Л.Л. Гольдин, Г.И. Новикова - Квантовая физика. Вводный курс (1129347), страница 9
Текст из файла (страница 9)
4О ГЛАВА 1 Квантовая механика утверждает, что рассчитать можно только волновые функции, т.е. вероятности, но нельзя предсказать, какая из возможностей в конце концов осуществится, Какая из возможностей будет реализована — дело случая, и эта неопределенность возникает нс вследствие несовершенства квантовой механики, а вытекает из существа законов, действукэщих в микромире и правильно отражаемых квантовой механикой. Г,ЛАВА 2 ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ В предыдущей главе было показано, что движение микрообъектов описывается не траекториями, а ~-функциями, причем вид ф-функции зависит от конкретной физической задачи.
Мы ныяснили, кроме того, что т~.-функция, описывающая сама по себе распределение по координатам, определяет также распределение по импульсам. Очевидно, что и другие динамические характеристики частицы, такие как кинетическая энергия, момент импульса и др., также определяются ее волновой функцией. В самом деле, кинетическая энергия частицы задается числовым значением ее импульса р, а для определения момента импульса нужно найти векторное произведение координаты г и импульса р. Таким образом, задание ~':-функции полностью определяет не только положение частицы, но и все ее динамические характеристики. Задача об определении и правильном истолковании ф-функции является поэтому основной проблемой квантовой теории.
К решению этой задачи мы и приступаем. ф Б. Средние значения Очень важным в физике микромира является понятие с р ед н ег о з н а ч е н и я различных физических величин. Напомним читателю на простом примере, как вычисляются средние значения. Рассмотрим дг молекул, движущихся с различными скоростями и, следовательно, с различными энергиями.
Проще всего определить среднюю энергию этих молекул, сложив энергии всех молекул и разделив полученную сумму на число молекул: м г2.1) В этой формуле энергия г-й молекулы обозначена через Е„а среднее значение энергии, как это принято в квантовой механике, обозначено той жс буквой, что и сама энергия, и заключено в угловые скобки. 1ЛАВА 2 (Эта формула в нашем случае не является вполне точной, так как непрерывно меняющуюся энергию молекул мы заменили дискретным набором Ею Однако при достаточно мелком разбиении неточность может быть сделана сколь угодно малой.) Формула для определения средней энергии примет теперь вид (Е) = —, ~ ~ДгвЕь = ~~~ Ев —, = ~~ ЕаРь (2.2) Величина Дгв/Ж, обозначенная через Рю определяет долю молекул, энергия которых лежит в Й-и интервале, или, что то же самое, вероятность иметь заданную энергию Еь (заметим, что сумма всех вероятностей Рги как всегда, равна единице).
При непрерывных распределениях вероятность попасть в бесконечно малый интервал между Е и Е -Ь дЕ зависит от выбранного значения Е и от ширины интервала дЕ и обозначается поэтому Р(Е'у(Е. Функция Р(Е) определяет в этом случае распределение молекул по энергии и носит название плотности вероятности. При непрерывных распределениях сумма (2.2) должна быть заменена интегралом (Рь заменяется при этом на Р(Е)дЕ): (Е) =.. / ЕР(Е)г)Е (2.3) Интеграл (2.3) берется по всем возможным значениям Е. В общем случае, когда ищется среднее значение какой-то величины х, плотность вероятности соответственно обозначается Р(ш).
Формула (2.3) широко применяется в пауке и используется, например, в кинетической теории газов (р(Е) задается при этом распределением Максвелла). Перейдем теперь к задаче об определении среднего значения координаты ш для микрочастицы, обладающей волновой функцией Эь(л). Квадрат модуля и-функции Ьь(т)~~ является плотностью вероятности Другой способ вычисления средней энергии заключается в следующем.
Подсчитаем Хв — число молекул, энергия которых заключена между Еь и Еьш (например, между 0,031 и 0,032 эВ). Произведем такой подсчет для всех наблюдающихся значений энергии. Сумма, стоящая в числителе (2.1), может быть выражена в виде 1ЛАВА 2 Если распределение частицы в ящике описывается волновой функцией ф(:с), то функция ф(ш) должна удовлетворять у с лови я м н о рмировки: 7= З~/ц(. )!21л —...1 (2.7) (см.
(!.35) и (1.36)). Разложим ьу(ш) в ряд Фурье: ф(ш) — —. ~ ~С ехр (з — х) . ьт2А (2.8) Коэффициенты С определяют, с каким весом присутствуют в ф-функции различные волны де Бройля. В разложении (2.8) мы применяем волны де Бройля ехр(т',— х), которые сами удовлетворяют усло- СР-, ,72Л А(, Гз вию нормировки (2.7). Как мы увидим впоследствии, такой выбор делает физический смысл С,„особенно наглядным, По известной теореме о рядах Фурье показатель экспоненты на длине яшика должен изменяться на целое кратное от 2тгз.~ Поэтому зд Р,п — — — тп, А (2.с1) где ьч — любое целое число. Чтобы найти коэффициенты Сьы проще всего умножить уравнение (2.8) на ехр( --1 — т~ и проинтегрировать его затем цо л от -.А 1 У сР ь' 2Л до —,А.
