И.Е. Иродов - Квантовая физика. Основные законы (1129341), страница 13
Текст из файла (страница 13)
До прохождения частицы через щель ее проекция импульса р, имеет точное значение: р, = О. Это значит, что Лр„= = О, но координата х частицы является совершенно неопределенРвс. 3.9 ной согласно (3.20). Если частица пройдет сквозь щель, то в плоскости щели координата х будет зарегистрирована с неопределенностью Лх = Ь. При етом вследствие дифракции с нанбольптей вероятностью частица будет двигаться в пределах угла 20, где Π— угол, соответствующий первому днфракционному минимуму. Он определяется условием, при котором разность хода волн от обоих краев щели будет равна Х (зто доказывается в волновой оптике): Ь з(пО = Л.
В результате дифракцни возникает неопределенность значения р, — проекции импульса, разброс которого Лр, = р з(пО. Учитывая, что Ь = Лх и р = 2хЬ/Х, получим из двух предыдущих выражений: Лх - Лр = рХ = 2яб, что согласуется по порядку величины с (3.20). Таким образом, попытка определить координату х частицы, действительно, привела к появлению неопределенности Лр, в импульсе частицы. Анализ многих ситуаций, связанных с измерениями, показывает, что измерения в квантовой области принципиально отличаются от классических измерений.
В отличие от последних, в квантовой физике существует естественный предел точности измерений. Он в самой природе квантовых объектов и не может быть преодолен никаким совершенствованием приборов и методов измерений. Соотношение (3.20) и устанавливает один из та- Волновые свойства частиц ких пределов. Взаимодействие между микрочастицей и макроскопическим измерительным прибором нельзя сделать сколь угодно малым. Измерение, например„координаты частицы неизбежно приводит к принципиально неустранимому и неконтролируемому искажению состояния микрочастицы, а значит и к неопределенности в значении импульса. Некоторые выводы. Соотношение неопределенностей (3.20) является одним из фундаментальных положений квантовой теории.
Одного этого соотношения достаточно, чтобы получить ряд важных результатов, в частности: 1. Невозможно состояние, в котором частица находилась бы в состоянии покоя. 2. При рассмотрении движения квантового объекта необходимо во многих случаях отказаться от самого понятия классической траектории. 3. Часто теряет смысл деление полной энергии Е частицы (как квантового объекта) на потенциальную У и кинетическую К. В самом деле, первая, т.
е. У, зависит от координат, а вторая — от импульса. Эти же динамические переменные не могут иметь одновременно определенного значения. Размер атома водорода. Прежде чем рассмотреть важный пример, относящийся к атому водорода, остановимся на вопросе, который часто вызывает недоумение. Пусть частица езаперта» в одномерной области размером ). При нахождении возможного значения лсимимальяой энергии Е„частицы мы обычно считаем, что импульс частицы по порядку величины равен его неопределенности, т. е. р - Лр. На каком основании? Чтобы понять„почему это так, представим себе, что частица в этой области имеет энергию Е > Е„„„.
Тогда ее импульс может быть представлен как р = <р> + Ьр. Теперь начнем мысленно уменьшать энергию Е, а значит и импульс <р>. Прн этом Ьр не меняется, поскольку Ьр = Ь/( согласно соотношению (3.20). Когда Е станет равной Е„„„, величина <р> обратится в нуль и останется только Ьр. Эту величину и принимают за р.
Теперь перейдем к атому водорода. Оценим его размер и попытаемся понять, почему электрон не падает на ядро (как это можно объяснить с помощью соотношения неопределенностей). Глава 3 Точное положение электрона в данном атоме запрещено принципом неопределенности: был бы бесконечно большой разброс в его импульсе. Поэтому для оценки наименьшей возможной эыергии Е„„„электрона в кулоновском поле ядра можно положить разброс расстояний электрона от ядра Лг = г и Ьр = р. Тогда согласно (3.20) р ~ Ь/г, и энергия Е может быть представлена как р е Ь е Е= 2т.
г 2тгз г Значение г, прн котором Е = мин, можно найти, приравняв производную ЙЕ/Йг к нулю: Ь2 2 2 2 тг г Отсюда следует, что г = Ь2/те2, (3.23) Полученный результат полностью совпадает с боровским ради- усом (2.23). Подставив (3.23) в (3.22), мы найдем энергию Е„„„: (3.24) 2г 2Ь2 что также совпадает с энергией основного состояния атома водорода (2.25). Разумеется, совпадение наших грубых оценок с точыыми значениями г и Е следует считать случайным. Важно лишь то, что получен верный порядок этих величин и что, основываясь на волновых представлениях, или приыципе неопределенности, можно понять, почему атомный электрон ые падает на ядро. Размер атома является результатом компромисса двух слагаемых энергии (3.22), имеющих противоположные знаки.
Если увеличить отрицательное слагаемое (потенциальную энергию), умеыьшив г, то увеличится кинетическая энергия, и наоборот. Волновые свойства частиц Таким образом, соотношение неопределенностей проявляет себя в атоме подобно силам отталкивания на малых расстояниях. В результате электрон находится в среднем на таком расстоянии от ядра, на котором действие этих сил отталкивания компенсируется силой кулоновского притяжения. Задачи 3 1 Волны де-Бройлн. Какую энергию АЕ необходимо сообщить нерелятивистскому электрону, чтобы его дебройлевская длина волны Х уменьшилась в п раз? Р е ш е н н е.
Обозначим конечную дебройлевскую длину волны как ь'. Имея в виду, что согласно (3.1) 1 сэ 1/р сс 1/т'К, запишем: К+АЕ где К вЂ” первоначальная кинетическая энергия электрона. Отсюда 2 2 АŠ— К (и — 1) — - (л — 1). з 2ял з юХ где т — масса электрона. 3.2. Найти дебройлевскую длину волны протонов, если в однородном магнитном поле с индукцией В радиус кривизны их траектории — окружности — равен В.
