Л.Л. Гольдин, Г.И. Новикова - Квантовая физика. Вводный курс (1129347), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Опыт показывает, что в таких случаях измеренные значения г действительно оказываются дискретными и совпадают с собственными значениями го,. Хорошим примером дискретности в микромире являются оптические спектры атомов, которые состоят из ряда отдельных тонких линий. Существенным различием макромира и микромира является то, что в макромире все объекты одного сорта различны, а в микромире — одинаковы. В самом деле, все дома различны, все люди разные, не бывает двух в точности одинаковых песчинок и т.
д. И наоборот: опыт свидетельствует, что все электроны одинаковы, все протоны одинаковы и все атомы одного сорта тоже вполне одинаковы. В точности одинаковы и спектры, испускаемые атомами одного и того же сорта (например, атомами водорода или атомами гелия и т.д.). ф 8. Уравнение Шредингера Перейдем к изучению изолированных физических систем, т.е. систем, настолько слабо связанных с окружающим миром, что этой связью можно вовсе пренебречь. Как известно, у таких систем сохраняется энергия. Их состояния, следовательно, описываются ~':-функциями, удовлетворяющими (2.28), в котором в качестве г' фигурирует оператор полной энергии системы. Подставляя в (2.28) значение оператора полной энергии (2.23), находим (2.30) Это уравнение играет важнейшую роль в квантовой физике и носит название у р а в н е н и я Ш р е д и н г е р а для стационарных состояний (стационарными в квантовой механике называются состояния с неизменной энергией).
Уравнение (2.30) может быть записано в более компактном виде, если для оператора дз/дхз+ д'/дрз+ дз~дзз, называемого обычно оператором Лапласа, ввести общепринятое обозначение х: 55 з 8. УРАВнение ШРедингвРА гй~ =. 11Ф. дг (2.32) Обсуждение этого уравнения выходит за рамки книги Уравнение (2.30) получается из общего уравнения Шредингера, если гамильтониан Й явно не зависит от времени.
В этом случае волновая функция Ф может быть представлена в виде произведения функции г)г(х, р, з), зависящей только от координат, и функции Ф(1), зависящей только от времени, так что Ф(г * ен ) =Ф( д* )Ф(1). Подставляя это выражение в (2.32) и деля обо части полученного уравнения на Ф(т, х, р., з), найдем где 1 -,, — — =- — Н Ф.
Фдг Ф Левая часть этого уравнения зависит только от времени, а правая — толысо от координат. Они не зависят, следовательно, нн от координат, ни от времени и равны некоторой константе. Обозначив эту константу через Е, найдем дж гй — = Ер, НФ = Евч г(г Первое из приведенных уравнений приводит к уже известной зависимости вол- новой функции от времени Чг(1) = ехр( — г — 1), Е а второе совпадает с уравнением Шредингера для стационарных состояний, т. е.
с (2.30). 'Об исключениях нэ этого правила см. текст после формулы (3.8). Физический смысл имеют лишь конечные, однозначные, непрерьгвные и гладкие решения этого уравнения~. В отличие от уравнений Ньютона уравнение Шредингера является не просто дифференциальным уравнением, а дифференциальным уравнением в частных производных.
Такие уравнения аналитически решаются крайне редко. Поэтому в квантовой физике существует очень узкий круг задач, решаемых в аналитическом аиде до конца. Однако можно научиться оценивать результат и в тех случаях, когда точное решение не может быть получено из-за сложности уравнения. Для этого в следующей главе будут проведены исследования общих свойств решений уравнения 1Предингера па простых примерах, когда такие решения можно получить и проанализировать полностью. В заключение отметим, что уравнение Шредингера для стационарных состояний является частным случаем более общего уравнения 1Предингера, описывающего поведение любых нерелятивистских систем: ГЛАВА 3 ЧАСТИЦА В ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЕ.
КВАНТОВАНИЕ ЗНЕРГИИ. ТУННЕЛЬНЫЙ ЗФФЕКТ 99. Прямоугольная потенциальная яма. Принцип соответствия Рассмотрим случай, когда потенциальная энергия частицы У(я:) равна нулю на отрезке О < л < щ обращается в бесконечность при и < О и равна некоторой положительной величине Г при ж > а (рис. 19)'.
Если полная энергия частицы Е < сУ, то говорят, что частица находится в «потенциальной яме». Рассмотрим вначале, как будут себя вести в такой яме классические частицы. Eа отрезке О < ж < а они движутся с постоянной кинетической энергией и, следовательно, с постоянной скоростью. Энергия частип в яме может иметь любое значение. При О К Е < У частицы не могут выйти за край ямы, потому что вне ямы потенциальная энергия болыпе полной и кинетическая энергия должна была бы иметь отрицательное значение, что невозможно.
Подойдя к краю ямы, частицы «отражаются» от стенки и движутся в противоположную сторону, там снова отражаются и т. д. Таким образом, частицы, подчиняющиеся классической физике, отсутствуют вне потенциальной ямы и могут быть с равной вероятностью найдены в любом месте ямы Частицы, подчиняющиеся квантовой механике, ведут себя сушественно иначе. Основные особенности движения могут быть поняты без расчетов.