В правой части уравнения все члены суммы с т ф и обратятся в нуль вследствие периодичности функции ехр(т ц) Член с пз = Р Рп й — —. и равен 2АСо, Поэтому С„= / ф(:г) ехр( — з — т) зьтх ь'2А У (2.10) Приведем без доказательства известную из теории рядов Фурье т еорему полноты: (2.1Ц 'Можно, например, считать, что размер яшика 2Л является периодом функции ф(к), Поскольку края ящика отоавииуты аостаточио далеко, никакие прслположеиия о повелении функции за ящиком на результатах опыта не сказываются. 45 э 6.
Опегхтогы Как уже отмечалось, коэффициенты С определяют вес, с которым присутствуют в и-функции различные волны де Бройля, т, е, состояния с определенным импульсом. Формула (2.11) показывает, что смысл вероятности имеют не сами С„,, а квадраты их модуля, так как только в этом случае сумма вероятностей иметь все возможные импульсы обращается в единицу. Среднее значение импульса равно поэтому (р,) =5 Сбр С,„. (2.12) Хотя формула (2.!2) и дает однозначное правило определения (р,), она крайне неудобна для вычислений, так как требует нахождения всех С (по формуле (2.10)) и вычисления бесконечной суммы (2.12). В теории рядов Фурье показывается, что формула (2.12) может быть приведена к простому виду: (р ) — / ~ (л)( |5 —,)ьр(4) тЬ„ (2.13) Доказательство этой формулы приведено в Приложении 1.
ф 6. Операторы (2. 14) В(214) входит оператор проекции импульса на ось л р, = —.15 —. д дм (2.15) Проверим формулу (2.14) для «обыкновеннойэ волны де Бройля ф(т) = ехр(! — х). т| 2А (2.16) Формула (2.13) позволяет решить задачу о нахождении среднего значения импульса без разложения в ряд Фурье непосредственно по функции ф(ю). Этой формуле может быть придан вид, аналогичный (2.5): !ЛАВА 2 нормированной в ящике — А < х < А. Среднее значение импульса в этом случае известно заранее, поскольку написанная волна определяет состояние с вполне определенным значением импульса — значением, равным р По формуле (2.14) имеем (рв) = / ф" ( .) ( — 6 —,) ф( ) й = д дх л / ехр(-1 — х) (-Ж вЂ”,) ехр(г — х))дх— л л — ехр! — 1 — х) р,„ехр(1 — х)дх = — / дх = р,„. 2А/ (, й ) \ 6') 2А/ Мы видим, что формула (2.14) действителыю быстро приводит к правильному ответу.
Общее утверждение квантовой механики заключается в том, что среднее значение любой физической величины 7 находится по формуле (2.17) где ! — о и е р а т о р физической величины ). Мы уже установили вид 7' для х и любой функции от т. Сравнение (2.4) и (2.5) с (2.17) показывает, что оператор х приводит к простому умножению на х, а оператор ) (х) — к умножению на функцию Дх). Мы нашли также оператор р(х). Он определяется формулой (2.15).
В этой связи нужно только отметить, что для простоты изложения до сих пор формулы писались так, как если бы ф-функция всегда зависела от одной координаты х. В общем случае в расчет следует принимать все три пространственные координаты, так что вместо (2.!7) нужно писать (7) = О/ Ю (х, у, з)У(х, у, а)ьч(х, у, з) ах пуда, $6. Опаглтогы 4? или (2, 18) где сЛ' — элемент объема. Операторы трех проекций импульса можно написать по аналогии с (2.15): Рв — - - 16 —., Р„= -16 —,, Ря — -- -16 с . (2, 19) или в векторной форме: р —...
— 16х?, (2.20) где х? — оператор градиента. Операторы х и р являются основными операторами квантовой механики. Укажем правило, позволяющее находить операторы всех других физических величин. В декартовой системе координат формулы, которые классическая физика выводит для связи между числовгями значениями физических величин, в квантовой механике следует рассматривать как формулы, связывагои1ие операторы этих величин. Так, например, связь между кинетической энергией и импульсом в обычной механике определяется формулой 7'= — = — (р,+р +р').
р 1 з, 2 2т, 2гп (2.21) Оператор кинетической энергии равен поэтому 2пт( х = — [( — 16 —,) ( — 16 —,) + ( — 16; —,) ( — 16 —,) + ( — 16 — ) ( — гй —,)], т. е. (2.22) Определенный формулой (2.22) оператор Т может быть использован для нахождения среднего значения кинетической энергии по формуле (2.!8) или (2.17), если известна гыфункция частицы. Рассмотрим, например, волну де Бройля (2.16) ьз(х) = ехр(г †'х), распростра- 1 /Рж 2А няющуюся вдоль оси х.
Так как выфункция в этом случае не зависит от координат у и х, нет нужды прибегать к (2.18) и можно применить для 1ЛАВА 2 вычисления (Т) формулу (2.17). Замечая, что дифференцирование по р и 2 обращает ф-функцию в нуль, получим (Т) — -- / ф'(х)ТЯхфх = А — — 2/ ехр( — 1 — х) ( — —, ) ехр(т — х)с(х =.
2 7 . 2 Ртп 1 Рт 2тйА / 2т,' (Т) = / ф'Тфйг — ~ ф — '' (р.' -' Р.„' ь р'М )Р = — -- — / с1 р. фсЛ: — —,/ аз р ь'тЛ' —, —, / ф р саЛт =. 2т/ и 2т/ Я ' 2т/ '2т '( *) (РР) В общем случае эта формула не приводит к классической связи между энергией и импульсом. Чтобы в этом убедиться, достаточно заметить, что, вообще говоря', (12.') Ф (1зя)'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