Р е ш е н и е. Согласно (3.1) для этого надо сначала определить импульс протона. Воспользуемся основным уравнением динамики: оз т — = еоВ. В Отсюда р = ВеВ, и искомая длина волны 1 = 2яЫВеВ. 3.3. Нерелятивистская частица массы ю1 с кинетической энергией К1 налетает на покоящуюся частицу массы |лз. Найти дебройлевскую длину волны Х. обеих частиц в системе их центра масс (Ц-системе).
Р е ш е н и е. Искомая длина волны согласно (3.1) определяется как Х = 2л))/р, где р — импульс каждой частицы в 4'-системе, Напомним, что в Ц-системе импульсы обеих частиц равны по моду- Глава 3 лю и противоположны по направлению. Итак, решение вопроса сводится к нахождению р.
Для этого найдем сначала скорость тс Ц-системы. По определе- нию, т т д-тзтз тс = .д. дддд В нашем случае тд = О, следовательно тс = тдтд/(тд т т ). (2) Скорость частицы массы тд в Ц-снстеме т = тд — тс, откуда сле- дует с учетом (2), что йд — — тдтд/(тд е т ).
Импульс этой частицы в Ц-системе р, = тдб, = ддод, (3) где р — приведенная масса системы из двух частиц, т. е. )д = тдтд/(тд + т,). Подставив (3) в исходную формулу, найдем после несложных пре- образований, что Г2~К, ( ~) 3.4. При каком значении кинетической энергии К дебройлевская длина волны Х релятивистского электрона равна его комптоновской длине волны 1с? Р е ш е н и е. Исходим из равенства Х = 1с, где 1 определяется формулой (3.1), а Хс — формулой (1.21). Поэтому можно записать 2яЬ/р = 2я)д/тс. Из релятивистской динамики известно (П.б), что р-ддк ° д А.
(2) Подставив (2) в (1), получим уравнение Кз + 2тсд К вЂ” тзсд = О, Волновые свойства частиц решение которого К = (~Г2 — 1)глез. 3.5. Параллельный пучок нерелятивистских электронов, ускоренных разностью потенциалов У, падает нормально на диафрагму с двумя узкими щелями, расстояние между которыми д.
Определить расстояние между соседними максимумами интерференционной картины на экране, расположенном на расстоянии ( от щелей ((» 3). Р е ш е н и е. Из волновой оптики известно, что искомое расстоя- ние Лх (ширина интерференционной полосы) определяется форму- лой Лх = х(/с(. Подставив сюда вместо 1 выражение (3.1) для дебройлевской дли- ны волны, получим 2лЫ Лх = — — —, АГ2юс)г где учтено, что кинетическая энергия электронов К = еу. Р е ш е н и е. Сначала изобразим схему (рис.
3.10), соответствую- щую условию задачи. Затем воспользуемся формулой Врэгга-Ву- льфа 2Ы в1па = пХ, где а — угол скольжения, который, как видно из рисунка, равен а = л/2 — О/2, а 1. — дебройлевская длина волны: Х = 2лЬ//2тХ. (2) (3) Рис. 3.10 3.6. Узкий пучок нерелятивистских электронов с кинетической энергией К = 180 эВ падает нормально на поверхность монокристалла никеля. В направлении, составляющем угол О = 55' с направлением падающего пучка, наблюдается максимум отражения 4-го порядка. Вычислить соответствующее значение межплоскостного расстояния А Преломления волн не учитывать. Глава 3 Вг После подстановки (2) и (3) в формулу (1) получим с( = яйи = 0,206 нм, /2тК соэ(0/2) где и = 4 — порядок интерференциониого максимума.
2А)а — сое а = тй, Г2 з где»( — межплоскостное расстояние, и — показатель преломле- ния кристалла для дебройлевских волн, и» вЂ” порядок интерфе- ренционного максимума, 1 — дебройлевская длина волны. Р е ш е н и е. Рассмотрим две интерферирующие волны, представленные лучами Г н 2' (рис. 3.11). Из-за преломления волн угол па- 1 дения 0 не равен углу пре- 2' ломления В'. Запишем»оптическую» разность хода лучей 1 и 2.
Как видно из рисунка, она равна Л = и(АВС) = и 2»( соэ В' (1) (эта разность хода выделена на рисунке жирными отрез- ками). В С другой стороны, по закону преломления Рнс. 3.11 э(п 0 = э1п 0'. (2) Условие образования интерференционного максимума — это Л = тХ, где т = 1, 2..., Запишем зто условие с помощью (1) и (2) следующим образом: 2»(исозВ' = 2»(ил1 — = 2й и — э1п В = т)..
э1п 0 з . г (3) и Согласно рис. 3.11 э1п 0 = сов а, поэтому формулу (3) можно запи- сать также в виде, представленном в условии задачи. 3.7. Преломление волн де-Бройля. Показать, что с учетом преломления Формула Брэгга — Вульфа имеет вид Волновые свойства частил 3.8. Соотношение неопределенностей. Убедиться, что измерение х-координаты микрочастицы с помощью микроскопа (рис, 3.12) вносит неопределенность в ее импульс ЬР, такую, что Ьх. Лр > Ь.
Иметь в виду, что разрешение микроскопа, т. е. наименьшее разрешаемое расстояние д = 1/з1п О, где Х— Р длина световой волны. 1 Р е ш е я и е. У фотона, рассеянного на мик- Р рочастице н прошедшего через объектив О, проекция импульса р не превышает, как Х ~ видно из рисунка, значения р э1п В = ЬЬ Рве.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