Мы уже знаем, что ф-функция частицы должна быть непрерывной и гладкой. Поэтому ф-функция не может «оборваться» у прая вой стенки и должна продолжаться за ней-, хотя за краем ямы полная 'для простоты мы рассматриваем одномернущ эадачу. тО том, как ведет себя ьмфункция при обращении потенциальной энергии в бесконечность. мы поведем речь ниже. После этого можно оудет обсуждать поведение ьифункции у левов стенки. $9.
Пгямо«толы!Ая потвпцнхлы!Ая ямА. Пгинцип соответствия 5? дг г/» а — — „+ (?(т)в! = Есь 2ш г/д;в (3.1) Так как функция 1/(х) является ступенчатой (рис. 19), то для решения задачи удобно разбить область изменения л на два участка с постоянными значениями 11, получить решения для каждого участка в отдельности, а затем «сшить» их так, чтобы б-функция была непрерывной и гладкой. Область л < О, как будет нидно из дальнейшего, интереса не представляет. Назовем область О < ж < а областью ! и все решения в этой области снабдим индексом П Область л > а назовем областью П и припишем индекс 2 решениям во второй области.
Уравнение (3.!) в области 1 примет вид /?(л) О а Рис !9. Прямоугольная потенциальная яма с бесконечно высокой стенкой при з . †.. О. Й~ «/ ьз! , Е«/« 2гц г/жз (3.2) а в области 11 запишется в виде 32 — — — Огь в = Е«дз. 2гп г/а;з (3.3) Введем обозначения ;,в 2тЕ 1= 1в /сз~ = ~(/? .- Е). (3А) При этом уравнения (3.2) и (3.3) примут простой вид: г/'О! ., г/'-»!в йг'!ь! = О, /гзю2 = О. г/лз г/лз (3.5) энергия меньше потенциальной.
Следует ожидать, что этот заход в запретную с классической точки зрения область будет тем меньше, чем тяжелее частицы, так как очень крупные, «классические» частицы в области с Е < 11 заходить не могут. После этих предварительных замечаний перейдем к точному решению задачи о движении частицы в потенциальной яме. Уравнение Шредингера в одномерном случае имеет вид 1ЛАВА 3 Как следует из (3.4), йт~ и йза — величины положительные. Решая урав- нения (3.6), найдем ф~ =-.4В1П(йта-' Э.) ЫЗ = Всйв СЕ (3.6) В формулах (3.6) А., .а, В. С вЂ” некоторые константы. Примем теперь во внимание условия, которым должна удовлетворять 1,'.-функция, Учтем прежде всего, что т5-функция должна быть всюду конечной (в том числе и в бесконечно удаленной точке!), Будем считать йв положительной величиной (выбор отрицательных значений вместо положительных приводит просто к обмену местами первого и второго членов второй формулы (3.6)).
Член ехр(йат) при х — ~ оо неограниченно возрастает. Поэтому необходимо, чтобы В =- О. Потребуем, чтобы решения Уч и т5а в точке а были равны (чтобы решение было непрерывным) и переходили одно в другое без излома (чтобы оно было гладким). Приравнивая т1ч(а) и фа(а), найдем .4а1 (й а —, -) = С. 'ь'ч. (3. 7) Полагая Щ/г(л в точке а равным Щз/г(л, получим йд А сов( йз а + э) = — йж Се ~". Деля эти два равенства друг на друга, найдем Гй(йта — ' Эг) = — йг/йз.
(3.8) Сд(йта :р) = О, что возможно лишь в тех случаях, когда в1п(йга + э",) = О, а значит, и уд(а) обращается в нуль. Мы замечаем, таким образом, что в точке, где потенциальная энергия бесконечно возрастает, ж-функция обращается в нуль. За стенкой 6-функция начинается с нулевого значения, а далее может только затухать, как это следует из (3.6). Она, следовательно, остается равной нулю, Производная г(ф1 фл при сг— ос в нуль не обращается. Мы видим, таким образом, что в т о чке, где потенциальная энергия обращается в бесконечность, 11-функция обращается в нуль, остается непрерывной, по перестает быть гладкой. Потеря гладкости является «наказаниемл за нефизическое допущение Исследуем прежде всего случай, когда 6г очень велико.
Как следует из (3.4), йг при увеличении 6г не изменяется, а йз возрастает. Поэтому при (à — оо отношение йг,1йз — О. При бесконечно высокой стенке, следовательно, $9. ПнямоугОлъиАя потецциАлы!Ая ямА. ПРинцип сООтветствия 59 о том, что потенциальная энергия обращается в бесконечность. Ио даже при таком допущении ф-функция Остается непрерывной. Проведенные выше рассуждения полностью применимы к бесконечно высокой левой стенке ямы, т, е, при !г —.. О функция ьб! должна обратиться в нуль. Имеем поэтому мнфункция остается равной нулю налево от точки т = О, т.е.
при всех отрицательных значениях х. Уравнения (3,6) с учетом (3,7) и (3.9) сильно упрощаются и приобретают окончательный вид: !!! = АВ1п()гтл), ф~ = Сехр( — lгзл). (3.10) Вместо уравнения (3.8) получим (3. Щ 18(ига) = .-йг/й . В уравнение (З,П) не входит ни одна произвольная константа, и из него следует, что решение задачи имеется не при любых значениях параметров.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
