Л.Л. Гольдин, Г.И. Новикова - Квантовая физика. Вводный курс (1129347), страница 13
Текст из файла (страница 13)
При больших квантовых числах, как мы видели, частицы начинают вести себя совсем «по-классически». С увеличением размеров системы (с увеличением ширины потенциальной ямы) «квантовомеханическая частица» при все меньшей энергии превращается в «классическую частицу». В этом легко убедиться, решая конкретные примеры с различными значениями ширины ямы а. Таким образом, при определенных условиях (при больших и) квантовая физика переходит в классическую физику; поведение частип при выполнении этого условия все более утрачивает особенности, характерные для микрочастиц.
Этот результат является частным случаем общего физического принципа — п р и н ц и па с о от ве тот в и я. Согласно этому принципу любая новая теория, претендующая на большую общность, чем общепринятая теория, обязательно должна переходить в старую, классическую теорию в тех условиях, в которых «старая физика» была построена и проверена на опыте. Квантовая механика, как мы видим, принципу соответствия удовлетворяет. Перейдем к яме с конечной высотой стенки. Как следует из (3.10), в области Т1 решение не равно пулю и имеет вид спадающей экспоненты.
Это означает, что частица может заходить в область, где Е < (Т, но, как и следует ожидать исходя из принципа соответствия, вероятность нахождения в этой области тем л»еньше, чем дальше мы отойдем от края ямы. В классической физике частица вовсе не может заходить в области с Е < ЕГ, так как при этом кинетическая энергия частицы оказалась бы отрицательной. В квантовой механике, как мы видим, такая ситуация возможна. Объясняется это тем, что равенство Е = Т -, Г в квантовой механике нельзя понимать как численное равенство.
В квантовой механике это равенство справедливо для операторов Е =- Т вЂ” О и для 66 1ЛАВА 3 средних значений (Е) = (Т)+ (У). Численное равенство Е' = Т и- П для мгновенных значений Т и ст в микромире невозможно уже потому, что оно бессмысленно: как мы уже отмечали, потенциальная и кинетическая энергия в силу принципа неопределенности не могут одновременно принимать определенные значения.
В самом деле, потенциальная энергия зависит от координат, а кинетическая — от импульса частицы. Поэтому не следует удивляться тому, что в некоторых точках пространства полная энергия оказывается меньше потенциальной. Рассмотрим обсуждаемый вопрос еще с одной точки зоЬепия. В области Т! волновая функция пропорциональна экспоненте е '", где кз = ,гам мГь в р р г быстро падает с увеличением х. При значении х = 1/йа волновая функция уменьшается в е раз, а вероятность найти частицу на таком расстоянии от границы ямы уменьшается в ез раз, т.е, почти на порядок. Примем значение х = 1 Гкз за меру неопределенности положения частицы в запретной зоне и обозначим ее Ьх, л.
ч~ 2 я/ — 6). В этом выражении под корнем стоит «нехватка» энергии У вЂ” Е. Если бы под корнем стоял нуль, то частица могла бы сколь угодно далеко заходить в запретные области. В /2 гу е) р Ф ' у терпретироваться как «нехватка» импульса бр. Следовательно, бр = й,гЬх. Мы знаем, что неопределенность импульса выражается приближенным равенством Ьр = 2яй,гЛх. Таким образом, «нехватка» импульса, как и следовало ожидать, по по- рядку величины равна его неопределенности.
$10. Потенциальный барьер. Туннельный эффект Проникновение частиц в область, где потенциальная энергия оказывается больше полной, может проявляться в ряде важных физических явлений. Рассмотрим потенциальную яму, изображенную на рис. 22. Этот случай отличается от случая, изображенного на рис. !9, тем, что область, в которой потенциальная энергия отлична от нуля, занимает не все полупространство х > а, а узкую область от а до Ь. Область э 10. 1!ОтенциАлъный БАРъеР. Туннелъный эФФехт 6? а, < ш < (л где Е < П, называют в этом случае потенциальным барьером. Запрем в начале опыта серию частиц в области 0 < ю < а.
