Л.Л. Гольдин, Г.И. Новикова - Квантовая физика. Вводный курс (1129347), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Если задаться шириной а и глубиной СТ потенциальной ямы, уравнение (3.11) в силу (ЗА) определяет возможные значения Е. Однако это уравнение является трансцендентным, и рассматривать его неудобно. Отложим поэтому дальнейшее обсуждение уравнения (З.П) и рассмотрим вначале более простой случай, когда не одна, а о б е с т е н к и у ямы бесконечно высокие. Так как при этом йг!!ага —.
О, то уравнение (3.11) принимает простой вид: Тя(йта) = О. (3.11') Уравнение (3.11') удовлетворяется при А!а=Ил, и=1,2,3, или А! =-. хпуа. (3.12) Решение й! = 0 (при а = 0), которое формалыю удовлетворяет уравнению (3.11'), на самом деле является лишним. В самом деле, при и! = 0 функция фг, а вместе с ней н см тождественно обращшотся в пуль. Это означает, что речь идет о случае, когда частицы в яме нет. Решения приобретают смысл при целых и, начиная с единицы.
1ЛАВА 3 бО От решения (3.12) с помощью первого из равенств (3.4) перейдем к возможным решениям для энергии 6 2 и я а Е=.— к,=- " и, а=1,2,3, 2т 2гпаз (3,13) '-2==в(Е - ) кл2 2га Е йа (3, 14) и вместо (3.5) найдем т, в д '»«2 а +»ю зьт = О; + ма э»в = О. да'д2 (3. 15) Решение первого уравнения имеет вид, аналогичный первому из ра- венств (3.10): А' Формула (3.13) показывает, что частица, «запертая» в потенциальной яме, может иметь только дискретные, квантованные значения энергии.
Эти значения принято называть у р о в н я м и э н е р г и и Для бесконечно глубокой ямы вычисление положения уровней, как мы видели, легко доводится до конца в общем виде. В произнольном случае положение уровней вычисляется с помощью уравнений типа (3.11), которые проще всего решать графически. Выясним причину, по которой возникает квантование энергии. Решения уравнения Шредингера в отдельных областях пространства, приведшие к (3.10), сами по себе к квантованию энергии не приводят.
Квантование возникло из-за того, что мы сшивали волновые функции на границе областей, в которых решение описывается существенно различными функциями: тригонометрической и зкспоненциальной. Существует общая теорема квантовой механики, в которой доказывается, что энергия всегда квантуется у систем, которые не могут уходить на бесконечность, и не квантуется у систем, саособнгях уходить на бесконечность. Таким образом, если частица в яме «не заперта», т.е.
при Е > Г, квантование энергии не возникает. К этому результату в рассматриваемом случае можно придти и путем точного решения задачи. При Е > (г вместо (ЗА) введем обозначе- ния $9. Пряморгольнля потйнцилльнля ямл. Принцип соотвйтствия 61 а решением второго является функция' тзг паза г — тызх ег = В е (3.17) Пошьем решения уог и шз в точке а. Приравнивая сзг(а) — -- узз(а), найдем лг — (е,а -. е %,а) Вге за Сге лза (3.18) 21' Приравнивая производные, получим А гзтга гн а , г нза г и га йг —.гзс (ег"" —: е г"га) .—. гм (В'е*"з' —, Сге "").
(3.19) Уравнения (3.18) и (3.!9) позволяют найти В' и С' через А'. Лмплитуду одной из волн, например А', следует считать заданной. Как нетрудно убедиться, Вг 4 — заза( гага (~1 + 1) — сига(ЗЦ 1) ) А инга( тига (зс1 1) - ззсга(з"1 + 1) ) Решение может быть найдено при любых действительных з н а ч е н и я х зсг и зсз, т е. при любом Е > сг'. Решения (3.16) и (3.17) проше всего интерпретировать, начиная с функции грг.
Эта функция представляет собой сумму двух волн де Бройля: волны ехр( — глазы), движушейся справа налево, и волны ехр(гзсзш), движущейся слева направо. Пришедшая из +со волна частично отражается и преломляется на границе ш .— о потенциальной ямы (зсз меняется на жг), отражается от стенки, расположенной при ш =- =- О (к члену, содержащему ехр( — гзсгш), прибавляется член с ехр(гзсйш), снова преломляется на границе т = о и уходит в бесконечность.
Б рассматриваемом простом случае особенно ясно видна причина, приводящая к квантованию энергии при Е < гу. При Е > гу' сшивка функций приводит к двум уравнениям для двух неизвестных коэффициентов В' и С'. Эти уравнения всегда имеют решения. При Е ( сг мы вынуждены были положить в уравнении (3.6) В = О.
Позтому сшивание 'Можно было бы записать это решение в виде Мг = Р Мп(згзз+д), однако приведенное в тексте выражение, как будет видно из дальнейшего, имеет более простой физический смысл. 62 1ЛАВА 3 решений привело к двум уравнениям, с помощью которых нужно было найти всего один коэффициент С.
А это возможно не при всех, а лишь при некоторых, характерных для рассматриваемого случая, значениях энергии. Вернемся к обсуждению формулы (3.1!). Разделив эту формулу на Йг, получим ск(кгп) = 1 1 )"'2 В правой части этой формулы стоит существенно отрицательная величина (о выборе знака к см. текст после формулы (Злб)). Чтобы левая часть равенства также была отрицательной, необходимо, чтобы ктп лежало в областях я,г2 ( )гта ( и, 3т~2 ( Иго, ( 2п и т, д. Во всяком случае, необходимо, чтобы выполнялось условие кга > я/2. Возведя зто неравенство в квадрат и заменяя )г-,' через й с помощью (3.4), найдем Вспомним теперь, что стационарные уровни возникают лишь в том случае, если Е ( сг.
