состояние с определенным ЛХз, мы вносим неопределенность в проекции ЛХ и ЛХР. Средние значения (ХРХЕ) и (ЛХЕ) в таких вразмазапныхь состояниях, конечно, отличны от пуля: (ЛХе) > О, ,'ЛХ~а) > О. Поэтому ЛХа = ((ЛХа) — (ЛХе) + (М')) > М:'. В отличие от двух проекций вектора М, квадрат,иомента ЛХе и одна из его проекций, например ЛХ„могут быть определены одновременно. (Л4ы примем это утверждение также без доказательства.) Более того, в квантовой механике доказывается, что задание ЛХ, и ЛХЕ полностью определяет вра|цательыое состояние частицы.
Обратимся к математическому смыслу полученных формул. Состояние с данным ЛХе определяется заданием одного (или набора) из 21 г 1 возможных значений ЛХя. Таким образом, ряд (5.4) при заданном ЛХЕ = — — ае1(1, !) состоит из 21+ 1 членов. Конечно, вращательное состояние системы с данным ЛХе не обязательно уточнять, задавая именно проекции на ось и, хотя такой способ является общепринятым. Как бы мы, однако, ни задавали вращательное состояние системы с определенным М, для этого всегда нужно указать 21 чисел (последнее (21 гг 1)-е число определится из условия нормировки)'.
Конкретный набор чисел, определяющих состояние, зависит от выбора осей и от особенностей описываемого состояния. Напомним в заключение, что при экспериментальном измерении проекции углового момента на какую-либо ось получается одно из 21 — 1 возможных значений. 919. Вращательные уровни молекул.
Молекулярные спектры В предыдущем параграфе мы с помощью квантовой механики выяспилн основные свойства угловых моментов микрочастиц. Главным результатом, который мы получили, является квантование момента и его проекций. Свойства угловых моментов, установленные в 9 !8, подтверждаются громадной совокупностью экспериментальных данных. Однако лишь 'Строго говойя, чтог|ы полностью задать состояние системы, следует еше указать сдвиг фаз между состояниями с разлияныыв т.
Для обсуждения вопйосов, излагаемых в этой книге, сдвиг фаз не представляет интереса. 104 1ЛАВА 5 немногие из них могут быть рассмотрены на базе материала, изложенного в предыдущих главах книги. Большую часть экспериментальных данных мы рассмотрим в следующих главах, посвященных сложным атомам и атомным ядрам и их магнитным свойствам. Здесь же остановимся на в р а щ а тел ь н ы х 1ротационных) уровнях молекул и ядер. Рассмотрим квантовомеханический ротатор, изображенный на рис. 40 и являющийся моделью двухатомной молекулы.
Оператор энергии вращения такого ротатора Е связан с оператором углового момента ГХ формулой, аналогичной формуле для энергии классического ротатора: 4Хг Е= 2,7 ' где Х вЂ” момент инерции молекулы. Из этой форРис. 40. Модель рота- мулы видно, что собственные значения оператотора. ра энергии, так же как и собственные значения оператора квадрата углового момента, являются квантовыми величинами. Согласно (Хх7) имеем Е1 — — — 'Ц1 — 1), Ха (5.8) где 1 = О, 1, 2,... — вращательное квантовое число'. Из формулы (5.8) следует, что расстояние между вращательными уровнями ротатора растет с увеличением квантового числа 1. Действительно, расстояние между уровнями 1 и 1 — 1 равно (5.9) Вращательные уровни проявляются у многих квантовомеханических систем.
Их не удается наблюдать у атома водорода. Как уже отмечалось, «случайное» вырождение в кулоновском поле приводит к тому, что уровни, характеризующиеся как вращением электрона, так и возбуждением его радиального движения, совпадают по энергии с другими уровнями, в которых возбуждение радиального движения представлено сильнее, а вращение вообще отсутствует (см.
также З 20). У сложных атомов зто не так, но такие атомы малопригодны для сравнения теории с экспериментом, поскольку положение уровней в сложных атомных системах, гВ молекулярной оптике вращательное квантовое 1исло обозначается обычио буквой Ь 919 Врдщдтвльныв у овни молвкул. Молгкулярнгяв сивку ы !05 состоящих из ядра и нескольких электронов, с ту.
Одним из простых примеров вращающихся квантовомеханических систем являются нссферические атомные ядра. В природе такие ядра представлены довольно широко; к ним, в частности, принадлежат ядра большинства онрадиоактивных элементов, расположенных в конце таблицы Менделеева. Рассмотрим в качестве примера ядро азЯТЬ. Положение нижних уровней этого ядра легко исследовать по спектру ончастиц, испускаемых ядром азв1), Ядро пзпП распадается из основного состояния.
Энергия, которую уносят ст-частицы, определяется тем, на каком уровне оказывается дочернее ядро зззТЬ после а-распада. Измеряя энергии о-частиц, испускаемых ~зов.', нетрудно определить положение уровней ЯзаТЬ. На рис. 41 изображена схема уровней дздТй. Около уровней представлены врагцательные квантовые числа 1. Сопоставим энергии возбуждения уровней трудом поддается расче- Е, кэВ 550 ЗЗО 163 Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
