И.Е. Иродов - Квантовая физика. Основные законы (1129341), страница 17
Текст из файла (страница 17)
При этом в (4.33) 2Ы = 1 и 1 = 1/2)2 = Ь/„/8т(Уо — Е). (4. 34) Можно убедиться, что для электрона при Уз — Е ~ 10 2 эВ глубина проникновения ( = 10 2 см. Таким образом у-функция проникает в область х > О, несмотря на то, что падающая волна отражается полностью. В классической физике проникновение частиц под барьер запрещено, поскольку в этой области кинетическая энергия оказывается отрицательной, чего быть не может. Но мы уже знаем, что разделение полной энергии Е на кинетическую н потенциальную не совместимо с соотношением неопределенностей (3.20), см.
также стр. 95. Туннельный эффект. Способность квантовых частиц в силу своих волновых свойств заходить под барьер приводит к так называемому туннельному эффекту. Он заключается в следующем. Если частица с энергией Е налетает на некоторый потенциальный барьер У(х), то она с определенной вероятностью может пройти сквозь барьер как бы по туннелю, т. е. пройти область, где Е < У.
Уравнение Шредингера. Квантование В качестве иллюстрации приведем результаты расчета плотности вероятности Р(х) местоположения частицы, налетающей слева на простейший прямоугольный потенцио~ ~ х альный барьер, показанный на рис. 4.12. ! Р(х) Слева от барьера мы имеем падающую и от-,', '! ',1'. раженную волны, а за барьером — только () Х прошедшую волну. Внутри барьера вг-функРис. 4.12 ция имеет не волновой характер, в результате чего Р(х) убывает практически экспоненциально.
Соответствующий расчет показывает, что в случае потенциального барьера произвольной формы (рис. 4.13) вероятность прохождения частипы сквозь барьер, т. е. коэффициент прозрач- ности 2 э *р ~-- ),6 о -к>~*~. (4.35) Это приближенное равенство, оно тем точнее, чем меньше (У-Е) по сравнению с Е. Туннельный эффект — специфически квантовое явление, не имеющее аналога в классической физике (где хе Х такого в принципе не может быть). Этим эффектом объясняются многие физические явления; например, холодная эмиссия электронов из металлов, альфа-распад, спонтанное деление ядер и др.
Задачи 4.1. Свободное двювение частицы. Найти решение временного уравнения Шредингера (4.5) дла свободной частицы массы т, движущейся с импульсом р в положительном направлении оси Х. Р е ш е н и е. В этом случае потенциальную энергию частицы можно считать равной нулю У(х) = О, и уравнение (4.5) примет вид . дЧ' а дэЧ' 1 дс 2т дхэ Глава 4 Его решение будем искать методом разделения переменных, т. е. представим Ч' в виде произведения двух функций, одна из кото- рых зависит только от х, другая — только от С: Ч'(х,С) = Чс(х) Г(С).
(2) Подставив (2) в (1), приходим к двум независимым уравнениям: 1 Ь»у" РЬ вЂ” = - —— 2вс Ч» (3) где с' — производная по с,»у" — вторая производная по х. Так как обе части этого уравнения являются функциями независимых переменных с и х, то равенство (3) возможно лишь в том случае, если обе его части равны одной и той же константе. Из сравнения выражения (3) с уравнением Шредингера (4.9) видно, что эта константа равна Е. Таким образом мы получаем два уравнения: 2т »у ' + — ЕЧ» = О, Ьг (+1 †1.
° .Е Ь (4) Их решения, как можно в этом убедиться непосредственной под- становкой, таковы: Чс(х) «о е»'», Ь = Г2тЕ(Ь = р/Ь, с(с) е "', е» = Е/Ь, (б) где значения й и с» записаны в соответствии с постулатами корпу. скулярно-волнового дуализма. В результате искомое решение согласно (2) будет иметь вид Ч'(х,с) =Аел»* Именно такой вид имеет дебройлевская волна.
Плотность вероятности местоположения соответствующей частицы Р(х) = Ч»Ч»* = АА' = сопэ). Этб означает равновероятность местонахождения такой частицы во всех точках пространства (оси Х). Данный вывод вполне согла- суется с соотношением неопределенностей: при Лр, = О х -»»», т. е.
частица «размазана» равномерно по всему пространству. Это решение будет конечным лишь при Е > О, причем при любых значениях Е. 105 Уравневве Шрэдввгера. Квэвтовавве Р е ш е н и е. Согласно (4.15) сьфункция в основном состоянии (и = 1) это у =,/2/1 э1п(хх/(). Искомая вероятность Р= )З (Х)ба= — ~ — — — ~ = — + —.ь061, 2(у э(п2у) ' 1 ъ/3 х(2 4 ~„3 2х я и где введена новая переменная у = лх/й 4.3.