экспоненциально падающее п(м) решение (3.10) в точке 6 будет мало, но все-таки отлично от нуля. Наши частицы смогут по- 1 П 1П этому проникнуть в область 111, расположенную за потенциальным барьером, и уйти из Š— — — — — —— потенциальной ямы. Попавшие в область 1?) частицы беспрепятственно уходят в сторону и о Х больших м и обратно не возврап1аются. Соответствующая еофункция имеет вид бегущей Рис. 22. Потенциальный (уходящей) волны. Через достаточно большой барьер. промежуток времени все частицы уйдут из области 0 < ж < а.
Просачивание частиц сквозь потенциальный барьер носит название туннельного эффекта. Как ясно из предыдущего, задача о проникновении частиц сквозь потенциальный барьер является примером из квантовой механики нестационарных систем (систем, состояние которых зависит от времени). Рассмотрение таких задач, вообще говоря, выходит за рамки этой книги. Формула (3.10), однако, позволяет сделать важную оценку, основанную на том, что туннельный эффект происходит медленно, и задача о проникновении частиц сквозь потенциальный барьер является «почти стационарнойа, так что без большой погрешности для расчета можно применять (3.10). ныфункция частиц за потенциальным барьером отличается от ннфункции перед барьером множителем е "ць "). Вероятность нахождения частицы определяется квадратом волновой функции. Плотность частиц за барьером поэтому отличается от плотности частиц до барьера множителем РЙ О =,-*ЕЕЕ- > = еЬтв-О~ЖР-трии1.
РСЕ> Величина Р называется прон ицаемостью барьера. Важным примером прохождения частиц сквозь потенциальный барьер является ст-распад радиоактивных ядер. При ст-распаде материнское ядро испускает ст-частицу, состоящую из двух протонов и двух нейтронов и превращается в дочернее ядро. На рис.
23 изображен график потенциальной энергии взаимодействия а-частицы с дочерним ядром. При 'Как ясно иа вывода, формула (3.20) справедлива только для «понти стационарных» решений, т. е. при Еу « Е 68 1ЛАВА 3 больших расстояниях между ядром и оичастицей их взаимодействие с хорошей точностью описывается законом Кулона (3.21) Утт(г) = Уе зе/г, где Яе — заряд дочернего ядра, -е — за03г) ряд о-частицы (а = 2). Этот участок кри- 13 И вой обозначен на рис. 23 римской циф- рой П. При малых расстояниях между В дочерним ядром и о-частицей начинают сказываться короткодействующие силы притяжения — ядерные силы. Поэтому при малых расстояниях потенциальная энергия меняет знак и становится отрицательной. Зависимость ядерных сил от расстояния плохо известна.
Сколько-нибудь точно восстановить форму поРис. 23. Потенциальный баРьер тенциальной ямы в области г не удастся. К счастью, результат расчета не очень к этому чувствителен, так что в области 1 яму просто считают прямоугольной. Ширина прямоугольной ямы близка к размерам ядра. Для тяжелых элементов, расположенных в конце периодической системы, радиус ядра гл по порядку величины равен 10 ш см. Рассмотрим в качестве примера ст-распад эшро, Заряд ядра полония равен 84е. Полоний испускает оичастицы с энергией 5,30 МэВ; его период полураспада равен !38 дням. Дочернее ядро эовРЬ имеет заряд, равный 82е. Вычислим высоту потенциального барьера — значение потенциальной энергии в точке А (рис. 23). С помощью (3.2!) найдем уе 2е 82 2(4 8 10 — »о)э У = ' = ' =3710 з р =23МэВ, гл 10 '-' Мы видим, что энергия г»-частиц существенно меньше высоты барьера, так что с»-распад возможен только в результате туннельного эффекта.
Формула (3.20) описывает вероятность прохождения частиц под прямоугольным барьером, в то время как форма барьера при а-распаде скорее «треугольная», чем прямоугольная. Выражение для прозрачности барьера произвольной формы в общем виде получить не удается. Приближенное же значение для проницаемости барьера можно получить, заменяя истинную форму барьера суммой прямоугольных участков, как это показано на рис. 23. Г!олная картина прохождения частицы сквозь з!1. ЛинейныЙ ГАРмоническнг! Осцнллятог что П = ехр( — 2 ~ ~сгг, —,(У, — Е))— 1Я Ф -, р(-21 й — — '"1и! ! — л]л).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