Поэтому уровни в потенциальной яме рассматриваемого вида возникают лишь при условии, что Уа > 2 2 8т ' В левой части этого неравенства стоят параметры потенциальной ямы, а в правой — только постоянные числа и универсальные постоянные. Если полученное нами условие не выполнено (потенциальная яма слишком узкая или слишком мелкая), в ней не помещается ни одного энергетического уровня. Такие случаи встречаются не так уж редко. Силы взаимодействия между двумя нейтронами являются силами притяжения, однако ядра, состоящего из двух нейтронов, в природе не существует.
Лналогичным образом не существует и ядра, состоящего из двух протонов. В обоих случаях потенциальная яма сил притяжения недостаточно глубока для образования связанного состояния. Сила притяжения между нейтроном и протоном не намного больше сил, действующих между двумя нейтронами или двумя протонами. Этого небольшого различия, однако, достаточно для того, чтобы у уравнения Шредингера появилось $ 9. Прямою ольнля потшгциальнля ямл. Принцип соотввтствия 63 одно решение. Соответствующее связанное состояние нейтрона и протона называется дейтроном. Посколысу в этом случае имеется всего одно решение, дейтрон не имеет возбужденных состояний'.
Исследуем поведение тб-функции внутри потенциальной ямы. Для бесконечно глубокой ямы ! рафики этих функций изображены на рис. 20. Ограничимся решениями, приведенными на рис. 20. При возрастающих значениях и решения испытывают все более быстрые колебания и много раз обращаются в нуль. Таким образом, пространство, в котором движется частица, оказывается разбитым нулями смфункции па ряд отдельных областей.
ют( ') л ю Рис. 20. тжфупкция частицы в бес- Рис. 21. Распределение частицы конечно глубокой потенциальной в бесконечно глубокой потенциальяме. ной яме. Вероятность найти частицу в окрестности любой точки пропорци,я ,2 ональна д(ю): . На рис. 21 приведены графики для ~~(л) при и = ГБолее подробно эти вопросы рассматриваются в гл. !4. йт .—" ягго, кг =- 2я,га, Йт = Зи,га, ут(ю) = Аз!п(ят,,го) п!эи и = 1, ~(т) = Аз!п(2ял,Га) при и .— — 2, рэ(ю) = Аз!п(3июгго) при и = 3.
64 1ЛАВА 3 = 1, 2, 3. Мы видим, что в низшем энергетическом состоянии (и = 1) с наибольшей вероятностью частицу можно найти посередине ямы; вероятность нахождения частицы вблизи краев ямы равна нулю. Такое поведение частицы резко отличается от поведения «классической» частицы, которое мы обсуждали в начале параграфа. Заметим, что минимальное значение, которое может иметь энергия частиц в яме, т.е, значение энергии при и — — 1, отлично от нуля: Е, =- 2таз В классической физике частица может «лежать» на дне ямы.
В квантовой физике это невозможно. И это можно было предсказать заранее, до решения задачи. Ведь помещая частицу в яму, мы тем самым ограничили область возможных значений ее координаты; у такой частицы в силу принципа неопределенности должен существовать разброс по импульсам, а следовательно, и отличная от нуля энергия. Попробуем определить эту энергию по порядку величины без точного решения — на основании принципа неопределенности.
Неопределенность положения частицы в нашем случае равна а. Поэтому Ьх = а. Согласно соотношению неопределенностей (1.33) 2яй 2лй а Мы уже выяснили (2.27), что (рв) =- (р)з -. ((Лр)з). В нашем случае положительные и отрицательные р равновероятны, так что (р) = О. Поэтому (р") ((т) р) ' .-' -'бз 2т, 2т 2таз та Сравнивая полученное выражение с Е,, убеждаемся в том, что мы нашли правильный по порядку величины результат. Вернемся к рис. 21.
Видно, что с увеличением энергии (т. е. с ростом з квантового числа и) максимумы кривой ~ ф(х), располагаются все ближе и ближе; при очень больших значениях максимумы и минимумы следуют друг за другом так быстро, что при не очень точных опытах (практически при любых опытах с макроскопическими телами) картина «сливается» и представляется равномерным распределением, известным из классики. Оценим расстояние между уровнями. Для этого возьмем логарифмическую производную от равенства (3.!3); ЬЕ,,Ьо 2 2 $9.
ПРямоугг»лънАИ потенциАльнАя ямА. ПРинцип сООтВетствия 65 Из полученного равенства видно, что расстояние между энергетическими уровнями, отнесенное к величине энергии, уменьшается с увеличением п и для очень больших п так малб, что распределение разрешенных значений энергии оказывается практически непрерывным. Мы уже ввели ранее критерий, при выполнении которого достаточную точность дает классическая физика, и применять формулы квантовой механики не обязательно. Этот критерий был записан в виде Х » Л. Смысл его заключается в том, что при длинах волн, много меньших размеров системы, в которой движется частица, квантовомеханические особенности частиц оказываются несущественными. В рассмотренной задаче действует, вообще говоря, этот же самый критерий. В самом деле, с увеличением энергии (числа и) длина волны Л уменьшается, и при тех же размерах системы (в нашем случае — потенциальной ямы) критерий применимости классической физики выполняется все лучше.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