Найти энергию Е стационарного состояния частицы массы гл в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной 1 с абсолютно непроницаемыми стенками, если на границе ямы (х = 0) известно значение производной ду/дх, т, е. у'(0). Р е ш е н и е. Известно, что у-функция и-го стационарного состоя- ния определяется формулой (4.15). Взяв ее производную по х и положив затем х = О, получим: Гэ/ Г2 лл ялх — = ~ — — соз бх я /2 к. (ззз э=э Отсюда находим зы и = Чс'(0).
х42 Подставив зто выражение в формулу (4. 14) для энергии, имеем (аз Е = — [у'(О))'. 4т 4.4. Электрон находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Ширина ямы равна 1 и такова, что энергетические уровни расположены весьма густо. Найти плотность этих уровней пФ/ЙЕ, т.
е. их число на единичный интервал энергии, в зависимости от Е. Вычислить пФ/дЕ, если Е= 10 эВ и(= 10 см. Р е ш е н и е. Возьмем дифференциал натурального логарифма от выражения (4.14) для энергии Е: 4Е ап — = 2 —. Е л 4.2. Частица в прямоугольной яме с бесконечно высокими стенками. Частица находится в основном состоянии в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной ( с абсолютно непроницаемыми стенками (О < х с (). Найти вероятность местонахождения частицы в интервале (1/3, 2(/3). Глава 4 Отсюда г)Ф йп 1 и 1 )т 4Е г)Е 2 Е лЛ)12Е где п выражено через Е с помощью (4.14), т — масса электрона.
Для заданных значений Е и 1 4Ж!4Е = 0,8 10г уровней/зВ. 4.5. Частица массы т находится в основном состоянии в одномерной прямоугольной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками. Максимальное значение плотности вероятности местонахождения частицы в этом состоянии равно Р . Найти ширину ( ямы и энергию Е частицы. Р е ш е н и е. Воспользовавшись выражением (4.15) для у-функции, запишем плотность вероятности Р(х) для основного состояния (п = 1): Р(х) = ц/ = — вш 2. глх Эта величина максимальна в середине ямы, т. е.
при х = )~2. Поэ- тому 2 гл 2 Р = — з!и 2 Отсюда находим ) = 2/Р„и согласно (4.14) л Л Е = — Р. 8т 4.6. Частица массы т находится в двумерной прямоугольной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками. Координаты х и у частицы находятся в интервалах соответственно (О, а) и (О. Л). где а и б — стороны ямы. Найти возможные значения энергии Е и нормированные у-функции частицы. Р е ш е н и е. В этом случае уравнение Шредингера (4.9) имеет вид д дг У+ У+Лг~у=О Лг=2тЕ~Лг д ' дуг (в пределах ямы мы считаем У = 0). Уравнение Шредингера.
Квзвтоззвне На сторонах ямы у-функция должна обращаться в нуль, поскольку является непрерывной (эа пределами ямы эа = 0). Поэтому (~у-функцию внутри ямы удобно искать сразу в виде произведения синусов ж(х У) = Аз(ай,х зшй у, (2) так как на двух сторонах (х = 0 и у = 0) автоматически у(х, 0)и Ш (О, у) разны нулю. Возможные значения й, и йэ найдем из условия обращения .ф кции в нуль на противоположных сторонах ямы: х эь (а,У) = О, йь = т — ин и, = 1, 2, 3, а (3) ~у(х,Ь) = О, й.
= т — иэ, иэ = 1, 2, 3, ... Ь После подстановки (2) в уравнение (1) получим й,э + йээ - -йз, и, учитывая выражение для йэ в (1) и формулы (3) для йь и йэ, получим (4) Постоянную А в (2) находим из условия нормировки а Ь //жэ(х,у)ь)хь)у = 1, еэ откуда следует„что А = /4(аЬ = 2/т'аЬ. Следовательно, нормированная ча-функция будет иметь вид ж(х, у) = — зш — и з1п — иэ 4 а. Частица массы т находится в двумерной квадратной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками.
Сторона ямы равна й Воспользовавшись результатами решения предыдущей задачи, найти значения энергии Е для первых четырех уровней. Р е ш е н и е. В данном случае Е = — (иь + иэ). яэЛ э 2т(~ 106 Глава 4 Задача сводится к подбору таких наименыпих значений л, и лз, при которых л~ + лэ имеет четыре наименьших значения. Соста- 3 2 вим табличку п1 ( лз , 'лз т лз номер уровня 2 2 1 2 ' 1 2 б 2 8 3 ' 18 2 3 13 6 и т. д. 1 ! 4, 17 Отсюда видно, что энергия Е первых четырех уровней Е = 2, б, 8 н 10 единиц яздз72т(з. 4.8. Воспользовавшись условием и решением задачи 4.6, найти число оФ состояний частицы в интервале энергии (Е, Е + ЙЕ), полагая, что энергетические уровни расположены весьма густо. Р е ш е н и е. Каждому значению пары чисел л, и лз отвечает одно состояние частицы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
